线性连续系统能控性

1、Ch.4Ch.4 线性系统的能控性和线性系统的能控性和能观性能观性本章简介(1/1)本本 章章 简简 介介q 本章讨论线性系统的结构性分析问题。 主要介绍 动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质-状态能控性和能观性,以及 这两个性质在状态空间模型的结构分解和线性变换中的应用, 并引入能控规范形和能观规范形, 以及实现问题与最小实现的概念。 本章最后介绍基于Matlab的控制系统的结构性分析问题的程序设计与计算。目录目录(1/1)(1/1)目目 录录q 概述概述q 4.1 线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性q 4.2 线性连续系统的能观性线性连续系统的能观性q 4.3 线性定常离散系

2、统的能控性和能观性线性定常离散系统的能控性和能观性q 4.4 对偶性原理对偶性原理q 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消线性系统的结构性分解和零极点相消q 4.6 能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形q 4.7 实现问题实现问题q 4.8 Matlab问题问题q 本章小结本章小结概述概述(1/5)(1/5)概概 述述q 本章讨论线性定常系统的定性分析-结构性问题和系统综合问题,主要内容有: 结构性问题-能控性、能观性、对偶原理 结构分解 能控规范形和能观规范形 系统实现 系统综合问题-状态反馈和状态观测器重点问题喔!难点喔!重点喔!Control?Feedback?概述概述(2/

3、5)(2/5)q 动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。 卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性能控性和能观性能观性。其后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控制与综合等基本性问题,对于控制控制和状态估计状态估计问题问题的研究,有着极其重要的意义。 系统能控性系统能控性指的是控制作用u对被控系统的状态x和输出y进行控制的可能性。 状 态 n维维x(t) r维维u(t) m维维y(t) 能控? 能控? 概述概述(3/5)(3/5) 能观性能观性反映由能直接测量的输入u、输出y的量测值来确定反映系统内部动态特性的状态x的可能性。 状 态 x(t) u(

4、t) y(t) 能观测? q为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?概述概述(4/5)(4/5)q 这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题,它的输入u输出y间的动态关系可以唯一地由唯一地由传递函数 G所确定。 因此,给定输入u,则一定会存在唯一的输出y与之对应。 反之,对期望输出信号y,总可找到相应的输入信号u(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能否控制的问题。 此外,输出y一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。 否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标。 因此,在这里不存在输出y能否测量(观测)的问题。 所以,无论是从理论还是实践,经典

5、控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题。概述概述(5/5)(5/5)q 现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的状态进行分析、优化和控制。 状态变量向量x的维数n一般比输入向量u的维数r高,这里存在多维状态 x 能否由少维输入u 控制的问题。 此外,状态变量x是表征系统动态变化的一组内部变量,有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测量或观测的输入u、输出y的信息来构造系统状态x的问题。线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性(1/2)(1/2)4.1 4.1 线性线性连续连续系统的系统的能控性能控性q 本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和输出能控性问

6、题。 关键问题:1. 基本概念: 状态能控性和输出能控性2. 基本方法: 状态能控性和输出能控性的判别方法3. 状态能控性的物理意义和在状态空间中的几何意义重点喔重点喔!要理解喔!线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性(2/2)(2/2)q 本节首先首先从物理直观性来讨论状态能控的基本含义, 然后然后再引出状态能控性的定义。 下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能控性严格定义的确切含义是有益的。q 本节讲授顺序为: 能控性的直观讨论能控性的直观讨论 状态能控性的定义状态能控性的定义 线性定常连续系统的状态能控性判别线性定常连续系统的状态能控性判别 线性定常连续系统的输出能控性线性定常

7、连续系统的输出能控性 线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性能控性的直观讨论能控性的直观讨论(1(1/12)/12)4.1.1 能控性的直观讨论q 状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项) u(t)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那么称系统是能控的, 或者更确切地说,是状态能控的。 否则,就称系统为不完全能控的。q 下面通过实例来说明能控性的意义 。 状 态 n维维x(t) r维维u(t) m维维y(t) 能控? 能控? 该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器

