二轮复习专题四：构造函数法证明不等式的八种方法

1、构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一、移项法构造函数【例1】 已知函数f(x) = ln(x+1) x ,求证：当xa1时，恒有11ln( x 1) . xx 1分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数1g(x) = ln(x +1) + -1,从其导数

2、入手即可证明。x 11x【解】f (x)1 = -x 1 x 1，当_1 <x <0时，f (x) >0 ,即f (x)在xW (1,0)上为增函数当x>0时，f'(x)<0,即f (x)在xw(0,y)上为减函数故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间(0,十比)于是函数f(x)在(1,收)上的最大值为f (x)max = f(0) =0 ,因此，当x>1时，f(x) E f(0) =0,即 ln(x+1) xE0. ln(x+1) Ex (右面得证)，1,现证左面，令 g(x) = ln(x +1) +-1,x 1则 g (x)1

3、1x 1 (x 1)2x(x 1)2当 x w (1,0)时,g '(x) < 0;当 x w (0,收)时,g'(x) > 0即g(x)在x W (-1,0)上为减函数，在 x W (0,收)上为增函数，故函数g(x)在(1,收)上的最小值为g (x) min =g(0) = 0,1,八当 x A -1 时，g(x) 2 g (0) = 0 ,即 ln(x + 1)十一1 至 0x 111ln(x +1)之 1，综上可知，当 x>1 时，有-1 <ln(x+1) <xx 1x 1【警示启迪】如果 f (a)是函数f (x)在区间上的最大(小)值，

4、则有 f (x) < f (a)(或f(x)之f(a), 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证.2、作差法构造函数证明1 22 3【例2】已知函数f(x)= -x +ln x.求证：在区间(1,+的)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=x的23图象的下方；第2页共6页分析：函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方 u 不等式f (x)< g(x)问题，1 2 .2 31 2 .2 3即一x +ln x < x ,只 需证明 在区间(1, +s)上，恒有一x +lnx<x 成立，设2 323一、1-F(x) = g(x) f (x) , x w (1+

5、),考虑到 F(1) = >06要证不等式转化变为：当 x>1时，F(x) >F(1),这只要证明：g(x)在区间(1,收)是增函数即可。2cle【解】设 F(x) = g(x) - f (x),即 F(x) =2x3 _x2 _ln x , 3221 (x - 1)(2x2 x 1)贝U F (x) =2x -x =-xx当 x A1 时，F (x) = (x-1)(2x +x + Dx1.从而F(x)在(1,十s)上为增函数， F(x) a F(1) =A06当 x >1 时 g(x) - f (x) >0 ,即 f (x) < g(x),2 3故在区间

6、(1,十8)上，函数f(x)的图象在函数g(x) = x的图象的下方。3【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数(可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数)，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可 以设F(x) = f (x) -g(x)做一做，深刻体会其中的思想方法。3、换元法构造函数证明1 11【例3】(2007年，山东卷)证明：对任意的正整数n,不等式 底+1)>fF 都成立.2 3n n n1分析：本题是山东卷的第(II )问，从所证结构出发，只需令 1 = x,则问题转化为：当 x>0时，n恒有ln(x+1) ax2 x3

7、成立，现构造函数 h(x) =x3 x2+ln(x + 1),求导即可达到证明。【解】令 h(x) =x3 -x2 +ln(x +1),在x (0,0)上恒正,则 h(x)=3x2-2x x11=3x3x(x1-1)2所以函数h(x)在(0,十厘)上单调递增，xw(0,z)时，恒有h(x)Ah(0)=0,即 x3 -x2 +ln(x +1) >0 , ln(x+1) > x2 -x3,一，1一，111对任息正整数 n,取x= (0, ,二)，则有ln( 1)2 -nn n n【警示启迪】 我们知道，当F(x)在a,b上单调递增，则xa时，有F(x) >F(a).如果f(a)

8、=中(a),要证明当x >a时，f (x) >*(x),那么，只要令F(x)= f(x)中(x),就可以利用F(x)的单调增性来推导.也就是说，在F (x)可导的前提下，只要证明 F '(x) > 0即可.第2页共6页4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y= f (x)在R上可导且满足不等式 x f '(x) > f (x)恒成立，且常数 a, b满足a>b,求 证：.a f (a)>b f (b)【解】由已知 xf(x) + f(x)>0 .构造函数F(x)=xf(x),则F (x) = x f (x)+ f (x)>0

9、,从而F(x)在R上为增函数。: a >b F(a) >F(b)即 a f (a)>b f (b)【警示启迪】由条件移项后xf '(x) + f (x),容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数 F (x) = xf (x),求导即可完成证明。 若题目中的条件改为 xf x) > f(x),则移项后xf '(x) - f (x),要想到 是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。5、主元法构造函数例.(全国)已知函数 f(x) =ln(1 +x) -x,g(x) =xlnx(1)求函数f(x)的最大值；a b、(2)设 0<a<b,证明：0

10、< g(a) + g(b)2g()<(ba)ln2.2分析：对于(II )绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根 据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期 达到证明不等式的目的.证明如下：证明：对 g( x) = xln x 求导，则 g' (x) = In x + 1.,a b、.在g(a) +g(b) -2g()中以b为王变元构造函数，2a 1 xa xa ：- x仅 F(x) =g(a) +g

