湍流的数值模拟综述

1、八湍流I丿数拟流体的流动形态分为湍流与层流。而层流是流体的最简单的一种流动状态。流体在管内流动时，其质点沿着与管轴平行的方向作平滑直线运动。此种流动称为层流或滞流，亦有称为直线流动的。流体的流速在管中心处最大，其近壁处最小。管内流体的平均流速与最大流速之比等于0.5,根据雷诺实验，当雷诺准数引Rev2320时，流体的流动状态为层流。当雷诺数Re>2320时，流体流动状态开始向湍流态转变，湍流是一种很复杂的流动状态，是流体力学中公认的难题。自从19世纪末O.Reynolds提出湍流的统计理论以来，已经有一个多世纪了，经过几代科学家的努力，湍流研究取得很大进展，但是仍然不能满足工程应用的需要

2、，以至于经常有悲观的论调侵袭湍流研究。为什么湍流问题没有圆满地解决会受到如此尖注呢？因为湍流是自然界和工程中十分普遍的流动现豫，对于湍流问题的正确认识和模化直接影响到对自然环境的预测和工程的质量。例如，当前影响航天器气动力和气动热预测准确度的主要障碍是缺乏可靠的湍流模型。和其他一些自然科学的准题不同，解决湍流问题具有迫切性。湍流运动的最主要特征是不规则性，这是大家公认的。对于湍流不规则性的深入认识，是一百多年来湍流研究的上要成就之一。早期的科学家认为，像分子运动一样，湍流是完全不规则运动。类似于分子运动产生黏性，湍流的耗散可以用涡黏系数来表述。20世纪初，一些杰出的流体力学家，相继对涡黏系数提

3、出各种流体力学的模型'如Taylor（1921年）的涡模型，Praudtl（1925年）的混合长模型和vonKarman（1930年）相似模型等。当科学家用流体力学观念（不是分子观念）来建立湍流耗散的涡黏模型时，就开始考虑连续介质不规则运动的特点，其中有别于气体分子不规则运动的最主要特点是运动的多尺度性。第一个提出流体湍流运动中多尺度输运特性的科学家mchardson（1922年）曾描述湍动能的多尺度传输过程如下：“大涡包含小涡，并喂予速度；小涡包含更小的涡，如此继续直到黏性耗散”。多尺度的思想导致产生描述多尺度的谱概念和谱分析方法，并最终产生了Kolmogorov（1941年）的局部

4、各向同性的通用谱（即5/3谱）。湍流不仅是多尺度的而且是有结构的运动。20世纪中叶，大量的湍流实验（包括测量和显示）发现多尺度的湍流运动存在某种特殊的运动状态。Townsend（1951年），Corrsin（1955年）和Lumley（1965年）等从脉动序列的间歇性和空间相尖相继推测湍流结构的可能形态。理论上也提出过各种湍涡的模型：球涡模型，柱涡模型等。早期的湍流结构主要是从运动学上考虑，把旋涡结构作为湍流统计的样本。我国的周培源教授是近代湍流模式的奠基人之一，他首先提出先解方程后平均的统计方法，就是说湍涡必须满足Navier-Stokes方程（ChouandChou»1995年）

5、。真实的、可以观察到的湍流结构通过流动显示，以及稍后湍流直接数值模拟所证实。典型的例子是混合层的BrownRoshko涡（1976年），图1明显地展示了混合层中存衽规则的大涡和分布在大涡周围的细小湍涡。在边界层、槽道和丫管湍流中也存衽各式各样的大涡结构。例如，用激光诱导荧光的显示方法，我们可以在圆管湍流中观察到周向（图2a）和流向大涡（图2b）。值得提出的是，不仅在剪切湍流中有大涡结构，简单的均匀各向同性湍流中也存在涡结构。图3展示的是各向同性湍流的直接数值模拟中强涡量等值面，它们是管状结构。仔细分析还可以确定管状涡的平均长度约等于各向同性湍流的积分尺度，它们的平均直径约等于湍流TayLor微

