材料力学第5版(孙训方编)第七章

1、1第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论7- -1 概述概述7- -2 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析主应力主应力7- -3 空间应力状态的概念空间应力状态的概念7- -4 应力与应变间的关系应力与应变间的关系7- -5 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度7- -6 强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力7- -8 各种强度理论的应用各种强度理论的应用* *7- -7 莫尔强度理论及其相当应力莫尔强度理论及其相当应力27-1 概述概述 在第二章和第三章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出：一点处不同方位截面上

2、应力的集合(总体)称之为一点处的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体 单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态(state of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力来表示。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论320coscos p2sin2sin0 p单向应力状态第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论42sin2cos纯剪切应力状态第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论5研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以： 1. 了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳

3、钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45 斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45 方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。 2. 在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论)(theory of strength, failure criterion)的基础。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论6 本章将研究 . 平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态) 的概念；. 平面应力状态和三向应力状态下的应力应变关系广义胡克定

4、律(generalized Hookes law)，以及这类应力状态下的应变能密度(strain energy density)；. 强度理论。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论77- -2 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析主应力主应力 平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应力而无切应力这种应力状态。等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态(参见3-4的“.斜截面上的应力”)。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论8 对于图a所示受横力

5、弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果将表明A点也处于平面应力状态。(a)(c)(b)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论9 平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的应力。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论10. 斜截面上的应力第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 图b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef 以它的外法线n与x轴的夹角 定义，且角以自x 轴逆时针转至外法线n为正；斜截面上图中所示的正应力

6、 和切应力均为正值，即 以拉应力为正，以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。11 由图c知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dAcos，而底面bf 的面积为dAsin。图d示出了作用于体元ebf 诸面上的力。体元的平衡方程为0sinsindcossind coscosdsincosdd0AAAAAFyyxxn，0cossindsinsind sincosdsincosdd0AAAAAFyyxxt，第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论12 需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力y按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程时已考虑了它的实际指向

7、，故方程中的y仅指其值。也正因为如此，此处切应力互等定理的形式应是x=y。 由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2为参变量的求 斜截面上应力，的公式：2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论13. 应力圆 为便于求得， ，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆)(Mohrs circle for stresses)来表示。 先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：222222xyxyxx第七章第七章 应力状态和强度理论应力

8、状态和强度理论14 而这就是如图a所示的一个圆应力圆，它表明代表 斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。OC2yx222xyx(a)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论15第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论OC(b)xxD,1yyD,2 图a中所示的应力圆实际上可如图b所示作出，亦即使单元体x截面上的应力x,x按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面上的应力y,y(取y = -x)定出点D2，然后连以直线，以它与 轴的交点C为圆心，并且以 或 为半径作圆得出。1CD2CD16值得注意的是，在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上应力的点D1和D2所夹圆

9、心角为180，它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述，计算公式中以2 为参变量这个前提。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论OC(b)xxD,1yyD,217 利用应力圆求 斜截面(图a)上的应力，时，只需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半径 按方位角的转向转动2角，得到半径 ，那么圆周上E点的座标便代表了单元体斜截面上的应力。现证明如下(参照图b)：1DCEC第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论18E点横座标2sin2cos22 2sin2sin2cos2cos 2sin2sin2cos2cos 22cos0101000 xyxyxCD

10、CDOCCECEOCCEOCCFOCOF第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论19E点纵座标2sin22cos 2sin2cos2cos2sin 22sin01010yxxCDCDCEEF第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论20讨论讨论: 1. 表达图示各单元体 斜截面上应力随角变化的应力圆是怎样的？这三个单元体所表示的都是平面应力状态吗？第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论21 2. 对于图示各单元体，表示与纸面垂直的斜截面上应力随 角变化的应力圆有什么特点？ =45两个斜截面上的,分别是多少？二向等值压缩二向等值拉伸纯剪切第七章第七章 应力状态和强度

