第二章电像法

1、地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法第二章电像法第1页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法引言引言静电场 电位微分方程泊松方程、拉普拉斯方程定解条件主要方法分析解法数值解法模拟实验法电像法分离变量法解析函数法有限差分有限元“第一类边值问题”“第二类边值问题”“混合边值问题”第2页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法对某区域内只有一个或几个点电荷（或线电荷）、区域边界或交界面为导体或电介质的某些特殊情形，用假想的“像电荷”代替实际存在于界面处的感应电荷或极化电荷，利用“像电荷”得到问题解的方法。什么是电像法？本章讨论平

2、面、球面、柱面界面电像法返返回回第3页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法一、无限大接地平面导体外一点电荷的静电场一、无限大接地平面导体外一点电荷的静电场)0 , 0 ,(ax xq q0 00求 空间的电位、场强及平面导体上的电荷分布。0 x静电感应，场由q及 共同产生。)0 , 0 ,(ax xq q0 00- - - - -0)0 , 0 ,(ax xq q0 000)0 , 0 ,(xq qrr由唯一性定理，定解条件为方程：02 U边界条件：除(a,0,0)点以外00 xU0rU(1)(1)(2)(2)(3)(3)第4页，共27页。地球物理场论地球物理场论

3、II第二章第二章 电像法电像法点电荷的电位rqU041 设 空间的尝试解为0 x004141rqrqU212220212220)(41)(41zyxxqzyaxq尝试解已满足(1)式和(3)式。为满足(2)式，将(4)式代入(2)式，得0)(41)(4121222 02122200zyxqzyaqUxqqax代入式(4)，即得解为(4)21222212220)()(41),(zyaxqzyaxqzyxU0 x第5页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法q像电荷，q原电荷。rrrqrrrqzyxE2 2041),(0 x感应电荷密度00 xnE00 xxU23222)

4、(2zyaaq总感应电荷Q232220)(2zyadzdyaqdSQxq场强第6页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法二、两均匀电介质交界面为无限大平面、一介质内有一二、两均匀电介质交界面为无限大平面、一介质内有一点电荷的场点电荷的场) 0 , 0 ,(ax xq q0 012)0 , 0 ,(ax xq q0 011)0 , 0 ,( aq q如图。试求：空间电位分布函数、场强 及电位移 的分布及x0界面处的极化束缚面电荷密度 。ED解：交界面处有束缚面电荷 。空间的场即是由q与 产生。 区域的边界为无穷远，边界处电位为0。 1r1r)0 , 0 ,(ax x0

5、 022 2r q第7页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法令 空间的电位函数为U1， 空间的电位函数为U2，则有0 x0 x方程)0 , 0 ,(ax xq q0 011)0 , 0 ,( aq q1r1r)0 , 0 ,(ax x0 022 2r q012 U022 U除(a,0,0)点以外边界条件021rrUU交界条件0201xxUU011022xxnUnU设尝试解为111141rqrqU21222212221)()(41zyaxqzyaxq 2 2241rqU21222 2)(41zyaxq(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)第8页

6、，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法由(4)式，有21222212221)()(41zyaqzyaq21222 2)(41zyaq2 1qqq由(5)式，有232222322211)()(4zyaaqzyaaq23222 22)(4zyaaq qqq解得qq2121qqq2122121 21令212112K称为介质 对介质 的反射系数12令2121221 K称为从介质 透射入介质 的透射系数12qKq12称为反射像电荷qKq12 1透射像电荷第9页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法最后得到解为11211141rqKrqU0 x 21

7、222)1 (41rqKU0 x还可利用原电荷、反射像电荷、透射像电荷直接得出场强及电位移31112311114rrKrrqE0 x311123111114rrKrrqED3 2 21222)1 (41rrqKE0 x3 2 212222)1 (41rrqKED第10页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法交界面x0处的极化束缚面电荷密度)(12nnPP)()(101202nnEE0120 xxUxU232221012)(2zyaaqK总极化面电荷为qdsQx1210210)()(当 时，K120，则 均为正电荷；21,Qq当 时，K12a，q点除外)0rpU0aR

8、pU设尝试解为041rqrqUp212 221220)cos2()cos2(41RddRqRddRq(1)(2)(3)尝试解已满足(1)、(2)式。为使之能满足(3)式，在球面上任取一点p，有第15页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法0410rqrqUpqqrr如果q的位置恰能qaoqPdrrqOPPOq有addarradad qdaq所以21222221220)cos2()cos2(14daRdaRdaRddRqUp则 POqqOP第16页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法现在求总感应电荷Q。qodS总感应电荷在球心处电位为SS

9、dSaadSU00, 0414aQ04q在球心处电位为dqUq0, 04球心处总电位为零，即04400, 0, 00dqaQUUUqqqdaQ因为ad，所以Qa)有一与柱轴平行的无限长线电荷，线电荷密度为 ，试求空间的电场分布函数。12解：选柱坐标，使z轴与圆柱轴重合，场分布与z无关，故只讨论与柱轴垂直的某一横截面上的二维分布。12ado应用“二电介质一点电荷”及“球外一点电荷”的思想adad 1do1dR1r1r2 do2 2r21第20页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法求场强。尝试解为aR RRRrrrrrrE1111111121 2 2 2 2221rr

10、rEaR 其中211221)cos2(RddRr2112 21)cos2(RddRrdad221222 2)cos2(RddRr利用场强交界条件定解aRnaRnEE1122aRtaRtEE12第21页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法 do12AEEE12 Eadadaad 对A点，有 o12B对B点，有2122 2212 221221)(cos1)(cos)(cos1dadada2122)(cosdad212 2)(cosdad2 1122121K212122121 2)1 (1K第22页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法代入试

11、解即得场强利用下列公式求电位CRU1ln21111ln1ln1ln21CRrrUaR2 2 21ln2CrUaR如令柱轴为参考点，则01ln222 02CdURdC1ln22 2 2 2ln2rdU由电位连续即可求得U1。第23页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法二、两带等量异号电荷的无限长导体柱的电场二、两带等量异号电荷的无限长导体柱的电场两无限长带等量而异号电荷的导体圆柱面，求空间电位分布ad2oxyoyxbb1r2rCrrU120ln2120ln2Krr等位面方程KerrK0212Kybxybx21222122)()(第24页，共27页。地球物理场论地球物理场论II第二章第二章 电像法电像法2222221211KbKybKKx如果oyxbbaKbK122dbKK112222adbCrrU120ln2Cybxybx212221220)()(ln2Cyadxyadx2122222122220