8、两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。 试分析电源电压u(t)对两个状态变量x1(t)和x2(t)的控制能力。能控性的直观讨论能控性的直观讨论(2(2/12)/12)q例 某电桥系统的模型如图4-1所示 。 u R + + + C1 C2 x1 x2 - R R R 图图4-1 电桥系统电桥系统 能控性的直观讨论能控性的直观讨论( (3/12)3/12)q 由电路理论知识可知, 若图4-1所示的电桥系统是电桥系统是平衡的平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4=R),电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的,即状态变量x2(t)是不能控的,则系统是不完全能控的。 u R + +

9、+ - - C1 C2 x1 x2 - R R R 若图4-1所示的电桥系统是电桥系统是不平衡的不平衡的, 两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。能控性的直观讨论能控性的直观讨论( (4/12)4/12)q 由状态空间模型来看(若图4-1所示的电桥电桥系统是系统是平衡的平衡的,即即Z1=Z2=Z3=Z4=R,) 当选择两电容器两端电压为状态变量x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程:2221111111xRCxuRCxRCx u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容

10、C2的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。 因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。 具有这种特性的系统称为状态不能控的。能控性的直观讨论能控性的直观讨论( (5/12)5/12) 1 Q1 0 h1 h2 Q2 Q0 Q0 2 q例 某并联双水槽系统如图4-2所示,其截面积均为A,它们通过阀门0均匀地输入等量液体,即其流量Q0相同。图图4-2并联双水槽系统并联双水槽系统 能控性的直观讨论能控性的直观讨论( (6/12)6/12) 1 Q1 0 h1 h2 Q2 Q0 Q0 2 当阀门1和2的开度不变时,设它们在平衡工作点邻域阀门阻力相等并可视为常

11、数,记为R。 图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分别为流量。q 该双水槽系统的状态能控性可分析如下: 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量Q0的变化量 Q0所引起的水槽水位的变化。能控性的直观讨论能控性的直观讨论( (7/12)7/12)2222211111ddddQRhQQthAQRhQQthAOO 由各水槽中所盛水量的平衡关系和流量与压力(水面高度)的关系,有 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 其中代表平衡工作点附近的变化量。能控性的直观讨论能控性的直观讨论( (8/12)8/12) 选上述方程

12、中变化量h1和h2为状态变量x1、x2,将状态变量带入方程中并消去中间变量Q1和Q2消去,则有ooQAxARxQAxARx11112211 解上述状态方程,可得d)(-exp1)0(-exp)(d)(-exp1)0(-exp)(022011ototQARtAxARttxQARtAxARttx 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 能控性的直观讨论能控性的直观讨论( (9/12)9/12) 由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能使两水

13、槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。q 上面用实际系统初步说明了能控性的基本含义,能控性在系统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。d)(-exp1)0(-exp)(d)(-exp1)0(-exp)(022011ototQARtAxARttxQARtAxARttx 1 Q1 O h1 h2 Q2 QO QO 2 能控性的直观讨论能控性的直观讨论( (10/12)10/12)uxxxxx212112q 补充例1 给定系统的状态空间模型与结构图分别为q 本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无关, 即输入u(t

14、)不能控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限时间内衰减到零。 因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。1/s-1-2 2x1x1/syu能控性的直观讨论能控性的直观讨论( (11/12)11/12)uxxxuxxx21221122p 由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制, 可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。 对该状态方程求解后可得x1(t)-x2(t)=e-3tx1(0)-x2(0)即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数值。q 补充例2 给定系统的状态空间模型为能控性的直观讨论能控性的直观讨论

15、(1(12/12)2/12) 因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态方程解所规定的状态空间中的曲线上。 所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系统并不能控。q 前面4个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能控性,但对维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。 下面将通过给出状态能控性的严格定义,来导出判定系统能控性的充要条件。状态能控性的定义状态能控性的定义(1/5)(1/5)4.1.2 状态能控性状态能控性的的定义定义q 由状态方程x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)及其第3章的状态方程求解公

