选修4—5不等式选讲高考题及答案

1、1、解不等式x 1 x 132、已知函数f (x) x a x 2 .(1)当a 3时，求不等式f (x) 3的解集；(2)若f (x) x 4的解集包含1,2 ,求a的取值范围3、若关于实数x的不等式x 5 x 3 a无解，则实数a的取值范围是 4、若不等式kx 42的解集为 x1 x 3 ,则实数k 5、不等式lx-J 1的实数解为k 26、已知函数f (x) x 1 x 2 m.(1)当m 5时，求f(x) 0的解集；(2)若关于x的不等式f(x) 2的解集是R,求m的取值范围.7、已知函数f (x) x a .(1)若不等式f (x) 3的解集为x 1 x(2)在(1)的条件下，若f

2、(x) f(x 5) 围.5 ,求实数a的值；m对一切实数x恒成立，求实数 m的取值范8、已知函数f (x) x a ,其中a 1.(1)当a 2时，求不等式f(x) 4 x 4的解集；(2)已知关于x的不等式f(2x a) 2f (x)2解集为x1 x 2,求a的值.0.2的解集；1 ,求a的值.10、已知 a、b、c 0,，其 a b c 1.-111, 八求证：(1)1 1- 18；a b c(2)豆 bb氏73.11、设 a、b、c求证：(1) a bQ ，其 ab c <3 ;、3 a abc ca 1.12、已知 x 0, y0,证明：1 x y2 1 x2 y 9xy .1

3、3、已知函数f(x) m x 2, m R,且f(x 2) 0的解集为(1)求m的值；(2)若 a, b, c R+,且 1+乙 + 1= m,求证：a+ 2b + 3c>9.a 2b 3c1,114、若3x+ 4y=2,则x2 + y2的最小值为 .15、求函数y 3Vx 5 4j9 x的最大值.9、设函数f(x) x a 3x,其中a (1)当a 1时，求不等式f(x) 3x (2)若不等式f (x) 0的解集为xx1、解：当xw 1时，原不等式可化为3-(x+ 1) -(x-1) >3,解得：x<- 2，当一1<x<1时，原不等式可以化为x+1 (x1)&g

4、t;3,即2>3,不成立，无解.当x>l时，原不等式可以化为，山3 八x+1+x1>3,所以 x> 2，9 分33综上，可知原不等式的解集为x| x< 2或x>2，-2x + 5, x<2,2、解 (1)当 a= 3 时，f(x) = 1, 2<x<3, 2x 5, x>3.当 xW2 时，由 f(x)>3 得一2x + 5>3,解得 xW1；当 2<x<3 时，f (x) >3 无解；当 x>3 时，由 f(x)>3 得 2x 5>3,解得 x>4.所以f (x) >3的解

5、集为x| x< 1或x>4.(2) f(x)<|x-4|? |x-4| -|x-2| >| x+a|，当 xC1,2时，|x-4| -|x-2| >| x + a|? 4一x一(2 一x)|x+a|? 2一awxw2 a,由条件得一2 aw 1 且 2a>2,即一3w awo.故满足条件的a的取值范围为3,0.3、解析 | x-5| + | x+ 3| = |5 -x| + | x+3|引5 x+x+3| = 8,.(| x-5| + |x+3|) min =8,要使|x5|+ |x+3|<a无解，只需 a<8.4、解析Ikx 4|W2, . 2

6、W kx-4<2, . . 2< kx<6.不等式的解集为x|1 <x<3, k = 2.5、解析 |x1|>1|x+1|>|x+2|.|x+ 2|x2+2x+1>x2+4x+4,，2x + 3W0.二. xw JeL x w - 2. 26、解由题设知|x+1|+|x-2|>5,不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：x>2,- 1 < x<2,x<- 1,一.八一或 一或 ，一x+1 + x2>5x+1 x+2>5-x - 1 -x+ 2>5,解得函数f(x)的定义域为(一00, 2)U(3,

7、 +8).(2)不等式 f(x) >2 即 |x+1|十|x 2|>m 2,. x R时，恒有 | x+ 1| + | x-2| >|( x+1) - (x- 2)| =3,不等式|x+1|+|x 2| >nu2解集是R, .nu2<3, m的取值范围是(一8, 1,7、解 方法一 (1)由 f(x)W3 得|x a|<3,解得 a-3<x<a+3.又已知不等式f (x) w 3的解集为x| 1 w xw 5,a 3= - 1,所以解得a=2.a+ 3= 5,(2)当 a=2 时，f(x) = |x-2| ,设 g(x) = f (x) +f(x