11、理论应力状态和强度理论22思考思考: : 已知一点处两个不相垂直截面上的应力(图a)，如图b所示为表达其与纸面垂直的一组斜截面上应力而作的应力圆是否正确？理由是什么？(a)2),(1D),(2DC(b)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论23. 主应力与主平面第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 由根据图a所示单元体上的应力所作应力圆(图b)可见，圆周上A1和A2两点的横座标分别代表该单元体的垂直于xy平面的那组截面上正应力中的最大值和最小值，它们的作用面相互垂直(由A1和A2两点所夹圆心角为180可知)，且这两个截面上均无切应力。24第七章第七章 应力状态和强度理

12、论应力状态和强度理论一点处切应力等于零的截面称为主平面(principal plane)，主平面上的正应力称为主应力(principal stress)。据此可知，应力圆圆周上点A1和A2所代表的就是主应力；但除此之外，图a所示单元体上平行于xy平面的面上也是没有切应力的，所以该截面也是主平面，只是其上的主应力为零。25 在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么应力状态必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。对于一点处三个相互垂直的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作1，2，3。图b所示应力圆中标出了1和2，而3=0。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理

13、论26当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是1，也可能是2或3，这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。12)0(331)0(22)0(13第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论27 现利用前面的图b所示应力圆导出求不等于零的主应力数值和主平面位置方位角0的解析式，由于12111ACCOACCOAO22222142124212xyxyxxyxyx 其中， 为应力圆圆心的横座标， 为应力圆的半径。故得OC11CDCA 第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论28第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态

14、和强度理论yxxBCDB212tan1110yxx2arctan2 0或即图c示出了主应力和主平面的方位。29 由于主应力是按其代数值排序记作1，2，3的，故在一般情况下由上列解析式求得的两个不等于零的主应力不一定就是1，2，所以应该把式中的1，2看作只是表示主应力而已。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论30 例题例题7- -2 简支的焊接钢板梁及其上的荷载如图a所示，梁的横截面如图b和c。试利用应力圆求集中荷载位置C的左侧横截面上a，b两点(图c)处的主应力。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论31 解：解：焊接钢板梁的腹板上在焊缝顶端(图b中点f )处，弯曲应

15、力和切应力都比较大，是校核强度时应加以考虑之点；在实际计算中为了方便，常近似地以腹板上与翼缘交界处的a点(图c)代替f点。正因为如此，本例题中要求的也是a点处主应力。梁的自重不计。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论32 1. 此梁的剪力图和弯矩图如图d和e。危险截面为荷载作用位置C的左侧横截面。mkN80kN200SCCMF第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论332. 相关的截面几何性质为46333333m108812m10270m1011112m10300m10120zI363333*m10256m105 . 7m10135m1015m10120zaS第七章第七

16、章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论343. 危险截面上a点和b点处的应力：MPa7 .122Pa107 .122m135. 0m1088mN10806463azCayIMMPa6 .64Pa106 .64m109m1088m10256N102006346363*SdISFzzaCaMPa4 .136Pa104 .136m15. 0m1088mN10806463bzCbyIM0b第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论354. 从危险截面上a点和b点处以包含与梁的横截面在内的三对相互垂直的截面取出单元体，其x和y面上的应力如图f和h中所示。据此绘出的应力圆如图g和i。yxxxxx

17、yy(f)(h)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论36对于点aMPa270MPa1503211和2的方向如图f中所示。130yxxxxxyy(f)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论(g)1注意到图f和h所示单元体，其平行于xy平面的面为主平面（其上无切应力，相应的主应力为零，故图g所示应力圆上点A1所表示的是1。按作应力圆时的同一比例尺可量得：37(i)(h)对于点b00MPa4 .1363211沿x方向(图h)。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论38 当然，点a 处主应力1和3的值及其方向也可按应力圆上的几何关系来计算：MPa4 .150 22

18、221111xxxDCCOACCOAOMPa7 .27 22221223xxxDCCOACCOAO4 .462/MPa7 .122MPa4 .64arctan2arctan20 xx亦即 0-23.2。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论(g)139 5. 图f中所示a 点主应力1的方向，实际上只须将应力圆上代表x 截面上应力的点D1(x，x)反向投射到应力圆上的点 ，然后将代表3的点A2与点 连以直线即得。这里利用了圆周角恒等于圆心角之半的几何关系。1D1D第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论yxxxxxyy(f)1 1方向1D407- -3 空间应力状态的概念空

