高等数学第七版下册复习纲要

1、第七章：微分方程一、微分方程的相关概念1.微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.2.微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解.特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解.3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中.二、微分方程的常见类型及其解法1. 可分离变量的微分方程及其解法(1). 方程的形式：g( y)dyf ( x) dx .(2).方程的解法：分离变量法(3).求解步骤.分离

2、变量，将方程写成g ( y) dy f ( x)dx 的形式；.两端积分： g( y)dyf ( x) dx ，得隐式通解 G( y)F ( x) C ； . 将隐函数显化 .2. 齐次方程及其解法(1).方程的形式： dyy.dxx(2).方程的解法：变量替换法(3).求解步骤引进新变量 uy ，有 yux 及 dyu x du ；xdxdx代入原方程得：u x du(u) ；dx分离变量后求解，即解方程dudx ；(u) ux变量还原，即再用y 代替 u .x3. 一阶线性微分方程及其解法(1). 方程的形式：dyP( x) yQ( x) .dx一阶齐次线性微分方程: dyP( x) y0

3、 .dx一阶非齐次线性微分方程:dyP( x) yQ(x)0 .dx(2). 一阶齐次线性微分方程dyP( x) y 0的解法 :分离变量法 .dx通解为 yCeP ( x)d x ,( CR). (公式)(3). 一阶非齐次线性微分方程dyP(x) yQ(x)0的解法:常数变易法 .dx对方程 dyP( x) yQ( x) ，设 yu (x)eP( x)d x 为其通解，其中u(x) 为未知函数，dxu ( x) eu( x) P( x)eP( x)d x ，从而有dyP (x ) d xdx代入原方程有( ) eP( x) d x()()P (x )d x()()P( x)d x( )，u

4、 xu x P x eP x u x eQ x整理得u ( x)Q( x) eP( x) d x，两端积分得u xQ x eP ( x) d xdx C ，()( )再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解ye P( x)d x (Q( x) e P( x) d xdx C)Ce P ( x) d xe P (x )d x Q( x)e P ( x)d xdx ，( 公式 )即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解 +非齐次线性方程特解 .第八章：空间解析几何与向量代数一、向量a( xa , ya , za ), b(xb ,yb , zb ), c ( xc , yc , zc )

5、1.向量 a( x, y, z) 与b(xb,yb,zb) 的数量积： aba b cosx xxybz z ；aaaa bba bijk2.向量 a(xa , ya , za ) 与 b( xb , yb , zb ) 的向量积： abxayaza .xbybzbaba b sin3.向量 r( x, y, z)的几何意义为以a, b 为邻边的平行四边形的面积.的方向余弦：cosx,cosy, cosy，x2y 2z2x2y 2x2y 2z2z2cos2cos2cos21；sin 2sin 2sin 22 .4. 向量 a(xa , ya , za ) 与 b(xb, yb , zb ) 垂

6、直的判定：a ba b 0xxx yz z 0 .abbba b5.向量 a(xa , ya , za ) 与 b( xb , yb , zb ) 平行的判定：a / ba b 0a kb , k 0xaxbzak .xbybzb6.三向量共面的判定：kambnc0a,b ,c 共面 .7.向量 a(xa , ya , za ) 在 b( xb , yb , zb ) 上的投影： Pr j a bab xa xbxb ybza zb .axa2ya2za2二、平面1. 过点 P( x0 , y0 , z0 ) ，以 n (A, B, C ) 为法向量的平面的点法式方程：A( xx0 )B( y

7、y0 )C (zz0 )0 .2.以向量 n( A, B,C ) 为法向量的平面的一般式方程：AxByCzD0 .3.点 M ( x1, y1 , z1 ) 到平面 AxByCzD0 的距离 dAx1By1cz1 DA2B 2.C 24.平面1: A1 xB1 yC1 zD10 与2: A2 xB2 yC 2 z D 20平行的判定：1 /2n1 / n2A1B1C1D1 .A2B2C2D 25.平面1: A1 xB1 yC1 zD10 与2: A2 xB2 yC 2 z D 20垂直的判定：12n1n2A1 A2B1 B2C1C20 .6.平面1: A1 xB1 yC1 zD10 与2: A

