初中数学重点梳理：恒等式证明

1、恒等式证明.知识定位代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有 整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因 此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一.本讲主要介绍恒等式的 证明.首先复习一下基本知识，然后进行例题分析.两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则 称这两个代数式恒等.把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形.恒等 式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等.证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧， 使证明过程尽量简捷.一般可以把恒等式的证明分为

2、两类：一类是无附加条件的 恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明.对于后者，同学们要善于利 用附加条件，使证明简化.下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技 巧.7号知识梳理知识梳理1:由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“山繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和 “相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）.知识梳理2：比较法比较法利用的是:若则从作差法）；或若3 = 1,则，=从作商法）。b这也是证明恒等式的重要思路之一。知识梳理3：分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法乂可分为分析法与综合法.分析法 是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的

3、，这样一步一步逆向推 导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索 因”.而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得 到所求结论.知识梳理4：其他解题方法及技巧除了上述方法，设k、换元等方法也可以在恒等式证明中发挥效力.【试题来源】【题目】己知 x+y+z=xyz,证明：x(I-y2)( 1 -z2)+y( 1 -x2)( 1 -z2)+z( 1 -x2)( 1 -y2)=4xyz.【答案】因为x+y+z=xyz,所以左边=x( 13-y2-y2z2)+y( 1 -z2-x2+x2z2)+( 1 -y2-x2+x2y2)=(x+y+z)-xz2-x

4、y2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边.【解析】将左边展开，利用条件x+y+z=xyz,将等式左边化简成右边.【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】己知 1989x11991 y2=1993z2, x>0, y>0, z>0,且J1989x+1991)，+ 1993z =4989 +

5、 1991+1993 0【答案】令 1989x2= 1991 y2= 1993z2=k(k > 0),则1989Ak199】"片I993z=7因为一十一十一L所以 X Y Z/89n991y+1993z5又因为1989=1 1991$，1993 = *所以VT丽-耐，遗-更+更亚-花 x y z所以J1989x7991y + 1993z = 71989 71991 . 71993【解析】令 1989x2= 1991 y2=1993z2=k(k>0),则I989i=-. 1991? = ", 1993z=± xyi因为!上个3I,所以 X JF Z，19

6、刎 + 1991厂199攵 本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数匕使左右两边同时变形为同一 形式，从而使等式成立.【知识点】恒等式证明 【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】 n 4、, ，厂- beh2 - caab - c2【题目】求证：-+ -=-( + /?)(+ c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b)【答案】因为/ - be = -2 + m M - be(a + b)(a + c)(a + b)(a + c)+. a e(a + b)(a+G) a* b a c 1所以b2 - ca b a= (b + c)(b-a) b + c

7、 b + at2 -abb(c + a)(c + b) eta b + c所以左-右=a2 - be ba - ta / 一冷C+b)G + c> <b+c)(b + » m(c+b)a c b a c b- 0 a4b a * c b*c b4a c4a bc【解析】用比差法证明左-右=0.本例中，. a -be b - ca c - ab7r - *o =4- . . 4-.(a +b)(a +c)(b + c)(b + a) (c + a)(c + b)这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a, c代b, a代c,则可得出第二项：若对第

8、二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的 字母实行上述轮换，可得出第一项.具有这种特性的式子叫作轮换式.利用这种特性，可使 轮换式的运算简化.【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知a+Z?+c = O ,求证2(/+/+。") = (。2+/+。2y o【答案】左-右=2(a4+b4+c4)_(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=a2-(b-c)2a2-(b+c)2=(a-b+c)(a+b-c)(a-b

9、-c)(a+b+c)=0.所以等式成立.【解析】用比差法，注意利用a+b+c=0的条件，证明过程中主要是进行因式分解。【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】 【题目】设 =土也M=生=1 = =，其中。+， + c,全不为零,证明:a + b b + c c + a(l+p)(l+q)(l+r)=(l-p)(l.q)(l-r).【答案】a+b a+b同理-2b2c1+q=沃5后1 +r=2_. It二加 c + ac +a所以左g+p? $i：r)右 (1-p)q1C 1-r)2& 2b 2c a + b b + c c + a 2b 2c 2a . . a

10、，b b *c c + a所以(1 +p)( 1 +q)(1 +r)=(l-p)(l-q)(l-r).【解析】本例采用的是比商法【知识点】恒等式证明 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知L + L = l，求证：a2+b2+c2=(a + b-cY a b c【答案】要证a2+b2+c2=(a+b-c)2,只要证 a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc >只要证ab=ac+bc,只要证 c(a+b)=abt里(因为即b, C都不为零). ab c即-+1=-.a b t显然成立。【解析】利用分析法，执果索因，从结论逆推证明，条件根结论能够很好对

11、接，问题很容易得到解决。【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】己知a4+b4+c，+d4=4abcd,且a, b, c, d都是正数，求证：a=b=c=d. 【答案】由己知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0,(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0»所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=O.因为(a2-b2)/0, (c2-d2)2>0, (ab-cd)2>0,所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=O,所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)=0.又因为a, b,