6、尺度，更进一步分析可场，它们接近丁Burgers涡，即有轴向拉伸的柱状涡，在管状涡之冋错综复杂地分布着各种尺度的树叉结构。所有以上发现充分说明：无论是简单还是复杂湍流，都存在一定的涡结构大尺度结构的发生是不规则的，就是说，在长时间和大范围来观察，大尺度运动结构发生的地点和时划是不确定的因此在大样本统计中我们不可能发现这种结构，这就是为什么经典的长时间统计未能察觉它们的原因。另一方面，大尺度运动结构一旦生成，它以一定的动力学规律演化，因此湍流大尺度结构又称拟序结构，或相干结构。举例来说，在湍流边界层、槽道或圆管湍流的近壁区（5v丫+V100），间歇地发生猝发过程，它们是如下的拟序运动：有一股高速

7、流动冲向壁面（称为下扫过程），它导致近壁区（y+io）产生流向涡（长度和直径比很大的涡管）；流向涡生成的初期，它缓缓升起，形成和壁面有一定倾角的管状涡（称为上抛过程）；当升至（y+3050）时，流向涡发生剧烈抖动直至破碎，在流向涡破碎的很短时间内，瞬时的脉动动量通量（uv）很大，可以达到平均脉动动量通量，即雷诺应力-（UV）的100倍以上。以上从流向涡的出现到破碎的全过程称为猝发，只要在近壁区触发流向涡，它就以“下扫上抛抖动破碎”的序列演化，这就是大尺度运动的拟序性或相干性。湍流中大涡拟序结构对于湍流生成和发展有主宰作用，因此抑制或消除大涡结构可能抑制整体的湍流强度，甚至使流动层流化。这是近代

8、湍流减阻和降噪的思想（Bushnell等,同时也指出了1989）。湍流是多尺度有结构的不规则流体运动它指出湍流运动的主要特征,研究湍流的困难所衽.单纯的不规则运动，例如气体分子运动，是不规则粒子群的运动，比较容易用统计力学的方法来分析，因为宏观上它只有一个特征尺度一分子平均自由程湍流的第一个困难是它的多尺度（理论上是无穷多尺度）如果无穷多尺度之间存在简单的尖系，例如相似尖系，这种多尺度系统也不难处理，但是湍流的多尺度不规则运动是有结构的，也就是说，不同尺度的运动之间的动力学矣系足复杂的。湍流数值模拟方法及其特点一个多世纪以来，尽管在湍流本质认识和实际应用方面，湍流研究都取得了很大的进步，但是随

9、着计算流体力学及计算空气动力学方法的不断完善，计算机性能的不断提高，湍流的数值模拟方法已成为阻碍人们应用NHS方程进行水流运动特性分析、管道螺旋流水力输送研究、飞机设计等的瓶颈之一。对湍流基础研究的进展，可以直接促进许多实际工程及科学应用的进步。目前，湍流数值模拟的方法有：直接数值模拟（DirectNumericalsimulation、DNS）雷诺平均模拟（ReynoIdsAvemgedNavier一Stokes，RANS和大涡数值模拟（LargeEddysimulation，LES）。1直接数值模拟（DNS）DNS依据非稳态的NS方程对湍流进行直接模拟，计算包括脉动在内的湍流所有瞬时运动量

10、在三维空间中的演变。dUiSu：dpa?幻pOx：+V控制方程以张量形式给出:控制方程IT+幻亦用非稳态的NS方程对紊流进行直接计算,1.2主要方法1.2.1谱方法或伪谱方法所谓谱方法或伪谱方法，粗略地说，就是将各未知函数对空间变量展开，成为以下形式：（戈1）以勺）工（g）心心P1（3）式中与，都是已知的完备正交的特征函数族，它们可能已满足了连续方程或有尖的边界条件，如未满足，则以后还要加上相应的约束条件。将式（3）代人NS方程，设法把原来物理空间的偏微分方程转化为一组尖于展开系数的常微分方程组，然后用常规的有限差分法作时间推进，解出，再代回到展开式中去，从而得到解。1.2.2差分法其基本思想

11、是利用离散点上函数值上的线性组合来逼近离散点上的导数值。设，为函数的差分逼近式，则式中系数由差分逼近式的精度确定。将导数的逼近式代入控制流动的NS程，就得到流动数值模拟的差分方程。差分离散方程必须满足相容性和稳定性。1-3特点分析DN方法的主要特点：1）它是精确数值模拟湍流的方法，因而可以获得湍流场的全部信息，而试验测量则不可能完全实现。2）由于直接对NS方程模拟,故不存在封闭性问题，原则上可以求解所有湍流问题。3）据Kim,Moin&Moser研究，即使模拟Re仅为3300的槽流，所用的网点数N就约达到了2X106,在向量计算机上进行了250h。所以，在现有的计算机能力限制下，只能模

