等差数列性质和运用

1、等差数列的性质和应用等差数列的性质和应用是等差数列；定义判定一个数列是否项的概念，会利用理解等差数列、等差中 . 1 综合问题；决与等差数列有关的灵活运用公式及性质解差数列的有关性质，推导方法，熟练掌握等项和公式的式，前掌握等差数列的通项公 . 2 n法的运用。结合思想等数学思想方想、转化思想、数形体会方程思想、函数思 . 3 复习目标复习目标 一、基础知识回顾一、基础知识回顾 二、重点题型解析二、重点题型解析 一、一、基础知识回顾基础知识回顾 （一）等差数列的概念. 等差数列数列就叫做同一个常数，那么这个得的差都是一项减去它的前一项所每一个数列从第二项起，如果)( 1Nndaann一、一、基

2、础知识回顾基础知识回顾 （二）等差中项的概念.2 差中项的等和叫做数列，那么这三个数成等差、如果babaAbAa一、一、基础知识回顾基础知识回顾推导方法：累加法项和公式公式及前（三）等差数列的通项ndmnaamn)( 推广的通项公式：dnaan) 1(1dnnnanaaSnn2) 1(211推导方法：倒序相加.),(3. ),(0 ),(. 2. . 1均落在直线上点列落在抛物线上；均时，点列当公差均落在直线上；点列的方法量的关系来解决是通用基本将等差数列问题化归为评注：nSnSndannnn一、一、基础知识回顾基础知识回顾 （四）等差数列的性质 pnmqpnmnaaapnmaaaaNqpnm

3、qpnma22 , , . 1 则特别地：若则若中，在等差数列 3 3成立吗？则，思考：若mnqpaaaamnqp正确daadaann2, ;2,11222公差是的首项是数列公差是的首项是结论：数列 也成等差数列和则的等差数列是公差为若122,. 2nnnaada思考：在上述两个数列中，首项和公差 各是多少？ ？成等差数列。如何证明那么，项的和，是其前中，在等差数列kkkkknnSSSSSNknSa232,. 3 (3) 2S(2) 2S (1) 2S31223k212212k1kaaSkaaaaaSkaakkkkkkkkkkk略证： kkkkkkkkkkkkSSkaaaaaakaaaakSS

4、2213121312123k222)(S(3)(1)得：成等差数列kkkkkSSSSS232,系：、偶数项的和之间的关等差数列的奇数项的和. 4ndSSn奇偶则，）若等差数列的项数为（ 21中间项。则若等差数列的项数为偶奇偶奇SSnnSSn,1 , 12)2(你会证明吗？偶奇、偶数项之和为记奇数项之和为SSnnSSaaaanaaaaaSnaaaaaSnnnnnn1 2) 1(222121222421211231偶奇偶奇故，而（2）略证：中间项得偶奇偶奇1124212531(2)(1)(2) ) 1 ( nnnandaSSaaaSaaaaS评注：注意数列的项数对性质的影响.中间项的证明：再如偶奇

5、SS 二、重点题型剖析?2. 12是否为等差数列判断数列，试项和的前设数列例nnnannSna）（解：* ) 2( 32) 1( 2) 1(2) 2( 221nnnnnnanSSannnn.2 32(*)11111为等差数列，此时适合时，又当nnnnaaanaSan（一）等差数列的判定与证明? , 22:2数列是否成等差试判断数列若此题改为思考nnannS. ,2 3, 1, 1 :3123211不成等差数列故而由题意得解naaaaaaSa2 321 1nnnan事实上，. ,2 . 3. . 2.要注意 验 一定)2(. 131211的数学思想体现了特殊与一般即可有差数列，若能要说明一个数列

6、不成等定义证明数列，要按要证明一个数列为等差是否适合通项公式证解题时利用评注：aaaanSSannn（二）等差数列的性质及公式的应用.,12, 4:2218762的值求中，若在等差数列例aaaaaan420152815 152 28 2 84 1421721871426aaaaaaaddaa知：解：由推广的通项公式看成首项）项和公式（把时可灵活使用前求等差数列部分项的和可直接求公差已知等差数列的某两项评注：7 . 2 . 1and_,5,:35935SSaaSnann则若项和为的前设等差数列例199515539()992595()552aaSaaaSa 解：.211之和转换成数列中另外两项将中

7、可利用性质评注：在nnnaanaaSqpqpnSNqpqpSSa求为等差数列，且若数列例 ), ,(,:40)21)( 021 02) 1)()( 2) 1(2) 1( :11111dqpaqpSdqpaqpdqpqpaqpdqqqadpppaSSqpqp解评注：恰当运用前n项和公式以及整体代换是解决本题的关键.以及图象法证明吗？公式思考：你能使用naaSnn21（三）等差数列前n项和的最值问题.)2() 1 (0, 0,12:5122113123说明理由中哪一个值最大，并、指出的取值范围；求公差，已知项和的前设等差数列例SSSdSSaSnann）依题意有（解 1:12112 111202Sa

8、d13113 121302Sad11211060adad2437d 即 代入可得得由daa2121213. 00 0132 0122:7671311312112的范围即可解得得由或daaaaaSaaS中的最大值、就是时，使中存在自然数因此若在可知）由（122111312210, 012102SSSSaannaaaadnnn.0, 0, 000,0130)(66122176767767137612的值最大中、故在所以由此得即由于SSSSaaaaaaaaSaaS临界项”中正负值发生变化的“出数列的最值问题的关键是找评注：解决nS（四）、初等数论在数列中的运用（四）、初等数论在数列中的运用 _nba

9、,3n45n7BA,BAnba. 6nnnnnnnn的的值值是是的的正正整整数数为为整整数数则则使使得得且且和和项项和和分分别别为为的的前前和和已已知知两两个个等等差差数数列列例例 nnnnnnbbaannbaBAnnbbaannBAnnn121211221211得代上式中的，以项和公式可得解：由等差数列的前时，符合条件。，取当且的正约数应为为整数，故11532112, 6 , 4 , 3 , 21, 21,121,11272238143) 12(45) 12(7nnnnbannnnnbannnn?1432000,1000. 7整数有多少个的除余整除且被内能被在例312143334,334,

10、34,3:ncknkmmNnmmnbambnanmnmn，整除一定能被令设解 .143:的项数的数列的公共项构成的数构成的数列除余与被整除的数构成的数列此题即求被分析nnncba.83184166, 312841000, 3121662000项共有故的最小项为的最大项为易得nnnccc .,21. 7,. 821725242322中的项数列为使得）试求所有的正整数（；项和前）求数列的通项公式及（项和，满足其前为列，是公差不为零的等差数设例nmmmnnnaaaamSnSaaaanSa052, 00).()(3.,134343423242522daaadaadaadaaaad即由性质得则解：设公差为. 2, 5, 72677117dadaS解得得又由 nnSnnaannn6, 722项和前的通项为, 1,868)2)(4(72,1,327232)52)(72(,32)52)(72()2(2121ttttttttkttmkmmmaaammmaaammmmmm为奇数须为整数，且故且为奇数令是数列中的项，故可设25, 37214,15721mkktkkt此时，符合得时，当（舍）得时，当.有关知识即可，再结合整除的的项数是正整数的条件要充分注意数列的问题，解此类问题时方