19、间应力状态的概念 当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论41 空间应力状态最一般的表现形式如图b所示；正应力x，y，z的下角标表示其作用面，切应力xy，xz，yx，yz，zx，zy的第一个下角标表示其作用面，第二个下角标表示切应力的方向。(b)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉应力为正，切应力则如果其作用面的外法线指向某一座标轴的正向而该面上的切应力指向另一座标轴的正向时为正。42 最一般表现

20、形式的空间应力状态中有9个应力分量，但根据切应力互等定理有xyyx，yzzy ，xzzx，因而独立的应力分量为6个，即x，y，z，yx，zy ，zx。 当空间应力状态的三个主应力1，2，3已知时(图a)，与任何一个主平面垂直的那些斜截面(即平行于该主平面上主应力的斜截面)上的应力均可用应力圆显示。(a)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论43(b)(c)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 例如图a中所示垂直于主应力3所在平面的斜截面，其上的应力由图b所示分离体可知，它们与3无关，因而显示这类斜截面上应力的点必落在以1和2作出的应力圆上(参见图c)。44 进一步的研

21、究证明*，表示与三个主平面均斜交的任意斜截面(图a中的abc截面)上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。(a)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 同理，显示与2(或1)所在主平面垂直的那类斜截面上应力的点必落在以1和3(或2和3)作出的应力圆上。(c)45 据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正应力max就是主应力1，而最大切应力为31max21(c)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论46它的作用面根据应力圆点B的位置可知，系与主应力2作用面垂直而与1作用面成45 ，即下面图a中的截面abcd。abcd4532211(a)ac

22、d12231max231b23第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论47 根据切应力互等定理可知，在与截面abcd垂直的截面efgh上有数值上与max相等的切应力，如下面图b中所示。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论abcd4532211(a)acd12231max231b23max45(b)efgh223148 例题例题7-3 试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。(a)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论49 解解: : 1. 图a所示单元体上正应力z=20 MPa的作用面(z截面)上无切应力，

23、因而该正应力为主应力。 2. 正如以前所述，在与主平面z截面垂直的各截面上的应力与主应力z无关，故可根据x截面和y截面上的应力画出显示与z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论(a)50 从圆上得出两个主应力46 MPa和-26 MPa。这样就得到了包括z=20 MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为146 MPa，220 MPa，3-26 MPa。(b)(a) 3. 依据三个主应力值作出的三个应力圆如图b所示。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论51 1的作用面垂直于z截面(z作用面)，其方位角0根据通过点D1和

24、D2的应力圆上由代表x截面上应力的点D1逆时针至代表1的点A的圆心角2034可知为017且由x截面逆时针转动，如图c中所示。(c)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论(b)52 4. 最大切应力max由应力圆上点B的纵座标知为max36 MPa，作用在由1 作用面绕2 逆时针45 的面上(图c)。(c)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论(b)53显然，根据解析式也得MPa36MPa26MPa46212131max7 .33 MPa20MPa40MPa202arctan2arctan20yxx1785.160(c)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论5

25、47-4 应力与应变间的关系应力与应变间的关系 前已讲到，最一般表现形式的空间应力状态有6个独立的应力分量： x , y , z , xy , yz , zx；与之相应的有6个独立的应变分量：ex , ey , ez , gxy , gyz , gzx。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论55关于应力分量的正负已于7-3中讲述；至于应变分量的正负为了与应力分量的正负相一致，规定：线应变ex , ey , ez以伸长变形为正，切应变gxy , gyz , gzx 以使单元体的直角xoy , yoz , zox减小为正。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论56 本节讨论

26、在线弹性范围内，且为小变形的条件下，空间应力状态的应力分量与应变分量之间的关系，即广义胡克定律。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论57. 各向同性材料的广义胡克定律 对于各向同性材料，它在任何方向上的弹性性质相同，也就是它在各个方向上应力与应变之间的关系相同。因此，对于各向同性材料： (1) 在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂直的方向产生线应变，而在包含正应力作用面在内的三个相互垂直的平面内不会发生切应变； (2) 在切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不会在切应力方向和与它们垂直的方向产生线应变。第七章第七章 应力状态和强度

