高中数学新课程创新教学设计案例50篇31-34_三角函数

1、31角的概念的推广教材分析这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键教学目标1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义2. 理解象限角的概念、意义及表示

2、方法，掌握终边相同的角的表示方法3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系教学设计一、问题情境演示1. 观览车的运动2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作3. 钟表秒针的转动4. 自行车轮子的滚动问题1. 如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角2. 在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角3. 钟表上的秒针（当时间过了时）是

3、按什么方向转动的，转动了多大角4. 当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角显然，这些角超出了我们已有的认识范围.本节课将在已掌握的0。360。角的范围的基础上，把角的概念加以推广，为进一步研究三角函数作好准备二、建立模型1. 正角、负角、零角的概念在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角2. 象限角当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与x轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角如果角的终边在坐标轴上，就认为

4、这个角不属于任何象限3. 终边相同的角在坐标系中作出390。，330。角的终边，不难发现，它们都与30。角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°360°角与k个(kZ)周角的和，即390=30°+360°(k=1);330°=30°360°(k=-1).设S=313=30°+k360°,kZ,贝U390°330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素(此时k=0).容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中

5、的任一元素均与30°角终边相同.一般地，所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合：S=3I3=a+k360°,kZ,即任一与a终边相同的角，都可以表求成角a与整数个周角的和.三、解释应用例题1. 在0°360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角.(1)150°.(2)650°(3)950°5'2. 分别写出与下列角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式一360°3720的元素写出来(1)60°(2)21°(3)363°14'3.

6、写出终边在y轴上的角的集合.解：在0°360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°,270°.因此，与这两个角终边相同的角构成的集合为S=313=90°+k360°,kZ=313=90°+2k180°,kZ,而所有与270。角终边相同的角构成的集合为9=313=270°+k360°kZ=313=90°+(2k+1)W0O,kZ.于是，终边在y轴上的角的集合为S=SiUS2=313=90°+2k180°kZU3|3=90°+(2k+1)180°

7、kZ=3|3=90°+n180°nZ.注：会正确使用集合的表示方法和符号语言.练习1. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720°3360的元素3写出来.(1)45°(2)-30°(3)420°(4)225°2. 辨析概念.(分别用集合表示出来)(1) 第一象限角.(2)锐角.(3)小于90°的角.(4)0°90°的角.3. 一角为30°其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为.4. 终边在x轴上的角的集合为；终边在第一、三象限的角的平分线上的角集合为.四、拓展延伸

8、1. 若角a与3终边重合，则a与3的关系是；若角a与3的终边互为反向延长线，则角a与3的关系是22. 如果a在第二象限时，那么2a,-是第几象限角注：(1)不能忽略2a的终边可能在坐标轴上的情况.da(2) 研究？在哪个象限的方法：讨论k的奇偶性.(如果是3呢)32任意角的三角函数教材分析这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数.任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的.三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义.在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函

9、数值在各象限的符号，以及诱导公式（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备.教学目标1. 让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力.2. 理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式（一），并能初步应用它们解决一些问题.3. 通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平.教学设计、情景设置初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义了角a的正弦、余弦、正切、余切的三角函数这节课，

10、我们研究当a是一个任意角时的三角函数的定义.32-2在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的如图32-1，在RtAABC中,现在，把三角形放到坐标系中如图32-2，设点B的坐标为（x,y）,则0C=b=x,CB=a=y,0B=/尸+，从而a都可以定义其三角即角a的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角函数.、建立模型般地，设a是任意角，以a的顶点O为坐标原点，以角a的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy.P（X,y）为a终边上不同于原点的任一点.如图:JJ,J)y21L1<1JrfAr|(?)ft!32-3IfJTL-r><3)(4)那么，op=心