12、拟计算中低Re和简单几何边界湍流运动。4）应用领域主要是湍流的探索性基础研究。2雷诺平均模拟（RANS）RAN是应用湍流统计理论，将非稳态的NS方程对时间作平均，求解工程中需要的时均量。该法是工程中常用的复杂湍流数值模拟方法。2.1控制方程对非稳态的NS方程作时间演算，并采用Boussinesp假设，得到Reynolds方程并称为雷诺应力3%d叫a2兀31/站,+VBxQxjdui式中，附加应力可记为体现这种方法只计算大尺度平均流动，而所有湍流脉动对平均流动的影响，到雷诺应力中。正因为雷诺应力在控制方程中的出现，造成了方程不封闭为使方程组封闭，必须建立模型。2.2主要方法在RAN的发展过程中，

13、人们根据不同的思想和理论，提出了各种各样的湍流模型面对越来越多自称“更新更好”的封闭模型，人们也越来越难分清它们之间的区别，对于使用模型的人来说，则困惑于究竟哪一模型最适合于他所研究的前文广泛用是和和asm2.2.1模型RSM定流PJ。综、/观封闭雷诺力HJ湍IJ流模,标准模型采用各向同性和广义Boussinesq假设，将雷诺应力项变成速度对位移的协变导数项，使得方程封闭。封闭方程为<8e百巾一八-AffB勺3口八“煜)签】7八纠刘J(8)式中为涡粘系数，模型常数i心丄八平均变形率张豊i(Bg2-由于标准£模型不能反映雷诺应力的各向异性、沿流向的松弛效应及平均涡量的影响，故在很

14、多情况下，其计算结果均存在一定缺陷。目前，文献中应用较多的是源于标准模型的：m-模型(renormalizationgroup，RNG)非线性模型等各种修正模型。非线性模型解决了常规模型不能正确地计算Reynolds正应力的问题，叶孟琪等人把一种非线性模型较好地应用于槽道流动和方截面管流中，但在平均剪切力很大的流场中有可能满足不了真实性条件。222雷诺应力模型(RSM)雷诺应力模型(RSM)完全抛弃了湍流粘性的概念，直接建立以，为因变量的偏微分方程，并通过模化封闭。封闭目标是雷诺应力输运方程：E厂八，二厂H疽“宀林T式中是雷诺应力再分配项，是雷诺应力扩散项，是雷诺应力耗散项。2.2.3代数应力

15、模型(ASM)代数应力模型(ASM)是一种忽略雷诺应力沿平均轨迹的变化和雷诺应力扩散项的简化雷诺应力模型(RSM)，它把各向异性融入到模型中，并把雷诺应力偏微分方程组变成代数方程组，使得方程封闭。其代数方程为(卜G)P尊GF(叭亍“就).了®(10)式中为常数，为雷诺应力生成项，为湍动能生成项，和分别由湍动能和湍动能耗散方程算出。2.3特点分析雷诺平均模拟原理是先将紊流中的物理量如速度、浓度等分成扰动量及平均量，再对控制方程作时间平均，同时采用紊流模型仿真紊流的效应。此法降低了计算量，但其结果受紊流模型的影响很大。湍流统计模式是目前预测复杂湍流的最主要工具，但湍流统计模式存在一个致命

16、的缺点即没有一个模式能够对所有湍流运动给出满意的预测结果。在数值计算上，模型显然比代数应力模型简单得多，因此，目前在工程中得到最广泛应用的是模型。但标准后模型对下列几种情况不适用：强漩涡、浮力流、重力分层流、曲壁边界层、低Re数流动以及圆射流。非线性模型对上述情况模拟的结果比令人满意。雷诺应力模型(RSM)可以用来计算各向异性的复杂三维湍流流场。张雅等应用RSI模型计算了除尘旋风分离器三维湍流流场，计算结果不仅可以清晰地给出涡的结构，而且较模型结果更贴近试验值。陈雪莉等进行了类似试验，通过对比RSM模型和RNG模型，也有RSI模型比较适合作为预测该类型旋风分离器内气相流场的湍流模型的结论。由于