8、+5),2x 1, x< 3,于是 g(x) = |x2|+|x+3| = 5, -3< x<2, 2x+1, x>2.所以当x<- 3时，g(x)>5 ;当一3WxW2 时，g(x) = 5;当 x>2 时，g(x)>5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x) + f(x+ 5) > m即g(x)>m对一切实数x恒成立，则 m的取值范围为(一5.方法二 (1)同方法一.(2)当 a=2 时，f(x) = |x-2|.设 g(x) = f(x) + f (x+ 5).由 |x 2| +|x+3| >|( x-2)-(x

9、+3)| =5(当且仅当一3< x<2 时等号成立)，得 g(x)的最小值为5.从而，若f(x) + f(x+ 5) > m即g(x)>m对一切实数x恒成立，则 m的取值范围为(一 5.8、解 (1)当a=2时，-2x+6, x<2,f(x) +|x 4| = 2, 2<x<4, 2x-6, x>4.当 xW2 时，由 f (x) >4| x 4| 得一2x + 6>4,解得 x<1;当 2vxv4 时，f (x) >4| x4| 无解；当 x>4 时，由 f (x) >4- | x-4| 得 2x-6>

10、4,解得 x>5;所以 f (x) >4- | x-4| 的解集为x| xw 1 或 x>5.(2)记 h(x) = f (2 x+a) 2f (x),2a, xw 0,则 h(x)= 4x-2a, 0<x< a,2a, x>a.a 1a+1由|h(x)| <2,解得 一2一wxw2一.又已知|h(x)| <2的解集为x1 <x<2,a 1-2-=1，8 / 7所以a+12=2,于是a= 3.9、解：(I)当 a 1 时，f (x)3x 2可化为|x 1|2。由此可得故不等式f(x) 3x 2的解集为x|x1)。(n)由 f (x)

11、0 得|x a3xx此不等式化为不等式组xa 3xx 3x因为a 0 ,所以不等式组的解集为x |xxaxaxa或aa42a _1,故a2由题设可得2即010、证明(1)a, b, c (0, +oo ),1.a+ b>2/ab, b+O2>/bc, c+ a>2>/ca,(；T) .( j) . (j)abc=8.b+ca+ca+b abc ,，bc 2 . ac 2 , ababc(2) - a, b, c (0 , +8),-a+ b>2/ab, b+c>2/bc, c+ a>2,ca, 2(a+ b+ c) >2 qOb+ 2Jbc+ 2

12、, 两边同加a+b+c得3(a+ b+ c) >a+ b + c+2ab+ 2-Jbc+ 2/ca=(平+小+小;乂 a+b+c= 1,，(+2=c 3,. >Ja+ yjb + yjc< y3.11、证明 要证a+ b+c> yf3, o 由于a, b, c>0,因此只需证明(a+b+c) >3.222即证：a + b + c + 2(ab+bc+ ca) >3,而 ab+ bc+ ca= 1,故需证明:a2+ b2+ c2+ 2( ab+ bc+ ca) > 3( ab+ bc+ ca).即证：a2 + b2 + c2 > ab+ bc

13、+ ca.2.2.2222a= b= c时等号成a + b b + c c + a ?而这可以由 ab+ bc+ ca<-ll= a +b + c (当且仅当立)证得.，原不等式成立.I a fK fc a+ b+cy互+ 7羡+ 7犷飞於在中已证a+b+c>，5.因此要证原不等式成立，只需证明.>/a+ jb-yfc.>/abc即证 aA/bc+ thjac+ c-j'ab< 1, 即证 amc+ b>jac+ c->/ab< ab+ bc+ca.而 abc = Jab - ac<ab+ ac-2-'I ab+ be. b

14、c + acJ3个时等号成立）.ob«acw-, ojab<- - a*7bc+ b/ac+ ab+ bc+ ca ( a= b=c=，原不等式成立.12、证明：因为x>0, y>0,所以1 + x+丫之圣1 + x2+ y >3 />?y>0,故(1 +x+ y2)(1 + x2+ y) >3 /xy5 , 3 /)？y= 9xy.21、(1)解 因为 f(x+ 2)=m-|x|, f (x + 2) >0 等价于 |x| w m由|x|wm<解，得n>0,且其解集为x|mcxwn).又 f(x+2)>0 的解集为1,1,故 mr 1.(2)证明由知1+ 5+4=1， a 2 b 3C又a, b, ceK,由柯西不等式得111a+2b+ 3c= (a+2b+ 3c) 一十五+文a 2b 3c11.一 1 0#诲+取分=9.13、解 由柯西不等式(32+42) (x2+y2)> (3x+ 4y)2,得 25(x?+y?) &