高中数学直线和圆知识点总结

1、直线和圆直线1斜率与倾斜角：k=tanr，才0,二)(i) 才。，2)时，k0；(2)8=专时，k不存在；(3)朕(2,二)时，k：0(4)当倾斜角从0增加到90时，斜率从0增加到:;当倾斜角从90增加到180时，斜率从-二增加到02.直线方程(1)点斜式：y-y0=k(x-x0)(2)斜截式：y=kxb(3)两点式：八*¥25X2X1(4)截距式：-=1ab(5)一般式：AxBy03.距离公式(1) 点R(xi,yJ，P2(x2,y2)之间的距离：RP2I=J(X2xj2+(y?yj2(2) 点P(X0,y。)到直线Ax+By+C=0的距离：d=凶签事雪C1Ja2+b2Ic_CI(

2、3) 平行线间的距离：AxByC0与AxByC0的距离：d14A+b24. 位置关系(1)截距式：y=kxb形式重合：K*2D二b2相交：平行：k,-k2D=b2垂直：k1k-1(2)一般式：AxByC=0形式重合：AB2二A2Bi且A1C2A2C1且BC2二CB2平行：AB2二AsB且A1C2TA2C1且BC2C1B21垂直：a1a2b1b2=0相交：A,B-A?Bi5. 直线系AxB,yC,+(A2x-B2y-C2)=0表示过两直线l,:A,xB,yC0和l2:A2x-B2yC2=0交点的所有直线方程(不含|2)二.圆1. 圆的方程(1) 标准形式：(x-a)2(y-b)2=R2(R0)(

3、2) 一般式：x2y2DxEyF=0(D2E2-4F0)x=x+rcos日(3) 参数方程：(0是参数)=y0+rsinB【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决(4) 以A(X1,yJ,B(X2,y2)为直径的圆的方程是：(x-Xa)(x-Xb)(y-yA)(y-Yb)=02. 位置关系222(1)点P(x0,y。)和圆(x-a)，(y-b)二R的位置关系：222o99当(xo-a)(y0-b):R时，点P(x°,y°)在圆(x-a)(y-b)-R内部当(X。-a)2(y。-b)2二R2时，点P(x。，y。)在圆(x_a)2(y-b)2二R2

4、上当(x°-a)2(y°-b)2R2时，点P(x°,y°)在圆(x-a)2(y_b)2=R2外(2)直线AxBy0和圆(x-a)2(y-b)2二R2的位置关系：判断圆心O(a,b)到直线AxByC=0的距离d=|AaBbC+m3例4若a,b,c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2+y2=4被直线I:ax+by+c=0所截得的弦长为.解析：由题意可知圆C：x2+y2=4被直线I:ax+by+c=0所截得的弦长为2、/4午三+寻j,由于a2+b2=c2,所以所求弦长为23.答案：23例5已知OMx2+(y2)2=1,Q是x轴上的动点，QAQB

5、分别切。M于A,B两点.与半径R的大小关系VAF当d:R时，直线和圆相交(有两个交点)；当d=R时，直线和圆相切(有且仅有一个交点)；当d:R时，直线和圆相离(无交点)；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1) 几何法：禾U用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.(2) 代数法：联立直线与圆的方程消元后利用判断.(3) 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交.3. 圆和圆的位置关系判断圆心距d=|0Q2与两圆半径之和R+R2，半径之差Ri-R>(RiaR2)的大小关系当dRiR2时，两圆相离，有4条公切线；当d=RR2时，两圆外切，有3条公切线；当RR2:d:R

6、-R2时，两圆相交，有2条公切线；当d二R-R2时，两圆内切，有1条公切线；当0_d:RiR2时，两圆内含，没有公切线；4.当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5弦长公式：I=2、.R2_d2例1若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点，则实数k的取值范围是解析：由题意知2>1,解得一飞?3vkv3.寸1+k2v丫答案：(一3,3)例2已知两圆22C:x+y2x+10y24=0,C：x2+y2+2x+2y8=0，则两圆公共弦所在的直线方程是解析：由题意得，圆心答案：土若IAB|=¥，求|MQ及直线MQ勺方程;(2) 求证：直线AB恒过定点.解：设直线MQ交AB于

7、点P,则|AR=，又|AM=1,APLMQAMLAQ得|MP=IMA2Mp-，二|MQ=3.13,设Qx,0)，而点M0,2),由Qx2+22=3,得x=±5,则Q点的坐标为(5,0)或(、5,0).从而直线MC的方程为2x+5y25=0或2x5y+25=0.证明：设点Qq,0)，由几何性质，可知A,B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(xq)+y(y2)=0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx2y+3=0，所以直线AB恒过定点0,|；.例6过点(一1,2)的直线I被圆x2+y22x2y+1=0截得的弦长为羽，则直线I的斜率为.解析：将圆的方程化成标准方