17、RSI模型计算非常复杂，以前的文献报道中较为少见，但近年来有较强的发展趋势。ASM匕之于标准模型和RSI模型，ASM的优点是在一定程度上综合了前者的经济性和后者的通用性。在有必要计及体积力效应(浮力、流线弯曲、旋转等)时，ASM的优点尤为突出，ASM可能是目前计算复杂紊流最广泛使用的模型。总的说来，从现有情况看，RS模型可以较好地模拟三维湍流流场，但所解偏微分方程太多，普及起来存在一定困难。ASM口模型对于无分离流动，如自由剪切流和壁面剪切流都可以取得满意的效果，对于复杂流动，如流动发生分离或不规则边界，模型不佳。ASH介于模型和RS模型之间的一种模型，它克服了RS模型过于复杂的不足，同时保留

18、了湍流各向异性的基本特点；模拟结果虽不如ASM!确，但进一步简化了计算量，可以提供满足工程需要的数据，仍具有实用价值。3大涡数值模拟（LES）湍流大涡数值模拟是有别于直接数值模拟和雷诺平均模式的一种数值预测湍流的方法。这种方法是基于对各种尺度湍流脉动在输运和耗散中作用的认识：大尺度湍流脉动具有主要的能量和动量并支配湍流脉动的动量和能量输运；而湍动能的耗散主要发生在小尺度脉动中；根据这一认识产生了湍流大涡数值模拟。它的具体实施方法如下：首先，用滤波方法将小尺度脉动从湍流脉动中去掉，假设空间任意一点的滤波函数为G（X-XO，最简单的滤波器是盒式：G（n>=u5y32，f甲丨门.；匕1“、（i

19、i）利用滤波器对湍流速度场过滤，过滤后的速度脉动中不存在过滤尺度以下的脉动成分，称为可解湍流：JC»）二彳f-y）心P（12）用盒式滤波器对Navier.Stokes方程做过滤运算，对于均匀盒式滤波器，过滤运算和空间或时间导数运算可交换，这时可解尺度流场的基本方程如下：&叫亦13pd广茜十幻阳八$盹+卄话+匹（呵咄）丿厂FJ/（13）公式（13，14）是可解尺度湍流的控制方程，它包含未知项'乂一称为亚格子雷诺应力。亚格子应力是可解尺度脉动和过滤掉的小尺度脉动（称作不可解尺度脉动，或简称不可解脉动）间的动量输运，它需要用模型予以封闭。通过以上简要介绍，可以理解湍流大涡数

20、值模拟的优越性：（1）和雷诺平均模型相比，大涡数值模拟的亚格子模型具有较大的普适性。湍流大涡数值模拟方法中需要封闭的量是亚格子应力，它和大尺度脉动的相尖微弱。亚格子应力是不可解小尺度脉动和可解尺度之间的动量交换，它和强烈依赖于流动边界的大尺度脉动相尖性很小，因此合理的亚格子模型将有较大的普适性。(2) 湍流大涡数值模拟可以获得流动的动态特性，而雷诺平均模型只能提供定常的气动力特性。湍流大涡数值模拟的解包含大于过滤尺度的所有脉动，由此可以获得速度谱以及气动力谱等，这些动态气动力特性对于近代航天器设计是十分重要的。(3) 湍流大涡数值模拟比直接数值模拟节省很大的计算量。我们知道，理想的湍流直接数值

21、模拟需要包含所有尺度的湍流脉动，一般最小的脉动尺度等于Kolmogorov耗散尺度，流动的最大尺度由流动的几何条件确定。直接数值模拟的一维网格数应为：'Z；,而大涡数值模拟的一维网格数为.“厂/(可以节省网格数小”如果过滤尺度等于2倍柯氏耗散尺度的话,就可以比DN节省87.5%的网格。这里我们可以看到完全的湍流直接数值模拟中,绝大部分的计算量花费在耗散尺度中,对于高雷诺数流动,这是很不经济的计算。湍流大涡数值模拟有以上的优点,人们希望这种方法可以用于实际工程设计。事实上,湍流大涡数值模拟方法早在20世纪60年代就提出来了,几乎和湍流直接数值模拟平行发展。由于人们对于计算机的发展过于乐观