11、+b，记作r,（r>0）对于三个量x,y,r，一般地，可以产生六个比值:时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定.根据函数的定义$丁yn尸r称之为a可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为y.j：=sma*_=coscr对于定义，思考如下问题:1. 当角a确定后，比值与P点的位置有关吗为什么2. 利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系3. 任意角a的正弦、余弦、正切都有意义吗为什么三、解释应用例题1. 已知角a的终边经过P(-2,3)，求角a的六个三角函数值.思考：若P(-2,3)变为

12、(一2m,3m)呢(详0)2. 求下列角的六个三角函数值.注：强化定义.练习1. 已知角a的终边经过下列各点，求角a的六个三角函数值.(1) P(3,-4).(2)P(m,3)2计算.(1)5sin90°+2sinO°-3sin270°+10cos180°31T13jfthJEi3it-tan*-|忙沖n咱亠miti心.四、拓展延伸1.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为V$自变量的函数,所以sina的定义域为如sina=,不论a取任何实数，厂恒有意义,aR.类似地，研究cosa,tana,cota的定义域.2. 根据

13、三角函数的定义以及x,y,r在不同象限内的符号，研究sina,cosa,tana,cota的值在各个象限的符号.3计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律.(1)sin30°sin390°(2)cos45°cos(-315°)规律：终边相同的角有相同的三角函数值,即sin(a+k360°)=sina,cos(a+k360)=cosa,tan(a+k360)=tana,(kZ)五、应用与深化例题1. 确定下列三角函数值的符号(1)cos2504.<2)sinj-C3)tan(j2.求证：角a为第三象限角的充要条件是sin点0,并且

14、tane>0.证明：充分性：如果sinX0,tan>0都成立，那么B为第三象限角.sinX0成立，所以B的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的负半轴上.又/tan>0成立，B角的终边可能位于第一或第三象限.sinX0,tan0>0.TsinX0,tan>0都成立，0角的终边只能位于第三象限.必要性：若0为第三象限角，由三角函数值在各个象限的符号，知从而结论成立.练习C.1. 设a是三角形的一个内角，问：在sina,cosa,tana,tan"中，哪些三角函数可能取负值为什么|hlnIIqqaj:LtJitij?y'2. 函数別丨£

15、;5工I丨"血1的值域是33同角三角函数的基本关系式22sin2a+cos2asin2a+cos2a教材分析这节课主要是根据三角函数的定义，导出同角三角函数的两个基本关系式sinaran=1与捕口，并初步进行这些公式的两类基本应用教学重点是公式aran=1与口站。的推导及以下两类基本应用：(1) 已知某角的正弦、余弦、正切中的一个，求其余两个三角函数.(2) 化简三角函数式及证明简单的三角恒等式.其中，已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，正负号的选择是本节的一个难点，正确运用平方根及象限角的概念是突破这一难点的关键；证明恒等式是这节课的另一个难点课堂上教师应放手让学生

16、独立解决问题，优化自己的解题过程.教学目标1. 让学生经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程，培养学生的动手实践、探索、研究能力.2. 理解和掌握同角三角函数的基本关系式，并能初步运用它们解决一些三角函数的求值、化简、证明等问题，培养学生的运算能力，逻辑推理能力.3. 通过同角三角函数基本关系的学习，揭示事物之间的普遍联系规律，培养学生的辩证唯物主义世界观.任务分析这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关十，、ccrana=系式：sin2a+cos2a=1及山口，并进行初步的应用由于该节内容比较容易，所以，课堂上无论是关系式的探索还是例、习题的解决都可以放

17、手让学生独立完成，即由学生自己把要学的知识探索出来，并用以解决新的问题.必要时，教师可以在以下几点上加以强调：（1）同角”二字的含义.（2）关系式的适用条件.（3）化简题最后结果的形式.（4）怎样优化解题过程.教学设计一、问题情境教师出示问题：上一节内容，我们学习了任意角a的六个三角函数及正弦线、余弦线和正切线，你知道它们之间有什么联系吗你能得出它们之间的直接关系吗、建立模型1.引导学生写出任意角a的六个三角函数，并探索它们之间的关系在角a的终边上任取一点P（x,y）,它与原点的距离是r（r>0），则角a的六个三角函数值是xrcota=皿eca=沁眶a=*y.vy2. 推导同角三角函数关