8、2 xB2 yC 2 zD 20的夹角：三、直线1. 过点 P( x0, y0, z0 ) ，以 s(m, n, p) 为方向向量的直线的点向式( 对称式、标准 ) 方程：xx0y y0zz0 .mnpxx0tm2. 过点 P( x0, y0, z0 ) ，以 s( m, n, p) 为方向向量的直线的参数式方程： yy0tn .zz0tp3.直线的一般式方程：A1x B1 y C1z D10. 方向向量为 sn1n2 .A2 x B2 y C2 z D204. 直线方程之间的转化：i)点向式参数式ii)一般式点向式第一步：找点第二步：找方向向量sn1n25.直线 L1 : xx1yy1zz1

9、 与 L2 : xx2yy2zz2 平行的判定：m1n1p1m2n2p2L1 / L2s1 / s2m1n1p1 .m2n2p26.直线 L1 : xx1yy1zz1 与 L2 : xx2yy2zz2垂直的判定：m1n1p1m2n2p2L1L2s1s2m1m2n1 n2p1 p20 .7.直线 L1 : xx1yy1zz1 与 L2 : xx2yy2zz2的夹角：m1n1p1m2n2p2cosm1 m2n1n2p1 p2.m12n12p12m22n22p228.直线 L : xx0yy0zz0 与平面: AxByCzD0 垂直的判定：lmnlmnLS/ NAB.直线 L : xx0yy0zz0

10、 与平面C9.: AxByCzD0 平行的判定：lmnL /SNAlBmCn0 .10.直线 L : xx0yy0zz0 与平面: Ax ByCzD0 的夹角：lmnsinAmBnCp.A2B2C 2m2n2p 2A1 x B1 y C1 z D10PM s11. 点 P(x0 , y0 , z0 ) 到直线的距离： d，其中 M 是直线上任意一点，A2 x B2 y C2 z D20ssn1 n2 .四、曲线、曲面1.yoz平面上的曲线 C ： f ( y, z)0 绕 z 轴旋转一周所得的旋转曲面为S ： f (x2y 2 , z) 0 .2.F ( x, y, z)00 ；空间曲线 C

11、：关于 xoy 平面上的投影柱面方程为： H ( x, y)G( x, y, z)0在 xoy 平面上的投影曲线为 C ：H (x, y) 0z.0第九章：多元函数微分法及其应用一、平面点集1. 内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点；2. 聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点；3. 开集和闭集内的所有点都是聚点 .二、二元函数的极限、连续性的相关知识点1.二元函数f ( x, y) 在 (x0 , y0 ) 点的二重极限：limf (x, y)A .( x, y)( x0 ,y0 )2.二元函数f ( x, y) 在 (x0 ,

12、 y0 ) 点的连续性：limf (x, y)f (x0 , y0 ) .( x, y)( x0 , y0 )3.二元初等函数在其定义区域内连续 .二、二元函数的偏导数的相关知识点1.函数 zf ( x, y)zz对自变量 x, y 的偏导数：及.xy2.函数 zf ( x, y)对自变量 x, y 的二阶偏导数：2 z、2 z、2 z2 zx 2y 2x y、y x注：若二阶混合偏导数2 z2 z连续，则二者相等 .与y xx y三、二元函数的全微分：dzz dxz dyxy四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系1.函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关

13、系.2. 偏导数存在性与全微分存在性的关系：全微分存在，偏导数存在；反之未必.( 偏导数不存在，全微分一定不存在)偏导数连续，全微分存在，反之未必.3. 连续性与全微分存在性的关系：全微分存在，函数一定连续；( 函数不连续，全微分一定不存在)函数连续，全微分未必存在.五、二元复合函数的偏( 全) 导数1. 中间变量为两个，自变量为一个的复合函数的全导数：zf (u, v), u(t), v(t ), zf (t),(t) ，2. 中间变量为两个，自变量为两个的复合函数的偏导数：zf (u, v), u( x, y),v( x, y), zf (x, y),(x, y) ，六、隐函数微分法1.