22、,期望理想的湍流直接数值模拟能够很快应用于工程实际,大涡数值模拟的研究曾经一度被忽视。直到20世纪90年代初,人们认识到实现理想的湍流直接数值模拟太遥远。于是,湍流界重新侧重湍流大涡数值模拟的研究,并且取得可观的进展。例如,提出了非均匀过滤器的合理设计,以减小交换误差；明确了湍流大涡数值模拟方法必须具有2阶以上的精度；提出了亚格子动力模式等。与此同时,湍流大涡数值模拟在一些典型复杂湍流算例的考核中取得了很好的结果；例如,平面扩压器、绕圆柱流动等。本文这部分首先陈述正确应用湍流大涡数值模拟方法的要点和进一步需要研究的问题,包括：脉动的过滤、亚格子模型的大涡数值模拟中的特殊问题；本文强调大涡数值模

23、拟中亚格子应力的本质是可解尺度湍流和不可解尺度湍流间的输运,准确反映该机制是建立合理亚格子模型的正确途径。其次介绍我们提出的新型亚格子模式；文章最后是尖于大涡模拟方法的简要展望。3.1合理的过滤尺度和过滤器的设计湍流大涡数值模拟方法的基础是将耗散性的小尺度脉动过滤掉。合理的大涡数值模拟结果应当和过滤尺度无尖。高雷诺数湍流具有局部各向同性,我们可以将湍流脉动划分为三个尺度。耗散尺度、含能尺度(湍动能最大值的尺度)和惯性子区尺度。惯性子区尺度具有以下性质：(15)我们知道在惯性子区中的湍流脉动具有普适的统计特性,如次方能谱等。如果湍流大涡数值模拟过滤尺度在惯性子区内,则亚格子湍流的输运特性具有某种

24、普适的性质。通常含能尺度和平均流动的特征尺度同一量级,比如,湍流边界层中含能尺度和边界层厚度同一量级,即；惯性子区尺度和湍流脉动的泰勒微尺度同一量级,即。因此湍流边界层内过滤尺度应当在以下范围过滤器尺度可以大于或等于计算网格尺度，而在几何结构上空间过滤器应当和网格相匹配。如果数值计算采用均匀网格，三维空间过滤器是等尺度的，这种均匀过滤过程和求导数运算是可交换的，前面导出的公式(13,14)是精确的。然而，复杂几何绕流的计算网格总是非均匀的，这时，空间过滤也是不均匀的，非均匀过滤过程和求导数运算不可交换，前面导出的公式(13，14)中有残余误差。已经证明，非均匀过滤的残余误差和过滤尺度的平方成正

25、比；同时文献中提出了修正过滤器的方法以减小残余误差。总之，过滤器和求导的交换性曾经是一个问题，而现在已经有设计可交换过滤器的指导性原则。3.2亚格子应力的模型亚格子应力模型是湍流大涡数值模拟的核心问题。最早提出的亚格子应力模型是参照雷诺平均模式的唯象涡粘模型，例如，至今还常用的Smargorinsky模型：Smargorinsky模型认为亚格子湍流具有混合长度型的涡粘系数，混合长度和过滤尺度同一量级，并用各向同性湍流的统计特性确定模型常数仁二A1二稍后，有人参照雷诺平均模式中的模型的思想，建立亚格子涡粘模型。它们同属涡粘类模型，而改进甚少、但计算量增加，所以没有得到推广。涡粘模型的最大优点是简

26、单，如果调整模型系数能够保证模型的亚格子耗散和实际亚格子耗散一致，Smargorinsky模型可以得到相当好的数值结果。例如，在槽道或边界层中往往设置(:n,J，或者更小。Smargorinsky模型属于耗散型就是说，在流场中任意一点都是从可解尺度湍流向不可解湍流输送能量，而不存在相反方向的能量传递，即所谓逆传。而在实际复杂湍流中，已经发现可能存在局部逆传。Smargorinsky模型的主要缺陷是总体上耗散过大，它属于唯象论模型。前面曾经指出：亚格子应力实质上是可解尺度湍流和不可解尺度湍流问的动量输运。从输运机制出发建立亚格子应力模型是正确的途径。尺度相似模型(SSM)假定可解尺度中的最小尺度

27、脉动和不可解尺度脉动具有相似性，根据这一假定，可以导出亚格子应力：(18)式(18)中系数。公式(18)的优点是能够比较准确地表达可解尺度和不可解尺度间的动量输运尖系，这一点已由各向同性湍流的直接数值模拟结果证实。由于SSM模型抛弃了涡粘假设，它不是单纯耗散性的，既可以由可解尺度湍流向不可解尺度湍流输送能量，也可以有逆传。然而，SSM模型的致命缺点是严重耗散不足；此外，由于存在逆传(相当于负涡粘系数)，数值计算的稳定性很差。综合Smargorinsky和SSM模型各自优点，发展了混合模型，即将两个模型做线性叠力口：:坷一5(9)混合模型既有正确的亚格子动量输运；又有足够的亚格子耗散。在简单湍流

