10几何向量及线性运算31-323向量积ppt课件

1、哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王王 宝宝 玲玲t数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积t 几何向量的坐标，用几何向量的坐标，用坐标表示坐标表示t 几何向量的运算几何向量的运算. ., , AB a, a,ABaABaa 10a ab 同向或反向的向量同向或反向的向量.任意两向量都共面任意两向量都共面. .baa+baba+b首尾相连首尾相连,a,a起点起点指向指向b b终点终点c = a+ba bcdee = a + b + c + db两起点置一处两起点置一处, , b b终点指向终点指向a a终点终点aa - b(1) 1a = a, (-1)a = -a

2、(2) k(la)=(kl) a(3) (k+l)a= ka+la(4) k(a+b)=ka + kbka a长度长度 0, 0,0,aaakkkkkk方向方向同向同向反向反向不定不定规定规定: 若若a = 0， k， ka = 0 若若k = 0， a， ka = 0a0 ,a0 = a|a|,为与为与a同向同向的单位向量的单位向量.a = a a0/(), / a bba aa0 01aba（2） a b无意义无意义.abab（3）a = kb或或b = ka,aaa1 122330kkka2a3a1平行四边形平行四边形ABCD(ABCD(如图如图),),试用试用a a、b b 表示表示

3、. .,ab ABAD和和, MA MB MCMD所以所以 2ab ACMC()12ab MCabMABCD()12ab MAMC,()122abab DBMBMB()()1122abba MDMB 前面讨论的向量及运算只是在几何前面讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量坐标的向量的代数运算转化为数量坐标的代数运算，实际上是对向量及运算进行代数运算，实际上是对向量及运算进行定量的描述定量的描述.a b 注：零向量与任一向量的夹角可以在注：零向量与任

4、一向量的夹角可以在0 到到 间任意间任意 取值取值. 向量与轴及轴与轴的夹角都是正向向量与轴及轴与轴的夹角都是正向 间不超过间不超过 的夹角的夹角.ab2.2.点在点在u u轴上的投影：若轴上的投影：若A A为空间中一点为空间中一点, , u u 为一轴，过为一轴，过 A A点作垂直于点作垂直于 u u 轴的轴的平面平面 ，那么，那么 与轴与轴 的的交点交点 为为A A在在 轴轴 上的投影上的投影. .uAuAB 设有向量设有向量 , 则轴则轴 上的有向上的有向线段线段 的值为的值为 （数量（数量 同向为正数，同向为正数， 向为负数）向为负数）, 称为向量称为向量 在轴在轴 上的投影，记作上的

5、投影，记作 u(),uuAA1投轴()uuBB2投轴 A Bu 与与A Bu 与与 反反A B与与 A B A BuABuAB投影轴投影轴u1u2BA3.3.向量在向量在u u轴上投影轴上投影: :urj21P ABA BuuuABu1u2ABCCu3abABu1u2BuBAuurjPcos,ABABABu uuurjrjrjP ()PPabab|cos| |cos WFSFSF SF 物理背景：一物体在常力物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线的作用下，沿直线运动产生的位移为运动产生的位移为 时，则力时，则力 所做的功是所做的功是: FS 抽去物理意义，就是两个向量确定一抽去物理意义，就是

6、两个向量确定一 个数的运算个数的运算.rjrj|cos,|P|Paba baba babba 一个向量的模乘以另一个向量在这个向量一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影上的投影.aba bb a （1交换律：交换律：()ab ca cb c （2分配律：分配律：()()()a ba bab () ()()mmaba b（3结合律：结合律：0a b , a baba b c ,a ba c abc 0abc22| cos|0, |a aaaaa a（4）0a a a 0a (b-c).（1 1求模长：求模长：（2 2求夹角：求夹角：（4 4求投影：求投影：|a|=aa,ab00(,) ab

7、a b32a b a b=0,0brjPba bab,arccos| a ba bab设设(a +3b)(7a-5b),且且(a -4b)(7a-2b)求求.2222(3 ) (75 )715160(4 ) (72 )78300abababa babababa bcos2ba由上式消去由上式消去2223460aba b 得得cos2ab由上式消去由上式消去221613220baa b 得得1cos,23用向量证明余弦定理用向量证明余弦定理. .ABC2BC2ACAB() ()ACABACAB AC ACAC ABAB AB2 cosACAC ABAAB222 cos Aabcbc2222中中b

8、caABCsin,a ba ba b都非零且不共线都非零且不共线, ,那那么么,a b| |cab, a b以以 为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积. .aba b, a ba a bbb a()()()ababa b kkk()abca ba c abb a aa 0（1 1）0 a b（2 2）（3 3反交换律：反交换律：（4 4结合律结合律: :（5 5分配律分配律: :规定规定/0a/ ,a b(1)(1)求平行四边形面积：求平行四边形面积：(2)(2)求夹角：求夹角：abhh=|b|sina，b=|ab|a|(3)(3)求平行四边形的高：求平行四边形的高：(4)(4)可判断向量平行可判断向量平行: :/a ba b 000absin,| aba ba