14、由一个方程确定的隐函数微分法：F ( x, y, z)0确定隐函数z f ( x, y) ，直接对方程左右两端关于自变量求偏导数，即F dxF dyFz0，即x dxy dxzxF1F 0Fz0 ，解得zFx'xyzxxFz'2. 由方程组确定的隐函数组微分法：F ( x, y, u, v)0uu(x, y)G(x, y, u, v)0确定隐函数，vv( x, y)F dxF dyFuFvx dxy dxuxv0直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数，即xG dxG dyGuG，即vx dxydxuxv0xFFuFv0xuxvxuv，可以解出.GGuGvx,0xxuxvx七、偏

15、导数的几何应用1. 曲线的切线方程和法平面方程x(t ),1). 以参数式方程y(t ), 表示的曲线在 tt0 对应的点 M ( x0 , y0 , z0 ) 的z(t )切线方程： xx0y y0z z0' (t0 )' (t0 )' (t0 )法平面方程：' (t0 )( xx0 )' (t0 )( y y0 )' (t0 )( z z0 ) 02).以一般式方程F ( x, y, z)0表示的曲线在点M (x0 , y0 , z0 ) 的切线和法平面方程：G(x, y, z)0F ( x, y, z)0yf ( x)dy , dz ，然后

16、得到切线的方向向量先用方程组G( x, y, z)确定的隐函数组微分法求出0zg(x)dx dxn1, dyx x0, dzx x0dxdx切线方程：x x0yy0zz01f' ( x0 )g ' ( x0 )法平面方程： xx0f ' ( x0 )( yy0 ) g' ( x0 )( z z0 ) 02. 曲面的切平面方程和法线方程1). 以一般式方程 F (x, y, z)0表示的曲面在点M ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面和法线方程：切平面线方程： Fx' (M )( xx0 )Fy' (M )( yy0 )Fz' (M

17、)( z z0 )0法方程：xx0yy0zz0Fx' (M ) Fx' (M ) Fz' ( M )2). 以特殊式方程 zf ( x, y) 表示的曲面在点 M ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面和法线方程：令 F ( x, y, z)f ( x, y)z0 ，有曲面在点 M (x0 , y0 , z0 ) 的切平面的法向量切平面线方程： f x' (x0 , y0 )( x x0 )f y' ( x0 , y0 )( yy0 ) ( z z0 )0法方程：xx0yy0z z0 .f x' (x0 , y0 )f x' ( x0

18、 , y0 )13. 方向导数与梯度：1).方向导数：flimf ( xx, yy)f (x.y)l02).方向导数存在条件：可微分函数z f ( x, y) 在一点沿任意方向l 的方向导数都存在，并且fz cosz cos ，其中 cos, cos是方向 l 的方向余弦 .lxy3).梯度：函数f ( x, y, z) 在点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的梯度grad f ( x0 , y0, z0 )fx ( x0 , y0, z0 )if y ( x0 , y0 , z0 ) jfz ( x0 , y0 , z0 )k ( ).4).方向导数与梯度的关系：. 函数 f ( x,

19、 y, z) 在点 M (x0 , y0 , z0 ) 处增加最快的方向是其梯度grad f (x0 , y0, z0 ) 的方向，减小最快的方向是 grad f ( x0 , y0 , z0 ) 的方向 . . 函数 f (x, y, z) 在点 M ( x0 , y0 , z0 ) 沿任意方向的方向导数的最大值为grad f (x0 , y0 , z0 ) .八、极值、条件极值1.函数 zf ( x, y) 的极值点和驻点的关系：函数zf ( x, y) 的极值在其驻点或不可偏导点取得.2. 求函数极值的步骤：(1). 对函数 zf x' ( x, y)0f ( x, y) 求偏导

20、数，解方程组，得所有驻点 (xi , yi ) .f y' ( x, y)0(2). 对每一个驻点 ( xi , yi ) ，求出二阶偏导数的值 A f''(x, y), Bf''(x, y ),Cf''(x, y ) .xxiixyiiyyii(3). 计算 B 2AC ，根据 B2AC 以及 A 的符号判定f ( xi , yi ) 是否是极值：若 B2AC0, A0若 B2AC0, A0，则 f ( xi , yi ) 是极小值；，则 f ( xi , yi ) 是极大值；若 B2 AC 0, ，则 f ( xi , yi ) 不是