11、(x) -2g(-)，贝U F (x) = g (x) -2g() =lnxIn.222'当0 <x <a时，F (x) <0,因此F(x)在(0,a)内为减函数.当x >a时，F'(x) >0,因此F(x)在(a,+望)上为增函数.从而当x=a时，F(x)有极小值F(a).一，ra b因为 F(a) =02>2,所以 F(b) >0,即 g(a)+g(b)-2g(ab)>0.2又设 G(x) =F(x) (xa)ln2.则G'(x)=lnxln9ln2=lnxln(a+x).2'当x >0时，G (x) &

12、lt;0 .因此G(x)在(0,收)上为减函数.因为 G(a) =0,b >a,所以 G(b) <0,即 g(a)+g(b)_2g(生产)<(b-a)ln2.6、构造二阶导数函数证明导数的单调性1 O例.已知函数 f(x) =ae -一x2若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围；(2)若 a=1,求证:x >0 时,f(x)>1+x解：(1)f ' (x) = aex x , f (x)在R上为增函数，f' (x) >0对*611恒成立，即a > x e ""对x C R恒成立记 g (x) = xc -x,则 g

13、' (x) = c- xxc -x=(1-x)e -x ,当 x>l 时，g' (x)VO,当 xVl 时，g' (x)>0.知g (x)在(-8,1)上为增函数，在(1,+ oo)上为减函数，1. g(x)在 x=1 时，取得最大值，即 g(x)max=g(1)=1/e,. . a> 1/e,即a的取值范围是1/e, +8)、一 _.x 12(2)记 F(X)=f(x)(1+x) = e - - X -1 -x( x > 0)2则 F' (x)=e x-1-x,令 h(x)= F ' (x)=e x-1-x,则 h' (

14、x)=e x-1当 x>0 时，h ' (x)>0, h(x)在(0,+ 8)上为增函数,又 h(x)在 x=0 处连续，h(x)>h(0)=0即F' (x)>0 , F(x)在(0,+ oo)上为增函数，又F(x)在x=0处连续， F(x)>F(0)=0,即 f(x)>1+x .小结：当函数取最大(或最小)值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题 可转化为求函数最值问题.不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转 化为m > f (x)(或m < f (x)恒成立，于是 m大于f(x

15、)的最大值(或 m小于f (x)的最小值)，从而把 不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一 种重要方法.7.对数法构造函数(选用于哥指数函数不等式)1 X14x例：证明当x.0时,(1 x) x < e 2证明 对不等式两边取对数得(1 +工)立1 +x) <1 +小， X/化简为 2(1 +x)ln(l +x) <2x©x2设辅助函数(x) =2又+1-2(1 +K)ln(lf'(x) =2x -21n( 1 +x).又 f*(x) =>0 (x >0)由定理2知FG)在上严格单调增加.从而r

16、(.)>r(o)=o (x>o)又由寅乂)在0, +8 )上连续，且f'(K)>。得在+E)上严格单调增力口,所溟f(K)>"0)=0 (X >0),BP2x + x* -2(1 +x) >0,2x + I1 >2(1 + x)ln( I +x)»故(x>0)8.构造形似函数例：证明当bAae,证明ab >ba分析 此题目具有森指函数形式,对不等式两边分别取对数得bkia Aalnb,整理为Lina在此基a p础上根据“形似-构造辅助函数f(j()=上小工,再根据函数的单调性证明之. X证明 不等式两边取对数得5

17、】四&山，可化为上【na> -j-lnb. a b令f(x) = 躅然H其)在(£. + B )内连续并可导，P(x) = -rlnx + - * = -4*(l -Inx) <0 (x>e) x 1< x由定理得“X)在+8)内为严格单调递减.由 b>a>e 得 f(a) >ff b) . 所以11血 >lnb,bln4alnb, a b故?>y例：已知mn n都是正整数，且1<m<n,证明：(1 + m)n a (1 + n)m证明：期不等式笄价干!叫+M(1 +9,令 mn一、ln(! + x) If(x

18、) =, a > 2 ,则x x- (I + t)ln(I + a,) x-xIn( 1 + a) al -ln(l + x) xl ln(1 + v)(1 + jt)x3(1 + jt)jc2 (1 + x)x' 。+ ©工即J也口+8)上严格递减，所以八间> fin).即(】十阳厂+ 成立.【思维挑战】1、(2007年，安徽卷)设 a 之0, f (x) = x-1ln2 x+2aln x求证：当 x>1 时，恒有 x >ln 2 x 2a In x+1 ,2、(2007年，安徽卷)已知定义在正实数集上的函数12252c 21f(x) = -x +

19、2ax,g(x)=3a In x+b,其中 a>0,且 b = a -3a In a ,22求证：f (x) _ g(x)x3、已知函数f(x) =ln(1+ x)-,求证：对任意的正数 a、b,1 x恒有 In a -ln b _1 -b.a4、(2007年，陕西卷)f(x)是定义在(0, +8)上的非负可导函数，且满足xf'(x)- f (x)<0,对任意正数a、b,若a < b,则必有()(A) af ( b) < bf (a)(B) bf (a) < af ( b)(C) af (a) <f ( b)(D) bf (b) <f (a)【答案咨询】1、提示：f tx) =1 2n' +空，当x >1, a之0时，不难证明 2n)<1 x xxf'(x)A0,即f(x)在(0,收)内单调递增，故当 x>1时，f (x) A f (1) = 0, .当 x >1 时，恒有 x>ln2x-2alnx+11 ：2、提不：设 F