18、系式引导学生通过观察、分析和讨论，消元（消去x,y,r），从而获取下述基本关系.(1)平方关系：sin2a+cos2a=1.（2）商数关系：t:itiatanarCOKQ说明：当放手让学生推导同角三角函数的基本关系时，部分学生可能会利用三角函数线，借助勾股定理及相似三角形的知识来得出结论.对于这种推导方法，教师也应给以充分肯定，并进一步引导学生得出丨sina|+丨cosa|>1COSaI.CQta=tnnq4Sinahin口cota除以上两个关系式外，也许部分学生还会得出如下关系式:1cosa=f1+1aira=11+cot'a.jescgsecacosaKina教师点拨：这些关

19、系式都很对，但最基本的还是（1）和（2），故为了减少大家的记忆负担，只须记住（1）和（2）即可以上关系式均为同角三角函数的基本关系式.教师启发：（1）对同角”二字，大家是怎样理解的（2）这两个基本关系式中的角a有没有范围限制（3）自然界的万物都有着千丝万缕的联系，大家只要养成善于观察的习惯，也许每天都会有新的发现.刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式，那么这些关系式能用于解决哪些问题呢三、解释应用例题1已知Sin狞§，且a是第二象限角，求角a的余弦值和正切值.2.已知tana=l"rL且a是第二象限角，求角a的正弦和余弦值.说明：这两个题是关系式的基本应用，应让学生独立完

20、成.可选两名同学到黑板前板书,以便规范解题步骤.变式1在例2中若去掉且a是第二象限角”，该题的解答过程又将如何师生一起完成该题的解答过程.解：由题意和基本关系式，列方程组，得sin"ac叮a空心a由，得sin尸一COSa,代入整理，得6C0S2a=1,COS2a=6.Ttana=v0,.角a是第二或第四象限角.当a是第二象限角时，COSa=,代入式，得当a是第四象限角时，COSa=,代入式，得:":厂后"厂予.小结：由平方关系求值时，要涉及开方运算，自然存在符号的选取问题由于本题没有具体指明a是第几象限角，因此，应针对a可能所处的象限，分类讨论.变式2把例2变为：

21、已知tana=|<1,求coaa的值.解法1：由tan%=£I及基本关系式可解得Wlib由荫n址=一虑故萃本关系贰可鮮得针对两种情况下的结果居然一致的情况，教师及时点拨:观察所求式子的特点，看能不能不通过求sinacosa的值而直接得出该分式的值.学生得到如下解法:2t由=t;)na=Jo"丫得ssinama,cc?5a5+2晶，（曲土兰仃程心ci）Aa7T*（芯a鮮法3i原式ccsaa+21口由此，引出变式3.已知：tana=，求(sincosa)2的值.有了上一题的经验，学生会得到如下解法:解SlfV<5m(I-p50),in1口2吊inacos«

22、+cosaI2ingcoaa»¥由SinQ=tnna=a/T*f3-ina=晶z*a、cosa"原式=12*摹、co?ra=1+2cqs'a,乂由sinat+cosa=1*得一JTgwG+coeS二1* t_I *3$-a.P3此*匪式=I十2苗"X-教师归纳、启发：这个方法成功地避免了开方运算，因而也就避开了不必要的讨论.遗憾的是，因为它不是分式形式，所以解题过程不像变式2”那样简捷.那么，能解决这一矛盾吗学生得到如下解法:解掘2；sina酩。耳口nxo2刊n口彳幻胃flf-bqqQa=d2Mlri阿+：0串丄<1sina4-cos