27、理论应力状态和强度理论58 图a,b,c作为示例示出了单元体以及对各向同性材料来说不可能产生的变形，因为每个图中上面的单元体在绕x轴旋转180 以后，如各图中下面的单元体所示，或者受力情况未变而变形却反了(图a)，或者变形无变化但受力情况却反了(图b,c)，而这些都不符合各向同性材料应力应变关系不应该随单元体转动而变化的特征。xxxx(a)xx(b)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论xx(c)59 现在来导出一般空间应力状态(图a)下的广义胡克定律。因为在线弹性,小变形条件下可以应用叠加原理，故知x方向的线应变与正应力之间的关系为zyxzyxxEEEEe1第七章第七章 应力状态

28、和强度理论应力状态和强度理论同理有yxzzzxyyEEee11，60至于切应变与切应力的关系，则根据前面所述可知，切应变只与切应变平面内的切应力相关，因而有GGGzxzxyzyzxyxyggg，第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论61对于图b所示的那种平面应力状态(z0，xz=zx=0，yz=zy=0)，则胡克定律为GEEExyxyyxzxyyyxxgeee11yxxyyx(b)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 各向同性材料的三个弹性常数E，G， 之间存在如下关系：12EG62思考思考: 1. 图a和图b所示应力状态是否完全相当？ 2. 图a所示情况下，对角线a

29、b的线应变eab与g 的关系，亦即eab与/G 的关系是怎样的？ gga2gaaa(a)45(b)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论ba 3. 图b中沿图a中对角线ab方向的线应变与所示 的关系是怎样的？63 4. 如果图a与图b是同一应力状态，那么它们沿同一方向的线应变应相等，按此可否导出G=E/2(1+)。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论gga2gaaa(a)45(b)ba64 当空间应力状态如下图所示以主应力表示时，广义胡克定律为213331223211111eeeEEE第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论式中，e1，e2，e3分别为沿主应

30、力1，2，3方向的线应变。65 对于各向同性材料由于主应力作用下，在任何两个主应力构成的平面内不发生切应变，因而主应力方向的线应变就是主应变 一点处两个相互垂直方向间不发生切应变时该两个方向的线应变。21312221111eeeEEE第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 在平面应力状态下，若30，则以主应力表示的胡克定律为66 例题例题 已知构件受力后其自由表面上一点处x方向的线应变ex240 10-6，y 方向的线应变ey=-160 10-6，试求该点处x和y截面上的正应力x和y，并求自由表面法线的线应变ez。已知材料的弹性模量E=210 GPa，泊松比0.3。第七章第七章 应

31、力状态和强度理论应力状态和强度理论67 解解：1. 构件的自由表面上无任何应力，故知该点处于平面应力状态。2. 根据平面应力状态的胡克定律有xyyyxxEEee11，联立求解此二式得MPa33.44Pa1033.44 101603 . 0102403 . 01Pa102101666292yxxEee第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论MPa3 .20Pa103 .20 102403 . 0101603 . 01Pa10210166692xyyEee68再根据平面应力状态的胡克定律求得6669103 .34 Pa103 .20Pa103 .44Pa102103 . 0yxzEe 需

32、要注意的是，题文中给出了x和y方向的线应变，并未说明在xy平面内无切应变，故不能把求得的x和y认为是主应力。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论69思考思考: : 有人认为既然上述例题中给出了ex和ey的值，那么ez可如下求算：666102410160102403 . 0yxzeee但这又与例题中的结果不符。错在哪里？第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论70*. 各向异性材料的广义胡克定律 各向异性材料受力时，正应力会引起切应变，而切应力也会引起线应变。完全各向异性的材料在一般空间应力状态下，三个相互垂直平面上的6个独立的应力分量x，y，z，yz，zx，xy中的每一

33、个都可引起6个应变分量ex，ey，ez，gyz，gzx ，gxy。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论71xyzxyzzyxxCCCCCCe161514131211xyzxyzzyxyCCCCCCe262524232221xyzxyzzyxzCCCCCCe363534333231xyzxyzzyxyzCCCCCCg464544434241xyzxyzzyxzxCCCCCCg565554535251xyzxyzzyxxyCCCCCCg666564636261第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论从而在线弹性范围内且小变形的条件下，应力分量与应变分量之间的关系可表达为72