12、c, d都为正数，所以a+b女)，c+dfO,所以 a=b, c=d.所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c )=01所以a=c.故a=b=c=d成立.【解析】通过分组分解，构造完全平方解决问题【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】己知y =。一土,z = 一人-,求证：x = a- - x yz【答案】由已知y = a -,x=a -z.yx得a'= a-?（a-z）,即【解析】本题的两个已知条件中，包含字母a, x, y和z,而在求证的结论中，却只包含a, X和Z,因此可以从消去y着手，得到如下证法.【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数

13、】3【试题来源】【题目】证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z).【答案】令 y+z-2x=a,z+x-2y=b,x+y-2z=c,则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc.联想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)i 所以将，相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0,所以 a3+b3+c3-3abc=0t所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z).【解析】此题看起来很复

14、杂，但仔细观察，可以使用换元法.令 y+z-2x=a, (i)z+x-2y=b,x+y-2z=c,则要证的等式变为ab+cMabc.【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】设X, y, z为互不相等的非零实数，且(111x + -= y +- = z+-t yzz求证：x2y2z2=l.【答案】由己知有第二匕， 工-yLX = , y-za二3-、 1 -XXX得x2y2z2=l.【解析】本题x, y, z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，即令y为互不相等的非率其数，且x1二9+1，求证二/ y x=1.因为从X *； = y '*"

15、;易推出x-y = ；T，故有:Ky(x-y)=y -x.又因为行与1所以所以x?y2=l.三元与二元的结构类似.【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】己知(c-a)2<(a-b)(b-c)=0,求证：2b=a+c.【答案】/(£ a) 4(a b)(b c) = 0 j 2ac + cr + lac 4ab + 46" 4bc = 0，即(c + n) 45(g + c) + ib = 0(c 1+ a - 2b)2 = 0：2b = a + 6【解析】本题需先利用完全平方公式对(C a)2 一 4(a -e- c) = 0进行整

16、理,最后计算得出(c 4- a - 2b)2 = 0 s即可证出结果.【知识点】恒等式证明【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3).【答案】9'.'(.r + y + zu: + .r：y)$ 了的, + y3 + /)-(，/ + z'd +：.xyz(x + y + 力3-(/ + y3 + z3) = yz + zx + 叼户)-(/ + /).邛+ 1/ + J + 3r2y + 3f/ + 3Td + 3pz + 3y/ + 6t/)

17、-(>'+/ + /)：,=(/? + Ji' + 1V + 3jf？x + 3z%2V + 3/- + 3/% + 3K* + 而2V)_(/ + 寸),.*,xyz(3x*/ + 3H y+ Sr/ + 3y2z + 3yz2 + 6xyz) = 3p"z% + 3z% 2y + 3(/U + 3z2z3y + 力/ + Gjfz2 .,(3丁V2 + 3Tty z + 3 工 4% + 3yz2 工 + 3y223 H + 6t"/V =好炉工 + 3 办?y+ 3”聚 + fiy2z2x2,.(3f/c + 3/»，+ 3/。% +

18、3/z"1 + 6x2y2c2 -3c；z2?/-3y2cz2-32:l j/= 0.,.(x + y+ 9%yz-(yz + zr + 卬» 叼而"+ y3 + /')-(/ + Jr，+ j亦 ,【解析】本题需先根据三数完全平方公式进行展开各式，然后消去同类项，再进行移项，最后证 出等于零即可求出结果【知识点】恒等式证明【适用场合】课后一个月练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知。=一力=一,。=一，求证：a = d . 1-b1-c1-J【答案】1 1R = E'将b =彳一代入ft = Jy , 1 C1 DI 日 c - 11 IT

19、(1 = = 1 jcc '1= c = 11 ' 1 cld = L移项得d = 1 - - j cc故得a=d.【解析】I本题可直接求出a, d的表达式,将6=代入a = 71T，得° = 3 = 1 一工，再 1 -c1-0cc由c =.'得d =1一工s故得a = d1 - dc【知识点】恒等式证明【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】abxa2b2+=+ 【题目】证明："一"(。叫()("-a)(x")。【答案】证明:左边=J +x - ab*a(x b) 4- brr ax - ab + bx(x

20、 a)(ir - b) (x - a)(x - &) (x a) (x b)x(i + b)(a - 5) - «6(fl - b) (a 一 b)(i - a)(x - b)xa2 - xir - a2b + Iraa2(x b) lr(x - a)(a &)(rr - a)(土 b)(a &)(x a)(x b)a2b2=“一一 一 II 一一.(a b)(x- a) (a- b)(x b)=d_旧=右边.(a b)(x - a) (b a)(x b)故等式成立.【解析】从等式的左边出发,先通分，然后将分子乘开后从新合并,继而拆项后组合即可得出右 边的等式

21、的形式.【知识点】恒等式证明【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知 x2-yz=y2-xz=z2-xy,求证：x=y=z 或 x+y+z=O.【答案】证明： _ yz = / _ 工2 = 22 一 工y/.£一 -"之厂+二2=0>0/ X* = yz xzx" yz + xj/=()*) *)if - ar + ；ry = 022xz - xtj = z y整理得：z- - X1 + IfZ 3-7/ = 0M -叼=叼 一 yz2y 2 2叼/ = 0火=HJ/.? - / = 0：.z = x同理可证E = If：.x = y = 2：.x + v + 2 = o【解析】本题