28、算例中证实这种模型是比较好的。类似于尺度相似的思想，20世纪90年代发展了动力模型。动力模型实际上是动态确定亚格子涡粘模型的系数。动力模型需要对湍流场做两次过滤，一次是细过滤，细过滤后再做一次粗过滤。动力模式的基本思想是：粗过滤中的小尺度脉动和细过滤的脉动相似。根据这一原则就可以确定亚格子涡粘模型FI中的系数：式中：f八XVV上标表示细过滤，上标'一'表示粗过滤'二一：。亠和j分别是粗过滤器和细过滤器的长度。动力模型确定的系数可能是负数，就是说动力模型可以有逆传，动力模型的计算量比常规涡粘模型多约30%。除了物理空间的亚格子模型外。还有谱空间中的亚格子涡粘模型。对于简单

29、的均匀湍流，谱分解是精度很高的数值方法。在谱空间中，湍流大涡数值模拟采用低通过滤，即设定截断波数大于截断波数的脉动全部过滤掉。过滤掉的不可解脉动对可解脉动间的输运用涡粘系数表示，谱空间的湍流大涡数值模拟方程可写作：门十丨厂川二屮(21)角标v表示小于截断波数的可解尺度脉动；上标人表示谱分量。谱空间的涡粘系数可以用理论分析方法导出，目前，广泛应用的谱涡粘系数由EDQNM论(准正则马尔科夫湍涡)导出如下：(22)町(""是无量纲函数，在均匀湍流的一系列计算中，已经证实用EDQNM型导出的谱涡粘系数能获得很满意的结果。然而，谱方法只适用于简单边界的湍流。在局部各向同性的假定下谱涡

30、粘系数可以用物理空间的2阶速度增量表示，称为亚格子结构函数模型：=0.015A(JCT&1/A>卜:二亠一：丄，：厂-(23)式中=1.4，是过滤尺度。亚格子结构函数模型和Smargorinsky模型有同样的缺点：是纯耗散的，且耗散过大。我们知道亚格子应力是可解尺度湍流和不可解尺度湍流间的动量输运，正确表达动量输运才能构造好的模型。谱空间的涡粘模型具有这种品质，因此在均匀湍流的大涡数值模拟中能取得好的结果。尺度相似模型和动力模型考虑到可解尺度和不可解尺度湍流间的尖系，它们对唯象的涡粘模型有较大的改进。但是，简单的相似尖系并不能充分表达可解尺度湍流和不可解尺度湍流间的输运尖系，因此

31、，这类模型尚不能令人满意。将在后文提出一种新的亚格子模型，它能正确包含可解尺度湍流和不可解尺度湍流间的输运尖系，并在实例中得到很好的验证。3.3一种新型亚格子涡粘模型前面已经指出，亚格子模型是湍流大涡数值模拟的尖键，目前，大多数的模型是唯象性的，存在致命的缺陷。建立可解尺度湍流和不可解尺度湍流间的输运尖系是构造合理、准确的亚格子模型的正确途径。例如，有人用多尺度分析，有人用拉格朗日平均来建立亚格子模型，这些都是新的尝试。作者从大涡模拟基本方程出发导出大涡的Kolmogorov方程，该方程包含可解尺度和不可解尺度湍流间的正确输运尖系，并可导出涡粘系数的理性表达式。新型亚格子涡粘模型的基本心想是：湍流脉动具有局口卩各向|同|工，并且可解尺度湍流也具有局部各向同性；亚格子应力可以用涡粘系数来计算。根据以上假设，可以导出可解尺度湍流的Kolmogorov方程：3D4°"西一6je/+6Tu_(24)叫/(£)二(小(X)-F£)=Vi式中。等是可解尺度湍流和不可解尺度湍流间的动量交换。式(24)中和分别是可解尺度湍流的3阶和2阶结构函数：久口二(25)。于是，可+f)U(x)3)闪二(u(X+$)U(X)2)利用亚格子涡粘系数，亚格子湍