21、极小值；若 B2AC0, ，则 f (xi , yi ) 是否是极值不能判定，需其他方法验证 .3. 求函数 zf ( x, y) 在附加条件( x, y) 0 下的条件极值的方法：做拉格朗日函数F ( x, y)f (x, y)( x, y) ，对自变量 x, y 求偏导，建立方程组Fx' ( x, y)f x' (x, y)x' ( x, y)0与附加条件联立的方程组Fy' ( x, y)f y' ( x, y)y' ( x, y)0 ，解出的 x, y 就是函数 zf ( x, y) 的可能极值( x, y)0点 .第十章：重积分一、二重积

22、分的相关性质1.有界闭区域上的连续函数f ( x, y) 在该区域 D 上二重积分f ( x, y)d 存在；D2.若函数 f ( x, y) 在有界闭区域D 上二重积分存在f ( x, y)d ，则 f ( x, y) 在该区域上有界；D3.中值性：若函数f ( x, y) 在有界闭区域 D 上连续，区域 D 的面积为，则在 D 上至少存在一点 ( ,) ，使得f (x, y)df ( x, y).D4.1d，区域 D 的面积为.D二、二重积分的计算1. 利用平面直角坐标计算二重积分 1). 先对 y 后对 x 积分，由于积分区域 D : axb ；1 ( x)y2 (x) ，有f ( x,

23、 y)db2 ( x)f ( x, y)dy .dx1 ( x)Da2).先对 x 后对 y 积分，由于积分区域 D : cyd ；1 ( y)x2 ( y) ，有f ( x, y)dd2 ( y)f ( x, y)dx .dy1 ( y )Dc3).b2 (x )f (x, y)dyf (x, y) dd2 ( y )积分换序：dx1( x)dyf (x, y) dx .aDc1 ( y)2. 利用极坐标计算二重积分xcos1()x2 ( ) ，有令，由于积分区域 D :；ysinf ( x, y) d2 (),sin)d .df ( cosD1 ()三、三重积分的相关性质：1VdV V ，

24、区域的体积为.四、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分积分区域 V ： axb ； y1( x)yy2 ( x) ； z1 ( x, y)zz2 (x, y) ，有第十一章：曲线积分曲面积分一、曲线积分的计算1. 第一型曲线积分的计算：x(t),，则第一型曲线积分若曲线 C 的参数方程是：(t),t0 t t1y2. 第二型曲线积分的计算：x(t ),t t1 ， t0t A , t1t B 分别对应曲线的两个端点，则第一型曲线积分若曲线 C 的参数方程是：t0y(t),P( x, y)dx Q(x, y)dyt1(t ) ' (t )Q( (t ),(t) ' (t)

25、 dtP( (t),Ct 03. 格林公式 ( 联系曲线积分和二重积分 )设有界闭区域D由分段光滑曲线C所围成， C取正向，函数P(x, y), Q(x, y) 在 D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式 PdxQdyDQP dxdy .Cxy注： 1. 可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域D 由取正向的光滑曲线C 所围成，则区域D的面积为dxdy1ydx xdy .2 CD2. 函数 P( x, y),Q (x, y) 在区域 D 上连续 .二、曲面积分的计算1. 第一型曲面积分的计算：若曲面 S 的方程是： zz(x, y) 具有连续偏导数， 且在 xoy 平面上的投影

26、区域为D xy ，函数 f (x, y, z) 在 S 上连续，则第一型曲面积分2. 第二型曲面积分的计算：若正向曲面 S 的方程是： zz( x, y) ，且在 xoy平面上的投影区域为D xy ，函数 R( x, y, z) 在 S 上连续，则第二型曲面积分R( x, y, z)dxdyR x, y, z( x, y)dxdy ，SD xy同理可得P(x, y, z) dydzR x( y, z), y, z)dydz ；SDyz3. 高斯公式 ( 联系曲面积分和三重积分 )若函数 P(x, y, z),Q (x, y, z) 在空间有界闭区域 及其光滑边界曲面S 上具有连续偏导数，则有高斯公式：PdydzQdzdxRdxdyPQR dxdydz.Sxyz注：设空间有界闭区域 由光滑封闭曲面 S 所围成，则区域 的体积为1xdydzydzdxzdxdy.V3S4. 斯托克斯公式 ( 联系曲面积分和三重积分)若函数 P( x, y, z), Q (x, y, z) 在光滑曲面 S