函数连续习题课

1、函数的连续习题课函数的连续习题课一、基本内容一、基本内容二、例题选讲二、例题选讲左右连续左右连续在区间在区间 a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类一、基本内容一、基本内容1、连续的定义、连续的定义 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定

2、义内有定义,如果当自如果当自变量的增量变量的增量x 趋向于零时趋向于零时,对应的函数的增量对应的函数的增量y 也趋向于零也趋向于零,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx,那末就称函数那末就称函数)(xf在在点点 x0连续连续,点点 x0称为称为)(xf的连续点的连续点.定义定义1定义定义2)()(lim00 xfxfxx :定定义义 .)()( , 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当定理定理.)()(00既左连续又右连续既左连续又右连续处处在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则

3、称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 3、连续的充要条件、连续的充要条件2、单侧连续、单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf :)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满

4、足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf4、间断点的定义、间断点的定义(1) 跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf (2)可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 5、间断点的分类、间断点的分类第一类间断点：左、右极限都存在的间断点。第一类间断点：左、右极限都存在的间断点。

5、特点特点:.,0右右极极限限都都存存在在处处的的左左函函数数在在点点 x可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx0 x0yx0 x0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点0yx0 x第二类间断点第二类间断点.)(,)(00类类间间断断点点的的第第二二为为函函数数则则称称点点至至少少有有一一个个不不存存在在右右极极限限处处的的左左在在点点如如果果xfxxxf.,)(,),(上上连连续续在在闭闭区区间间函函数数则则称称处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续并并且且在在左左端端点点内内连连续续如如果果函函数数在在开开区区间间baxfbxaxba 6、闭区间的连续

6、性、闭区间的连续性7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续在在点点若若函函数数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .定理定理2).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则则有有连连续续在在点点函函数数若若8、初等函数的连续性、初等函数的连续性.)(,)(,)(,)(00000也也连连续续在在点点则则复复合合函函数数连连续续在在点点而而函函数数且

7、且连连续续在在点点设设函函数数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3定理定理4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定理定理1(最值定理最值定理) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值有最大值和最小值.定理定理2(有界性定理有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界.定定理理3(零零点点定

8、定理理) 设设函函数数)(xf在在闭闭区区间间 ba, 上上连连续续，且且)(af与与)(bf异异号号(即即0)()( bfaf),那那末末在在 ba,内内至至少少有有函函数数)(xf的的一一个个零零点点,即即至至少少有有一一点点 )(ba ，使使0)( f.定理定理 4(介值定理介值定理) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,连连续，且续，且 Aaf )( Bbf )(, 那末，对于那末，对于 A 与与 B 之间的任意一个数之间的任意一个数 C，在，在 ba,内至少有一点内至少有一点 ， 使得， 使得Cf )( )(ba .推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续

9、的函数必取得介于最大值M 与与 最小值最小值m之间的任何值之间的任何值.例例1.1,2cos1,1)(的的连连续续性性讨讨论论 xxxxxf 解解改改写写成成将将)(xf 1, 111,2cos1,1)(xxxxxxxf .), 1(),1 , 1(),1,()(内内连连续续在在显显然然 xf二、例题选讲二、例题选讲,1时时当当 x )(lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(间间断断在在故故 xxf,1时时当当 x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1x

10、x. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(连连续续在在故故 xxf.), 1()1,()(连连续续在在 xf例例2.11lim)(22的的连连续续性性讨讨论论 tttxxxf解解时时， t )1 (11lim)(22 tttxxxf . 1,1, 1,0, 1,1xxx x =1、- -1是第一类跳跃间断点。其它点均连续。是第一类跳跃间断点。其它点均连续。时时， t )2(11lim)(22 tttxxxf . 1,1, 1,0, 1,1xxx x =1、- -1是第一类跳跃间断点。其它点均连续。是第一类跳跃间断点。其它点均连续。例例3 1 , )ln(1 , 1 1 , )(22

11、 xxxbxxxaxf设设求求a,b的值的值解解 f(- -10)lnb， f(- -1- -0)a+1， f(- -1)1则则 a=0，b=e连连续续，在在1 x例例4 BxgxxxxxxAxfBxgAxf )()(lim,)(lim, 0)(lim000则则设设,ln)(lnlim 0Axfxx 由于由于,ln)(ln)(lim0ABxfxgxx ABxfxgxxxgxxeexfln)(ln)()(00lim)(lim 则则 BxgxxAxf )()(lim0 从而从而证证例例5：求下列极限：求下列极限22202coscoslim) 1 (xxxx 22202cos2coscos1lim

12、xxxxx 原式原式xxxxxxxx2cos22cos12cos12cos22022cos22cos11lim xxxxe2cos22cos12lim20 2e 解解 xxx2csc00coslim)2( xxx2sin1001cos1lim 原式原式xxxe200sin)1(coslim 21 e 1cos1cossin10021cos1lim xxxxx解解hxhxhsin)sin(lim)3(0 2sin)2cos(21lim 0hhxhh 原原式式22sin)2cos(lim0hhhxh xcos xcos 解解haaxhxh 0lim)4()1(1lim0 hxhaah原式原式haa

13、hhx1lim 0 )1 (loglim10ttaatahxh 令令aaxln eaaxlog1 解解aaxln 例例6).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使得使得证明必有一点证明必有一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设证明证明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上连续上连续在在则则xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论讨论:, 0)0( F若若, 0 则则);0()210(ff , 0)21( F若若,21 则则);21()2121(ff 则则若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0(

14、)21(ff . 0 由零点定理知由零点定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 综上综上,1 , 021, 0 必有一点必有一点.)()21(成立成立使使 ff 例例7).()(2 , 0),2()0(,2 , 0)( fafaaffaxf 使得使得证明必有一点证明必有一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设证明证明),()()(xfaxfxF 令令., 0)(上连续上连续在在则则axF),0()()0(fafF ),()2()(afafaF 0)()0( aFF 即即讨论讨论:, 0)0( F若若, 0 则则);0()0(faf , 0)( aF若若, a 则则);()(afaaf 则则若若, 0)()0( aFF0)()0( aFF由零点定理知由零点定理知,. 0)(), 0( Fa 使使.)()(成立成立即即 faf 综上综上,2 , 0, 0aa 必有一点必有一点.)()(成成立立使使 faf 例例8).3 , 2(),2 , 1(0316271521 xxxxx另另一一个个根根根根有有一一个个证证明明方方程程证明证明