34、 上式即是完全各向异性材料的广义胡克定律。式中的Cij为弹性常数，其第一个下角标 i（1，2， ，6）表示它对应于应变分量ex，ey，ez，gyz，gzx，gxy中的第几个，例如C24表示ey对应于yz的弹性常数。从式中可见，完全各向异性的材料总共有36个弹性常数。 利用功的互等定理很容易证明，上列弹性常数中存在Cij=Cji这一互等关系，也就是说，在上列一组式子中有(366)/215对弹性常数是互等的。可见完全各向异性的材料只有361521个独立的弹性常数。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论73 对于完全各向异性的材料，若沿x，y，z方向的正应力为主应力1，2，3，因而xy0

35、，yz=0，zx=0，则按广义胡克定律有343242141gCCCyz353252151gCCCzx363262161gCCCxy 可见在任何两个主应力构成的平面内均发生有切应变，所以主应力方向并非主应变的方向，或者说，主应力方向和主应变方向不相重合。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论74 工程上应用的将单向排列碳纤维浇注于环氧树脂中形成的单向复合材料，它们具有三个弹性性能对称面(参见下图)，从而具有三个弹性性能对称轴，这种各向异性材料称为正交异性材料(orthogonal composite material)。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论75第七章第七

36、章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 当正交异性材料中一点处三个相互垂直面上的六个独立应力分量均平行于材料的弹性对称轴时，根据对称性原则可知，这三个面上的正应力在弹性对称轴方向只产生线应变，这三个面上的切应力只在它们各自的自身平面内产生切应变。76zyxxCCCe131211zyxyCCCe232221zyxzCCCe333231yzyzCg44zxzxCg55xyyxCg66因此，当正交异性材料一点处的六个独立应力分量平行于材料的弹性对称轴x，y，z时，广义胡克定律为第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论考虑到上式中：C12=C21，C13=C31，C23=C32，正交异性材

37、料共有9个独立的弹性常数。77 思考思考: : 图中x轴和y轴为正交各向异性材料的弹性性能对称轴，从该材料中一点处取出的单元体如图a所示，受纯剪切；变形后如图b。试论证这种情况仍符合对称性原则。xyxy(a)(b)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论78. 各向同性材料的体应变 材料受力而变形时其体积的相对变化称为体应变。321321332211111aaaaaaaaaVVVeee第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论取三个边长分别为a1，a2，a3的单元体，它在受力而变形后边长分别为a1(1+e1)，a2(1+e2)，a3(1+e3)，故体应变为79将上式展开并略去

38、高阶微量e1e2，e2e3，e3e1，e1e2e3，再利用各向同性材料的广义胡克定律得32132121eeeE第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论80 对于以最一般形式表达的空间应力状态，由于单元体每一个平面内的切应力引起的纯剪切相当于这个平面内的二向等值拉压(1，3，20），从而从上列体应变公式中可见，它们引起的体应变为零。可见，对于各向同性材料，在一般空间应力状态下的体应变也只与三个线应变之和有关，即zyxzyxEeee21第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论81 思考思考: 各向同性材料制成的构件内一点处，三个主应力为130 MPa，210 MPa，3-40

39、MPa。现从该点处以平行于主应力的截面取出边长均为a的单元体，试问：(1) 变形后该单元体的体积有无变化？(2) 变形后该单元体的三个边长之比有无变化？第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论82 例题例题7-6 边长a =0.1 m的铜质立方体置于刚性很大的钢块中的凹坑内(图a)，钢块与凹坑之间无间隙。试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向外加荷载F =300 kN时，铜块内的主应力，最大切应力，以及铜块的体应变。已知铜的弹性模量E =100 GPa，泊松比0.34。铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计。(a)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论83解：解：1. 铜块水平截面

40、上的压应力为 MPa30Pa1030m1 . 0N10300623AFy 2. 铜块在y作用下不能横向膨胀，即ex=0，ez0，可见铜块的x截面和z截面上必有x和z存在(图b) 。(b)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论84按照广义胡克定律及ex0和ey0的条件有方程：0101zyzzzyxxEEee从以上二个方程可见，当它们都得到满足时显然xz。于是解得MPa5 .15 Pa105 .15Pa103034. 0134. 0166yzx第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论85由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦，所以x，y，z都是主应力，且MPa30MPa5 .15

