信息与计算科学专业综合课程设计模板杨晓格

1、数学与统计学院信息与计算科学系综合课程设计设计题目：复化梯形公式的原理与实现姓 名：杨晓格学 号：11001010129专 业：信息与计算科学班 级： 110010101指导老师：李明系 主 任：刘瑞华时 间：2013年11 月22日数学与统计学院信息与计算科学系综合课程设计成绩评定书设计题目：复化梯形公式的原理与实现指导教师评语成 绩： 指导教师： 时 间：答辩小组意见设计成绩：答辩组长：审定 系（副）主任：目录摘要41前言 52 复化梯形公式的提出背景53复化梯形公式的算法原理63.1复化梯形公式的主要思想63.2复化梯形公式的计算方法63.3复化梯形公式的积分余项64算法流程图75 C语

2、言算法程序86算法实现6.1算法实例96.2利用MATLAB计算误差的例子117总结138参考文献13摘要利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，利用微元法，可以求出坐标面上由函数与坐标轴围城的图像的面积的近似值。设将求积区间分成等份，则一共有个分点，按梯形公式计算积分值，需要提供个函数值。整个区间上的复化梯形公式即 利用复化梯形公式计算和函数，此外也通过实例分析运用这种方法会产生怎样的误差。关键字：分点 函数值 一、 前言在工程计算中，某些定积分的近似值被广泛应用。我们在求一些具体的数值时，往往对精度的要求很高，用求积公式计算精确度的方法有很多，各有优缺点。通过对几种常见的方法加以比较，得出一

3、些具体的选择方法，为提高计算精确度减少了很多复杂的运算。像复化梯形公式适用对精度不高的运算， 比复化梯形公式计算复杂，但结果比复化梯形求积公式计算的精确度要高，更适应精确度的运算，龙贝格计算积分时，不仅可以减少运算量，也可以提高近似值的精确度。此次主要讨论复化梯形的一些知识。二、 复化梯形公式的提出背景根据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分,只要找到被积函数的原函数，便有下列Newton-Leibniz公式：.但实际使用这种求积方法往往有困难，一方面的原函数不易求得 ,或非常复杂像有很多的被积函数，例如，等等，找不到用初等函数表示的原函数；另一方面,函数 是用函数表形式给出而没有解析式 ,

4、Newton-Leibniz公式也不能直接运用，这时就采用定积分的数值计算方法 ,以解决定积分的近似计算。此外在一些应用中数值求积公式的应用不仅在近似计算本身 ,在初等数学中 ,某些数列求前 n项之和公式的推导颇为繁琐 ,应用复化梯形公式可方便地导出这些公式。复化梯形公式用牛顿Newton-Leibniz公式来计算的值的前提是 :的原函数能够求出。当 的原函数不易求出或找不到时 ,希望用一个易于求原函数的函数来近似代替被积函数 ,从而得到定积分的近似计算公式。下文中梯形公式就是常用的近似计算公式。由定积分的几何意义可知，梯形的面积近似的代替曲边梯形的面积。如果在整个区间上，只用单独一个梯形，由

5、求梯形面积公式算出的结果为：T=（b-a）/2*f(a)+f(b)作为的近似值，往往达不到精度要求，因此通常采用的方法是细分求积区间。三、复化梯形公式的算法原理3.1复化梯形公式的主要思想： 利用小梯形的面积代替原方程的积分，利用微元法，可以求出坐标面上由函数与坐标轴围城的图像的面积的近似值，符合了计算机计算存储的思想。设将求积区间分成等份，则一共有个分点，按梯形公式计算积分值，需要提供个函数值。在区间内插入一列分点,使a=<<L<<L<=b,相邻两分点间的距离h= -称为步长。均取等步长，即这里 代表步长，分点为，3.2复化梯形公式的计算方法：每个小区间上梯形公

6、式是注意，这里 代表步长，分点为，整个区间上的复化梯形公式是即 3.3复化梯形公式的积分余项： ，由于 ，且 故存在使所以复化梯形公式的积分余项为即 , 四、算法流程图：五、C语言算法程序#include<stdio.h>#include<math.h>#include<iostream>using namespace std;#define N 400float F(float x) x=exp(x) ; return (x ) ;int main()float a,b,xN,sum,T;int n,i;printf("please input

7、n=");cin>>n; printf("please input a=");cin>>a; printf("please input b=");cin>>b; for(i=0;i<n+1;i+)xi=a+i*(b-a)/(float)n;sum=0; for(i=1;i<n;i+)sum=sum+F(xi);T=(b-a)/(2*(float)n)*(F(x0)+F(xn)+2*sum);cout<<"T= "<<T<<endl;retur

8、n 0;六、算法实现6.1算法实例实例一：利用复化梯形公式计算函数，在以1为下界，2为上界，把区间分为2等分（复化梯形公式计算在的值）。解：运行程序(1) 显示出 “please in put n=” ,“please in put a=” ,“please in put b=”,依次输入数据，回车。(2) 显示结果如下图：注：此时；在程序中对应的语句为x=exp(x) ;所求的函数可以定义为其他函数得出目标函数的结果。 实例二：利用复化梯形公式计算函数，求在以1为下界，2为上界，把区间分为2等分（复化梯形公式计算在的值）。解：运行程序(1) 显示出 “please in put n=” ,“

9、please in put a=” ,“please in put b=”，依次输入数据，回车。(2) 显示结果如下图：注：此时；在程序中对应的语句为x=sin(x)/x ;所求的函数可以定义为其他函数得出目标函数的结果。6.2利用MATLAB计算误差的例子：function f=fx(x)f=x.2; 首先建立被积函数，以便于计算真实值。a=0; 积分下线b=1; 积分上线T=; 用来装不同n值所计算出的结果for n=2:10; h=(b-a)/n; 步长 x=zeros(1,n+1); 给节点定初值 for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; 给节点赋值 end y=x.2;

10、 给相应节点处的函数值赋值 t=0; for i=1:n t=t+h/2*(y(i)+y(i+1); 利用复化梯形公式求值 end T=T,t; 把不同n值所计算出的结果装入 T中endR=ones(1,9)*(-(b-a)/12*h. 2*2); 积分余项（计算误差）true=quad(fx,0,1); 积分的真实值A=T-true; 计算的值与真实值之差（实际误差）x=linspace(0,1,9);plot(x,A,'r',x,R,'*') 将计算误差与实际误差用图像画出来注：由于被积函数是x.2，它的二阶倒数为2，所以积分余项为：(-(b-a)/12*h

11、. 2*2)上图是利用复化梯形公式所画出的误差。其中：红线是计算误差，号是实际误差。-0.0017是计算误差。0.0417、0.0185、0.0104、0.0067 0.0046、0.0034、0.0026、0.0021、0.0017是n值分别为2到10的实际误差。七总结这种求积公式计算比较容易，但是往往因为合理的选取比较困难，同时精确度不高，因此适用于对精确度要求不高的运算，梯形积分公式的方法计算的结果还是有一定的误差。学习这种算法我懂得了一些积分方法，同时对C语言和MATLAB的运用有了一定的累积，同时也有了一些其他方面的感想。虽然个人编程方面的知识非常有限，不过当我朝着这方面努力的时候，我感觉自己是满足而且充实的。正如人生一样，没有付出就不可能有回报，一分耕耘一分收获