23、9;cLeina2tana+1tan+1(-TT)-J教师引导学生反思、总结：(1)由于开方运算一般存在符号选取问题，因此，在求值过程中，若能避免开方的应尽量避免.(2)当式子为分式且分子、分母都为三角函数的n(nN且n1次幕的齐次式时,采用上述方法可优化解题过程.练习化简2. 化简/1pinr4-10°T3i求证口一2flinLa,<2>Uinajiinc=tarr<zsina/口、cosa_1-Ksinavol7:”1smacosa当学生完成了以上题目后，教师引导学生讨论如下问题：(1) 化简题的结果一定是最简”形式，对三角函数的最简”形式，你是怎样理解的(2)

24、 关于三角函数恒等式的证明，一般都有哪些方法你是否发现了一些技巧四、拓展延伸教师出示问题，启发学生一题多解，并激发学生的探索热情.已知sin叶COSa=180°vav270°求tana的值.解法1:EH启ieBcr*口吊u+uo吊'a丄5iIa*COS'(2tiiti'白亠1：iLan'dlOliiii住+4=0*tflncr=2tflDaV180a<a<270A怎町fl>0fV)R0°<ff<70Acosa<0.A貝昵取cnstflna2或ifina=反思：（1）解法1的结果比解法2的结果多了一

25、个，看来产生了增根”那么，是什么原因产生了增根呢(2)当学生发现了由sna-cosa=5得到sin2a2sinacosbaos2a=j的过程中,a的范围变大了时，教师再点拨:怎样才能使平方变形是等价的呢由学生得出如下正确答案:/180°vav270°，且sincosa=5<osinK0,cosav0，且Isina|>|cosa|，因此Itana|>1,只能取tana2.强调：非等价变形是解法1出错的关键！34诱导公式教材分析这节内容以学生在初中已经学习了锐角的三角函数值为基础，利用单位圆和三角函数的定义，导出三角函数的五组诱导公式，即有关角k360

26、6;+a,180°+a,a,180°-a,360°a的公式，并通过运用这些公式，把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，从而渗透了把未知问题化归为已知问题的化归思想这节课的重点是后四组诱导公式以及这五组公式的综合运用把这五组公式用一句话归纳出来,并切实理解这句话中每一词语的含义,是切实掌握这五组公式的难点所在准确把握每一组公式的意义及其中符号语言的特征,并且把公式二、三与图形对应起来,是突破上述难点的关键教学目标1. 在教师的引导下,启发学生探索发现诱导公式及其证明,培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式,并能应

27、用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题3. 让学生体验探索后的成功喜悦,培养学生的自信心4. 使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途径,进一步树立化归思想任务分析诱导公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值在五组诱导公式中，关于180。+a与-a的诱导公式是最基本的，也是最重要的在推导这两组公式时，应放手让学生独立探索，寻求“180+a与角a的终边”及a与角a的终边”之间的位置关系，从而完成公式的推导此外，要把90。360°范围内的三角函数转化为锐角的三角函数，除了利用第二、四、五个公式外，还可以利用90。+a,270°±aa的三

28、角函数值之间的关系.应引导学生在掌握前五组诱导公式的基础上进一步探求新的关系式，从而使学生在头脑中形成完整的三角函数的认知结构.教学设计一、问题情境教师提出系列问题1. 在初中我们学习了求锐角的三角函数值,现在角的概念已经推广到了任意角,能否把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值呢2. 当a=390。时，能否求出它的正弦、余弦和正切值3. 由2你能否得出一般性的结论试说明理由.、建立模型1. 分析1(公式一)在教师的指导下，学生独立推出公式(一)，即sir（t*3fl0°=sina（口亠b*）=tano2. 应用1在公式的应用中让学生体会公式的作用，即把任意角的三角函数值转化为0

29、。360°范围内的角的三角函数值.练习：求下列各三角函数值.L9(1)cos3兀(2)tan405°3. 分析2如果能够把90°360°范围内的角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，即可实现把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值”的目标.例如，能否将120°,240°,300°角与我们熟悉的锐角建立某种联系，进而求出其余弦值引导学生利用三角函数的定义并借助图形，得到如下结果：cos120=cos(180°-60°=-cos60=»,cos240=cos(180°+60°=