41、321第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论3. 铜块内的最大切应力为MPa25. 7Pa1025. 7 Pa1030Pa105 ax(b)86第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论4. 铜块的体应变为466693211095. 1 Pa1030Pa105 .15Pa105 .15Pa1010034. 021 21E(b)877- -5 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度 在第二章“轴向拉伸和压缩”中已讲到，应变能密度是指物体产生弹性变形时单位体积内积蓄的应变能，并导出了单向拉伸或压缩应力状态下的应变能密度计算公式：22222

42、1eeEEv在第三章“扭转”中讲到了纯剪切这种平面应力状态下的应变能密度：222221ggGGv在此基础上，本章讲述空间应力状态下的应变能密度。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论88 空间应力状态下，受力物体内一点处的三个主应力有可能并非按同一比例由零增至各自的最后值，例如1先由零增至最后的值，然后2由零增至最后的值，而3最后才由零增至最后的值。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 但从能量守恒定律可知，弹性体内的应变能和应变能密度不应与应力施加顺序有关而只取决于应力的最终值，因为否则按不同的加载和卸载顺序会在弹性体内累积应变能，而这就违反了能量守恒定律。89把由

43、主应力和主应变表达的广义胡克定律代入上式，经整理简化后得133221232221221Ev 为了便于分析，这里按一点处三个主应力按同一比例由零增至最后的值这种情况，即通常所称的比例加载或简单加载情形，来分析以主应力显示的空间应力状态下，各向同性材料在线弹性且小变形条件下的应变能密度。此时：33221121eeev第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论90体积改变能密度和形状改变能密度 图a所示单元体在主应力作用下不仅其体积会发生改变，而且其形状(指单元体三个边长之比)也会发生改变。这就表明，单元体内的应变能密度ve包含了体积改变能密度vv和形状改变能密度vd两部分，即vevvvd。

44、第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论91 如果将图a所示应力状态分解为图b和图c所示两种应力状态，则可见： . 图b所示三个主应力都等于平均应力m(1+2+3)/3的情况下，单元体只有体积改变而无形状改变，其应变能密度即是体积改变能密度，而形状改变能密度为零。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论92 . 图c所示三个主应力分别为1-m，2-m，3-m的情况下，三个主应力之和为零，单元体没有体积改变而只有形状改变，故该单元体的应变能密度就是形状改变能密度，而体积改变能密度为零。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论93由以上分析可知： (1) 图a所示单元

45、体的体积改变能密度就等于图b所示单元体的应变能密度，故对图a所示单元体有23212m2m2m2m2m2m2mV6212213 221|EEEvvb单元体第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论94 213232221m1m3m3m2m2m12m32m22m1d61 2 21|EEvvc单元体在下一节所讲的强度理论中要运用形状改变能密度。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 (2) 图a所示单元体的形状改变能密度就等于图c所示单元体的应变能密度，故对图a所示单元体有957- -6 强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力 材料在单向应力状态下的强度(塑性材料的屈服极限，脆

46、性材料的强度极限)总可通过拉伸试验和压缩试验加以测定；材料在纯剪切这种特定平面应力状态下的强度(剪切强度)可以通过例如圆筒的扭转试验来测定。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 但是对于材料在一般平面应力状态下以及三向应力状态下的强度，则由于不等于零的主应力可以有多种多样的组合，所以不可能总是由试验加以测定。因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律，提出关于材料发生强度破坏的力学因素的假设强度理论，以便利用单向拉伸、压缩以及圆筒扭转等试验测得的强度来推断复杂应力状态下材料的强度。96材料的强度破坏有两种类型； . 在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂； . 产生

47、显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为 . 研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论； . 研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论97 (1) 最大拉应力理论(第一强度理论) 受铸铁等材料单向拉伸时断口为最大拉应力作用面等现象的启迪，第一强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处三个主应力中的拉伸主应力1达到该材料在单轴拉伸试验或其它使材料发生脆性断裂的试验中测定的极限应力u时就发生断裂。可见，第一强度理论关于脆性断裂的判