8、程为(x1)2+(y1)2=1,其圆心为(1,1)，半径r=1.由弦长为.2得弦心距为-2设直线方程为y+2=k(x+1)，即kxy+k2=0，则1=¥，化简得7k224k+17=0,得k=1或k=耳.17答案：1或例7圆x22x+y23=0的圆心到直线x+>/3y3=0的距离为|13|解析：圆心(1,0),d=1.乂1+3答案：1例8圆心在原点且与直线x+y2=0相切的圆的方程为解析：设圆的方程为x2+y2=a2(a>0)a=2,.|2|.=a,1+1x2+y2=2.答案：x2+y2=2例9已知圆C经过A(5,1),耳1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为圆C的方程

9、为x2+y2+Dx+F=0,26+5D+F=0,则.10+D+F=0,D=4,解得F=6.圆C的方程为x2+y24x6=0.22答案(1)C(2)x+y4x6=0例10(1)与曲线C：x2+y2+2x+2y=0相内切，同时又与直线l:y=2x相切的半径最小的圆的半径是(2)已知实数x,y满足(x2)2+(y+1)2=1则2xy的最大值为，最小值为.解析：依题意，曲线C表示的是以点C(1,1)为圆心，專2为半径的圆，圆心C(1,1)到直线y=2x即x+y2=0的距离等于11：2|=2J2，易知所求圆的半径等于2述W=牢述22令b=2xy，则b为直线2xy=b在y轴上的截距的相反数，当直线2xy=

10、b与圆相切时，b取得最值.由|2X2+1b|_-答案：(1)字(2)5+55551.解得b=5±5,所以2xy的最大值为5+.5，最小值为55.例11已知x,y满足x2+y2=1,则y_2的最小值为x1y一2y一2解析：表示圆上的点P(x,y)与点Q1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设x1x112一k|3y一23直线PQ的方程为y-2=k(x-1)即kx一y+2-k=o.由吋=1得k=4，结合图形可知，芦24,故最小值为4.3答案：3422例12已知两点A2,0),B(0,2)，点C是圆x+y2x=0上任意一点，则ABC面积的最小值是3解析：Iab：xy+2

11、=0,圆心(1,0)到I的距离d=3则AB边上的高的最小值为1.1故厶ABC面积的最小值是X例13平面直角坐标系xoy中，直线x-y/=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为.6(1) 求圆O的方程；(2) 若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时，求直线l的方程；因为O点到直线x-y7=0的距离为22故圆O的方程为xy=2.(3) 设M,P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0)，问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.解:设直线I的方程为-=1(a0,b0)，即bxay-ab=0,ab由直线I与

12、圆O相切，得-：=22二勺,a2121DE2=a2b2=2(a2b)(吗丄)28,abxyX2%m=一y2-yiXiy2X2yin=y2yimnXiy2-X2yiy2-yi2222/小X2yixi-y2X2(2-22iyyiyi当且仅当a二b=2时取等号，此时直线I的方程为xy一2=0.2222设M(人，yj,卩区，y2)，则N(x_yj,捲yi=2,X2y2=2,直线MP与X轴交点(Xiy2-x*,0),y2-yi直线NP与x轴交点(Xiy2X2yi,0)，y2+yi故mn为定值2.例14圆x2+y2=8内一点P(-i,2),过点P的直线I的倾斜角为ot,直线I交圆于A、B两点.(1) 当=

13、时，求AB的长；4(2) 当弦AB被点P平分时，求直线I的方程.解：(i)当=寻时，kAB=i,直线AB的方程为y2=(x+i)，即卩x+y仁0.故圆心(0,0)到AB的距离d=00-1=2,J22从而弦长|AB|=2,8_；=、30.(2)设A(xi,yi),B(X2,y2)，贝Vx什X2=2,y什y2=4.xi+yi8,述+y孑=8,两式相减得(xi+x2)(xiX2)+(yi+y2)(yiy2)=0,即一2(XiX2)+4(yiy2)=0,直线1的方程为y-嗚(x+i)，即x-2y+5=0.例15已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:xy+i0=0上.(1) 若动圆C过点(5,0),求圆C

14、的方程；(2) 是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.解：(i)依题意，可设动圆C的方程为(xa)2+(yb)2=25,其中圆心(a,b)满足ab+i0=0.22又动圆过点(5,0),a(5a)+(0b)=25.i解方程组可得<10!或b=0一a=-5a_b10=0(-5-a)2(0_b)2=2512222故所求圆C的方程为(x+10)+y=25或(x+5)+(y5)=25.圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=2=5.当r满足r+5vd时，动圆C中不存在与圆O:x2+y2=r2相外切的圆；当r满足r+5

15、>d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O:x2+y2=r2相外切;当r满足r+5=d,即r=5,25时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O:x2+y2=r2相外切题目221.自点A(-1,4)作圆(x-2)(y-3)=1的切线I，则切线I的方程为2.求与圆x2y2=5外切于点P(-1,2)，且半径为2.5的圆的方程3.若点P在直线11：x+y+3=0上，过点P的直线I?与曲线C:(x5)2+y2=16相切于点M，贝VPM的最小22F4. 设O为坐标原点，曲线x+y+2x6y+仁0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP-OQ=0.(1)求m的值；(2)求直线PQ的方程.5.已知圆C:x2+y22x+4y-4=0，问是否存在斜率是1的直线I，使I被圆C截得的弦AB,以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线I的方程