周期函数的傅立叶级数

1、高等院校非数学类本科数学课程 大学数学（三） 多元函数微积分 脚本编写：孟益民 教案制作：孟益民 ., 0 ., ., 2 .,)( . : 数或余弦级数上的函数展开为正弦级能将定义在级数上的函数展开为傅立叶和能将定义在数将偶函数展开为余弦级函数展开为正弦级数或能将奇立叶级数为周期的函数展开为傅能将以的范围给出傅立叶展开式成立能正确的条件和结论狄利克雷定理了解收敛定理概念了解傅立叶级数的基本本章教学要求傅立叶分析第七章lll级数一般周期函数的傅立叶四正弦级数与余弦级数三条件傅立叶级数收敛的充分二数傅立叶系数和傅立叶级一周期函数的傅立叶级数第一节 由函数 和 构成的级数 （1）称为三角级数，其中

2、 ， ， 为常数。而称 nxsinnxcos10)sincos(21nnnnxbnxaa0ana), 2 , 1( nbn数傅立叶系数与傅立叶级一 nknnxkbxkaa10)sincos(21为三角多项式。若级数（1）在一个长度为 的闭区间，例如在 上收敛，则因 和 的周期性，它必定对于任意实数 都收敛。于是其和函数 为定义在实数域 上的周期为 的函数。这时，我们也称周期函数 可以展开为三角级数（1）。2 ,nxsinnxcosRx)(xfR2)(xf )( 0则称有任意阶导数，在点设xxf000)()(! )(nnnxxnxf . )( 0处的泰勒级数在点为xxf0)( ! )0(nnnx

3、nf 2! 2)0()0()0(xfxffnnxnf ! )0()( , 0 0级数即得到常用的马克劳林在泰勒级数中取x定理 , )U( )( 0内具有任意阶导数在设xxf内处的泰勒级数在在点则 )U( )( 00 xxxf的充要条件是收敛于 )( xf0)(limxRnn )( )( ,0处泰勒公式的拉在为其中xxfxRn. 格朗日余项 )(! ) 1()()( 10) 1(nnnxxnfxR 三角级数（1）在什么条件下收敛？ 怎样的周期函数 可以展开为三角级数，即等式 成立？ 若 可以展开为三角级数，那么系数 ， ， 如何确定？ )(xf )2( )sincos(21)(10nnnnxbn

4、xaaxf)(xf0a), 2 , 1( nnbna如同讨论幂级数时一样，这里也面临以下几个问题：先研究三角函数序列1， ， ， ， ， ， ，的一个重要性质。xcosxsinx2cos 2sin，xxncos sin，xn 若还有 则称函数序列 在 上是规范正交的。 1d)( 2banxx) , 2 , 1(n ,ba )(xn)(nm 若区间 上的函数序列 满足 则称函数序列 在 上是正交的。 ,ba )(xn0d)()( bamnxxx )(xn ,ba容易证明三角函数序列在 上是正交的，而三角函数序列 在上是规范正交的., sin, cos, 2sin, 2cos, sin, cos,

5、 1nxnxxxxx, sin1, cos1, 2sin1, 2cos1, sin1, cos1, 21nxnxxxxx ,经运算可得 2d x0dcos xnx0dsin xnx, , 0, dcoscos nmnmxnxmx, , 0, dsinsin nmnmxnxmx 0dcossin xnxmx 以上等式，都可以通过计算定积分来验证，现将第四式验证如下 利用三角学中积化和差的公式,coscos21coscosxnmxnmnxmx., 3 , 2 , 1, 0 sinsin21 coscos21coscos,证其余等式请读者自行验有时当nmnmnmxnmnmxnmdxxnmxnmnxd

6、xmxnm 2 )sincos(21)(10nnnnxbnxaaxf假设 可以展开为三角级数，即（2）式成立，且该级数一致收敛，那么，对（2）式两端在 上关于x积分，并利用三角函数序列的正交性，便有)(xf , 0d)( axxf同理，在（2）式两边分别同乘 和 后，再在 上关于x积分，则依次有kxcoskxsin , dcos)( kaxkxxf) , 2 , 1( nk dsin)( kbxkxxf) , 2 , 1( nk 若周期为 的函数 可积，则称 （3） （4）为函数的傅立叶系数， , dcos)( 1 xnxxfan, 2 , 1 , 0n, dsin)( 1 xnxxfbn,

7、2 , 1n2)(xf 公式（3）、（4）称为欧拉傅立叶公式。级数称为函数 的傅立叶级数。10)sincos(21nnnnxbnxaa)(xf 对任意一个以 为周期的可积函数 ，由定义2都可以构造出它的傅立叶级数，记为2)(xf10)sincos(21)(nnnnxbnxaaxf 函数 的傅立叶级数不一定收敛，即使收敛也不一定收敛于 自身。)(xf)(xf若 成立，则其系数 ， ， 必由欧拉傅立叶公式（3）、（4）式唯一确定。此时称函数 可以展开为傅立叶级数。10)sincos(21)(nnnnxbnxaaxf0ana nb)(xf条件傅立叶级数收敛的充分二 定理定理1 1 （狄里克雷（Dir