48、据为u1而相应的强度条件则是 1其中，为对应于脆性断裂的许用拉应力，u/n，而n为安全因数。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论98 (2)最大伸长线应变理论(第二强度理论) 从大理石等材料单轴压缩时在伸长线应变最大的横向发生断裂(断裂面沿施加压应力的方向，即所谓纵向)来判断，第二强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处的最大伸长线应变e1达到该材料在单轴拉伸试验、单轴压缩试验或其它试验中发生脆性断裂时与断裂面垂直的极限伸长应变eu时就会发生断裂。可见，第二强度理论关于脆性断裂的判据为u1ee第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论99对应于式中材料脆性断裂的极限伸长线

49、应变eu， 如果是由单轴拉伸试验测定的(例如对铸铁等脆性金属材料)，那么eu u/E； 如果eu是由单轴压缩试验测定的(例如对石料和混凝土等非金属材料)，那么eu u/E； 如果eu是在复杂应力状态的试验中测定的(低碳钢在三轴拉伸应力状态下才会未经屈服而发生脆性断裂)，则eu与试验中发生脆性断裂时的三个主应力均有联系。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论100EEu3211亦即u321而相应的强度条件为 321 按照这一理论，似乎材料在二轴拉伸或三轴拉伸应力状态下反而比单轴拉伸应力状态下不易断裂，而这与实际情况往往不符，故工程上应用较少。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和

50、强度理论 如果eu是在单轴拉伸而发生脆性断裂情况下测定的，则第二强度理论关于脆性断裂的判据也可以便于运用的如下应力形式表达：101 (3) 最大切应力理论(第三强度理论) 低碳钢在单轴拉伸而屈服时出现滑移等现象，而滑移面又基本上是最大切应力的作用面(45 斜截面)。据此，第三强度理论认为，在任何应力状态下当一点处的最大切应力max达到该材料在试验中屈服时最大切应力的极限值u时就发生屈服。第三强度理论的屈服判据为umax对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限s，从而有us/2的材料（例如低碳钢），上列屈服判据可写为22s31s31即第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论102而相应的强度条

51、件则为 31 从上列屈服判据和强度条件可见，这一强度理论没有考虑复杂应力状态下的中间主应力2对材料发生屈服的影响；因此它与试验结果会有一定误差(但偏于安全)。 (4) 形状改变能密度理论(第四强度理论) 注意到三向等值压缩时材料不发生或很难发生屈服，第四强度理论认为，在任何应力状态下材料发生屈服是由于一点处的形状改变能密度vd达到极限值vdu所致。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论103于是，第四强度理论的屈服判据为dudvv 对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限s的材料，注意到试验中1 s， 230，而相应的形状改变能密度的极限值为2sdu261Ev故屈服判据可写为2s21323

52、222126161EE第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论104此式中，1，2，3是构成危险点处的三个主应力，相应的强度条件则为 21323222121 这个理论比第三强度理论更符合已有的一些平面应力状态下的试验结果，但在工程实践中多半采用计算较为简便的第三强度理论。亦即s21323222121第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论105(5) 强度理论的相当应力 上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形式： r式中，r是根据不同强度理论以危险点处主应力表达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条件中的拉应力，通常称r为相当应力。表7-1示出了前述四个强度理

53、论的相当应力表达式。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论106相当应力表达式强度理论名称及类型 第一类强度理论(脆性断裂的理论) 第二类强度理论(塑性屈服的理论) 第一强度理论 最大拉应力理论 第二强度理论 最大伸长线应变理论 第三强度理论 最大切应力理论 第四强度理论 形状改变能密度理论1r1321r2313r2/1213232221r4 21表7-1 四个强度理论的相当应力表达式第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论107* *7- -7 莫尔强度理论及其相当应力莫尔强度理论及其相当应力 莫尔强度理论不以某一力学因素(正应力，线应变，切应力，形状改变能密度)达到其