30、cos60丄一'，_1_cos300=cos(360°+60°=cos60°.4. 分析3一般地，cos(180°+a),cos(180°a),COS(360°a)与cosa的关系如何你能证明自己的结论吗由学生独立完成下述推导：设角a的终边与单位圆交于点P(X,y).由于角180°+a的终边就是角a的终边的反向延长线，则角180°+a的终边与单位圆的交点P与点P关于原点0对称.由此可知，点P的坐标是(一x,y).又单位圆的半径r=I,.',cosa=x,sinay,tana=,cos(180

31、6;+a)=x,sinS-S(180°+a)=y,tan(180°+a)=从而得到:cost18D°+a)=cosa(公式二)5. 分析4在推导公式三时，学生会遇到如下困难，即：若a为任意角，180°a与角a的终边的位置关系不容易判断这时，教师可引导学生借助公式二，把180。一a看成180°+(a),即：先把180°a的三角函数值转化为一a的三角函数值，然后通过寻找一a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系，使原问题得到解决.由学生独立完成如下推导：如图，设任意角a的终边与单位圆相交于P(X,y)，角一a的终边与单位圆相交于点P

32、9;.这两个角的终边关于X轴对称，.点P'的坐标是(X,y).又r=1,.cos(a)=X,sin(a)=y,tan(a)=从而得到：(公式三)co(ar)ro5awin(cr)_sinalaTif一a)=tjina进而推出:cost180a)=ro5asin(80*aian(18tTtana（公式0叮a)=cossin3a)sincrtan(360"a)=tana（公式五）注：在问题的解决过程中，教师要注意让学生充分体验成功的快乐.6. 教师归纳公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作诱导公式，禾U用它们可以把k360°+a,180°±

33、,aa,360°a的三角函数转化为a的三角函数.那么，在转化过程中，发生了哪些变化这种变化是否存在着某种规律引导学生进行如下概括：a+k360°（kZ）,a,180°+a360°a的三角函数值，等于a的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号.为了便于记忆，还可编成一句口诀函数名不变，符号看象限”.三、解释应用例题1.求下列各三角函数值.(Devs(2yitt(3)t«n解八1)cos225>=£osC180*+5<=cos45*=,ioin-=sin1=0.305)0*Tsin(fl1SO°)co*

34、(180°一a)'(sina=解)Vsina180°)=3inQ(18Q°+a)=sin(1建cor(18Co+cj=e<jj180°“)=eos-180*4-o)=coaS4na誰in口fcq#a)3.求下列各三阳函数AL(1伽<J).(2)jiin-ifr"""(耳托卜W：<1)ccfl(15o:15;)=cos150°15r=cos(18ofl,2护45】=cos2扩4犷=0.8632.JTin2)win2k=*in(加鸟6n.17h.(3)tnJ一冷"(号'3X2

35、itjLn通过应用，让学生体会诱导公式的作用:把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为化简三血瞬散式及证明一些三角怕答式.化帕皿“(幺托口)。厲(貫4口)用in口】Ccosa)cns(ra)in(3?Ta)sin(at解屈式(COA罰*Mnfrrci3*sin(je+fir)sina*cojta一对na)COa)乩i計a*乩已知讹愀+A_右求翳謡呼竺誥的值%吹a一3bU)33inami(sineoctacrsinaifiiialana斛；由siu(18。"+口=sino(n_潟pit好iEJj2-isn(180Oa)1an(18D°+aJcosa*cotsina又Vcp厂a=1sin'dAfit式评注：本题中，若代入COSacot3形式，就须先求得COSa的值.由于不能确定角a所在象限，解题过程将变得烦锁以此提醒学生注意选取合理形式解决问题.四、拓展延伸教师出示问题：前面我们利用三角函数的定义及对称性研究了角a+k360°(kZ),-a,180°+a360°-a的三角函数与角a的三角函数之间的关系，这些角有一个共同点，即：均为180°的