8、ichlet）定理） 设 是以 为周期的函数。若 在其一个周期内满足狄里克雷条件： （1） 连续或只有有限个第一类间断点； （2） 至多有有限个极值点，则 ， 的傅立叶级数收敛于 。)(xf2) ,(x)0()0(21xfxf)(xf)(xf.,.,: 得多展开成幂级数的条件低成傅立叶级数的条件比函数展开可见限的算术平均值敛于该点左极限与右极在间断点出收于该点的函数值级数在连续点处就收敛函数的傅立叶并且不作无限次振动限个第一类间断点上至多有有，只要函数在收敛定理告诉我们 若以 为周期的函数 在 上连续，则 在其连续点处可以展开为它的傅立叶级数： ，而在 处， 的傅立叶级数收敛于 。 2)(xf

9、) ,)(xf10)sincos(21)(nnnnxbnxaaxfx)(xf)0()0(21ff例1 设 是以 为周期的函数，它在 上的表达式为)(xf2) ,) , 0 , 1 )0 , , 1)(xxxf将 展开为傅立叶级数。 )(xf解解 . . , 0211 , , , ), 2, 1, 0(, 如下图所示和函数的图形数收敛于时级当时级数收敛于并且当级数收敛的傅立叶从而由收敛定理知道在其它点处连续处不连续它在点的条件所给函数满足收敛定理xfkxkxxfkkxo2xy121所求傅立叶系数为0 d d) 1( 1d)(1 0 0 0 xxxxfa0 dcosnx dcos) 1( 1dco

10、s)(1 0 0 xxnxxnxxfan dsin dsin) 1( 1dsin)(1 0 0 xnxxnxxnxxfbn) 1(1 2cos1 2nnnn故当 时有), 2 , 1 , 0( kkx) 12sin(1213sin31sin4)(xkkxxxf2若周期为 的函数 为偶函数，则2)(xf于是奇函数 的傅立叶级数只含正弦项，即 )(xf1若周期为 的函数 为奇函数，则2)(xf由欧拉傅立叶公式容易得到以 为周期的奇函数和偶函数的傅立叶系数公式.2正弦级数与余弦级数三 0na) , 2 , 1 , 0(n 0 dsin)(2xnxxfbn) , 2 , 1(n1sin )(nnnxb

11、xf称为函数 的正弦级数.)(xf 0 dcos)(2xnxxfan) , 2 , 1 , 0(n0nb) , 2 , 1(n于是偶函数 的傅立叶级数只含常数项和余弦项，即)(xf10cos 2 )(nnnxaaxf称为函数 的余弦级数。)(xf例2 设 是周期为 的函数，它在 上的表达式为 ，将 展开为傅立叶级数.)(xf2 ,xxf)()(xf解 函数 为奇函数，故)(xf, 0na) , 2 , 1 , 0(n易知 满足狄里克雷条件，它只在点 处不连续，从而当 时，有 )(xf) 12(kx), 2 , 1 , 0(k) 12(kx), 2 , 1 , 0(k)sin1) 1(3sin3

12、12sin21(sin2)(1nxnxxxxfn在 处，函数 的傅立叶级数收敛于) 12(kx)(xf , 2) 1(cos2dsin 21 0 nnnxnxxbnn) , 2 , 1(n02)()0()0(21ff例3 将下图所示的锯齿波所对应的函数展开为傅立叶级数。222323xyo11 由图看出，在一个周期内该函数的表达式为解, , 0 ,21 ),0 , ,21 )(tttttf它是偶函数，故0nb0d)21 (2d)(2 0 0 0ttttfa) 1(1 4dcos)21 (2dcos)(222 0 0 nnnttntttntfa显然， 满足狄里克雷条件，且在 上连续，于是)(tf)

13、 ,(022) 12cos() 12(18)(ntnntf),(t级数一般周期函数的傅立叶四 运用变量代换可以把一般周期函数转化为以 为周期的函数，然后，利用以为周期的函数的傅立叶级数便可获得一般周期函数的傅立叶级数。2)(xft lft )(周期 2Tlxtt lx 或周期lT2在 上可积 ll ,傅立叶级数10)sincos(2 )(nnntnbtnaat（）10)sincos(2 )(nnntnbtnaat（）傅立叶系数为ttnt lfttntandcos1dcos)(1 , 2 , 1 , 0nttnt lfttntbndsin1dsin)(1 , 2 , 1 n利用变换 返回到原来的

14、变量，得到 的傅立叶级数t lx )(xf10)sincos(2 )(nnnlxnblxnaaxf（）傅立叶系数为xlxnxflallndcos)(1 , 2 , 1 , 0nxlxnxflbndsin)(1 , 2 , 1 n （） 式与 （） 式中的傅立叶系数相同: 如果 在 上满足狄里克雷条件，则其傅立叶级数（）在 的连续点处收敛于 ，即有)(xfll ,)(xf)(xf10)sincos(2 )(nnnlxnblxnaaxfxlxnxflttntallndcos)(1dcos)(1 , 2 , 1 , 0nxlxnnxflttntbllndsin)(1dsin)(1 , 2 , 1 n例4设周期为4的函数 在一个周期内的表达式为)(xf), 2 , 0 ,2sin), 0 , 2 , 0 )(xxExxf其中E 为常数，将 展开成傅立叶级数. )(xf解由 ，故 。于是 的傅立叶系数为42 l2l)(xfxxnxExxnxfand2cos2sin21d2cos)(212 2 2 2 , ) 1( 0 , , )1 (2dcossin2 0 nnnnEttntE为奇数，为