54、极限值作为材料发生强度破坏的判据，而直接以材料在某些应力状态下强度试验结果所建立的带有经验性的强度理论。在该理论中也不考虑中间主应力2对材料强度的影响。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论108 按照材料在某些应力状态下破坏时的主应力1,3可作出一组应力圆极限应力圆(如图)，这组极限应力圆有一条公共包络线(即极限包络线，一般情况下为曲线，如图中的曲线ABC和与它对称的另一曲线)。. 莫尔强度理论的基本观点第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论109 在工程应用中，往往根据单轴拉伸和单轴压缩的强度试验结果作两个极限应力圆定出公切线(直线)作为极限包络线。 莫尔强度理论认

55、为，对于某一给定的应力状态(1,2,3 )如果由1与3所作应力圆与上述极限包络线相切或相交，则表示材料要发生强度破坏。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论110. 莫尔强度理论的强度条件 在强度计算中需引入安全因数，故以材料在单轴拉伸时的许用拉应力t和单轴压缩时的许用压应力c分别作出许用应力圆，并以它们的公切线（许用包络线）作为建立复杂应力状态下强度条件的依据。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 任何复杂应力状态下，以主应力1，3作出的应力圆都不得与许用包络线相交，而强度条件则以该应力圆与许用包络线相切的条件来建立。111 根据图中的几何关系可见，任意应力状态下以

56、1,3所作应力图与许用包络线相切时有121323OOOOPONO(a)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论112其中：需要注意的是，以上各式中c是指绝对值， 1,3是指代数值。 t311332121LOKONO tc1222121LOMOPO 31t31132121OOOOOOct21122121OOOOOO(b)第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论113将式(b)所列关系代入式(a)得t3ct1根据此式导出的条件可知，式中的1,3实际上是所研究的复杂应力状态下刚好满足强度要求的值，因而莫尔强度理论的强度条件应为t3ct1相应的相当应力表达式于是为3ct1rM第七章

57、第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论114 显然，当材料的许用拉,压应力相等时， rM=r3=1-3从这个意义上来说，莫尔强度理论是第三强度理论的发展，因为莫尔强度理论可以考虑t c的情况。 莫尔强度理论的不足之处在于，它没有考虑不同应力状态下材料强度破坏的类型可能不同，例如对于铸铁一类脆性材料，莫尔强度理论中作出许用包络线的t和c就是对应于沿横截面脆性断裂和沿斜截面剪断两种不同破坏类型的。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论1157- -8 各种强度理论的应用各种强度理论的应用 前述各种强度理论是根据下列条件下材料强度破坏的情况作出的假设，它们也是应用这些强度理论的条件

58、：常温(室温)，静荷载(徐加荷载)，材料接近于均匀,连续和各向同性。 需要注意同一种材料其强度破坏的类型与应力状态有关。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论116第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根部附近材料处于接近三向等值拉伸的应力状态而发生脆性断裂。对于像低碳钢一类的塑性材料，除了处于三向拉伸应力状态外，不会发生脆性断裂。117 圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时会产生显著的塑性变形而失效。第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论118纯剪切平面应力状态下许用应力的推算纯剪切平面应力状态下，321

59、0 低碳钢一类的塑性材料，纯剪切和单轴拉伸应力状态下均发生塑性的屈服，故可用单轴拉伸许用应力按第三或第四强度理论推算许用切应力。按第三强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为可见 5 . 02 2亦即第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论119按第四强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为可见 577. 03 在大部分钢结构设计规范中就是按 =0.577 然后取整数来确定低碳钢的许用切应力的。例如规定 170 MPa，而 100 MPa。 2220021 3亦即第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论120 铸铁一类的脆性材料，纯剪切(圆杆扭转)和单向拉伸应力状态下均发生脆性

60、断裂，故可用单轴拉伸许用应力t按第一或第二强度理论推算许用切应力 。按第一强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论t可见 t121按第二强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为 t0因铸铁的泊松比0.25，于是有可见 tt8 . 025. 1 t25. 125. 1t亦即第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论122 思考思考: : 试按第四强度理论分析比较某塑性材料在图(a)和图(b)两种应力状态下的危险程度。已知 和 的数值相等。如果按第三强度理论分析，那么比较的结果又如何？答案：按第四强度理论，(a),(b)两种情况下同等危险。按第