随机变量之和的数学期望——定理和应用

1、解法：1（第i个是次品），i0（第i个是正品）(i=1,2,3,4,5)随机变量之和的数学期望疋理和应用、问题的提出引例：一批产品共100件，其中有10件次品，为检查其质量，从中任抽5件,求5件中次品数E的分布列，并求E的数学期望。E012345PC5C90C1C4C10C90C2C3C10C90C3C2C10C90C4C1C10C90C5C105C100C100C100C100C1005C100Co?；。+4XCCo+5XC100C100C100.e三=1x羊+2X華+3XCiooC1005i：+&的分布列为g01P9110101E戸-(匸伍3,4,5)51E才，Ei=5X110=、

2、初步思考和结论解法一是堂堂正正的解法，但计算不易，尤其当数字较大时更难；解法二所用到的下列结论5一5手送匕nE审瓦e©i*i=1当各事件“第i个产品是次品”相互独立时成立（其证明见下文）。但本题中这一点并不满足，所以解法二不能令人信服。但结果却是正确的，而且形式上与二项分布的期望计算公式一样，是否一种巧合呢？于是把数字作了改动，结果仍然正确。再推广到一般情形，结果还是正确，即:m件产品中有a件次品，任抽n件，其中含有次品数E的期望是n,ma其中的一实际是次品率p，故E审np。m证明：P（手k）=nkE手kCaCk4.CkcnJsCaCm_aCnm,nXfm_a一C=CmnJ.(k=0

3、,1,2,，n)nak1nan_ca_1Cm_aCmk-1=Ca.Cm=昙cm1Cmi：0Cma=n-m由此，我们认为，求这类问题中的期望时，可以直接使用这个结论，这将大大简化求解过程。比如，袋中若干黑球和白球，任取若干球，求其中白球个数的期望的问题就可直接使用这个结论。三、进一步的探索尽管解法二似乎缺乏理论根据，但它显得特别简单，而且在其它不同的问题中使用起来也显示优势。这促使我们进行了进一步的思考：随机变量之和的期望有什么规律？1、设两个随机变量E与n的分布列分别为EXiX2XPpip2pinyiy2yPqiq2qi若事件“手X”于“n=yi”互相独立，则e)=E证明：E(:)=(xi+y

4、i)piqi+(xi+y2)piq2+(X2+yi)p2qi+(X2+y2)p2q2+=xipi(q计q2+)+pi(yiq计y2q2+)+X2p2(q计q2+)+p2(yiq计y2q2+)+=xiP计X2P2+(P计P2+)E=e1eh该结论可以推广到有限个随机变量之和，即定理1:若&(i=1,2,3,)相互独立，则E(，J八Eii£i£2、若两个随机变量E与n均服从“两点分布”，其分布列分别为EXiX2PpiP2nyiy2Pqiq2其中，p2=1-pi,q2=1-qi则有E（）二E：E记事件a=“手xi”,b=“n=yi”，贝UA=“手X2”，B=“n=y?”证

5、明中用到如下结论：p（ab）+p（aB）=p（a）证明：E()=(xi+yi)P(AB)+(xi+y2)P(AB)+(X2+yi)P(AB)+(X2+y?)P(AB)=XiP(AB)+P(AB)+X2P(AB)+P(AB)+yiP(AB)+P(AB)+y2P(AB)+P(AB)=XiP(A)+X2P(A)+yiP(B)+y2P(B)=EE该结论同样可以推广到有限个服从两点分布的随机变量之和，即nnECJEii盘iz+nn定理2：若n个随机变量&(i=i,2,n)均服从两点分布，则E(JEi。四、应用举例有些随机变量的分布列不易求得，从而不易求得期望，有些随机变量虽然不难求得分布列但期望

6、同样不易计算。如果能把这样的随机变量表示为若干服从两点分布的随机变量的和的形式，则可大大简化计算期望的过程。例i把数字i,2,3,，n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称i个巧合，求巧合个数E的数学期望。该题很难直接求得E的分布列，但可巧妙地转化为服从两点分布的变量之和。解:设i=0(合)(i=i,2,n),inii则P(首=i)=一,P(g=0)=Eg=nnnnn=E审E(二勺)='“Ei=nE&=iizii±例2设事件A在第i次实验时发生的概率为Pi(i=1,2,n),求事件A在n次试验中发生的次数E的数学期望。解：设看=1(第i次试验时A发生)

7、,&=0(第i次试验时A不发生)则&的分布列为&10PPi1-Pinnn二E沪pi二E审Jr，_Ei八Pii±i-1i1例3有n张卡片，分别写有1,2,，n,从中任取m张(m<n),其上的数字之和为E,求EE。分析：本题若直接求E的分布列，难度相当大，而转化为随机变量之和来表示E则容易得多了。解：设第i张卡片上的数字是&(i=1,2,m)，贝V&的分布列是&12nP111nnn由于&不服从两点分布，故不能应用上述定理。怎么办？再进行探索，我们得到如下结果。五、更一般的结论定理1与定理2都有严格的条件，限制了它们的应用，下面

8、将这两个定理推广到一般情形。考虑两个随机变量&与n设它们的分布列分别为&X1X2XiPP1P2Pinyiy2yPq1q2qi记事件Aj="&Xi,n=yj”(i、j=1,2,3,)，P(Aij)=pij。则(&n的分布列为n&y1y2yiX1p11p12p1jX2P2iP22P2jXPiiPi2Pij显然有pi=pii+P12+pij+=、'pij,qi=pii+P21+pii+=、pj1ji同理有pwpij,qj=7pjjiE(丁沪臣(Xi+yj)pj=ijvV(XiPij-yjPij)=、(VXPij亠二yjPij)ijijj=E(x送Pj)+迟(送yjPj)=送(Xipj+区(送yjPij)ijij=E：_(yja必)=E匚亠二(yjqj)=jij由此得到如下定理。定理3：E与n是任意两个随机变量，则nnE('i)Eioi=4i=1m(n1)由于定理中E与n是任意两个随机变量，所以，可以推广到有限多个随机