16、式可知, 状态的变化主要取决于系统的初始状态x0和初始时刻之后的输入 u(t),与输出y(t)无关。 因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。q 对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义。00( )( )()( )dttttB xxu000( )( , ) ( )( , ) ( ) ( )dtttt tttB xxu状态能控性的定义状态能控性的定义(2/5)(2/5)能控性定义能控性定义q 定义定义4-1 若线性连续系统x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 对初始时刻t0(t

17、0T,T为时间定义域)和初始状态x(t0), 存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T), 可以找到一个控制量u(t), 能在有限时间t0,t1内把系统状 x2 x1 0 x(t0) x(t0) x(t0) 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,则称t0时刻的状态x(t0)能控; 若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统在t0时刻状态完全能控;状态能控性的定义状态能控性的定义(3/5)(3/5)能控性定义能控性定义 若系统在所有时刻(t0t1)状态完全能控,则称系统状态完全能控,简称为系统能控。 即,若逻辑关系式t0T x(t0) t1T(t1t0) u(t)(tt0,t

18、1) (x(t1)=0)为真,则称系统状态完全能控。 若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系统是状态不完全能控的,简称系统为状态不能控。 即,若逻辑关系式t0T x(t0) t1T u(t) (t1t0)(tt0,t1)(x(t1)0)为真,则称系统状态不完全能控。 状态能控性的定义状态能控性的定义(4/5)(4/5)q 对上述状态能控性的定义有如下讨论:1. 控制时间t0,t1是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间。 对时变系统,控制时间的长短,即t1-t0的值,与初始时刻t0有关。 对于定常系统,该控制时间与t0无关。所以,对于对于线性定常线性定常系统系统状态能控性,可不必在

19、定义中强调“在所有时刻在所有时刻状态完全能控状态完全能控”,而为“某一时刻某一时刻状态完全状态完全能控能控, 则系统状态完全能控则系统状态完全能控”。 即,若逻辑关系式t0T x(t0) t1T(t1t0) u(t) (tt0,t1) (x(t1)=0)为真,则称线性定常连续系统(A,B)状态完全能控。状态能控性的定义状态能控性的定义(5/5)(5/5)2. 在上述定义中,对输入u(t)没有加任何约束,只要能使状态方程的解存在即可。 如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t的分段连续函数,则状态方程存在唯一解。 u(t)为分段连续的条件,在工程上是很容易满足的。3. 在状态能

20、控性定义中,对输入u(t)和状态x(t)所处的空间都没有加任何约束条件。 在实际工程系统中,输入变量空间和状态空间都不为无限制条件的线性空间,因此上述能控性的定义对工程实际系统还需作具体的分析。线性定常连续系统的状态能控性判据线性定常连续系统的状态能控性判据(1(1/1)/1)4.1.3 线性线性定常定常连续系统的连续系统的状态能控性状态能控性判别判别q 线性定常连续系统状态能控性判据有许多不同形式,下面分别讨论常用的 代数判据代数判据和 模态判据模态判据。代数判据(1/18)代数判据定理1. 代数判据代数判据q 定理4-1(线性定常连续系统能控性秩判据) 线性定常连续系统(A,B)状态完全能

21、控的 充要条件为下述条件之一成立:1. 矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立,即不存在非零常数向量f Rn,使得f e-AtB 02. 如下定义的能控性矩阵Qc=B AB An-1B 满秩,即rankQc=rankB AB An-1B=n tt)t (A)tt (A)(B)t ()t (00duexex0 证明如下: 对于线性定常系统,由能控性定义可知,其状态能控性与初始时刻无关。 因此,不失一般性,可设初始时刻t0为0。 根据第3章中状态方程解的表达式,有代数判据(2/18)代数判据定理证明q 证明 在证明能控性判据之前,下面首先证明线性定常系统状态完全能控等价于下述方程对任意的初始状态x(

22、0)有控制输入u(t)的解。10d)()0(tABuex1110)(1d)()0()(ttAAtBtuexexttAAtBt0)(0d)(ee)(uxx代数判据(3/18)代数判据定理证明 由能控性的定义有,若能控,则应存在t1(t10)和分段连续的u(t),使得x(t1)=0,即1110)(d)()0(0ttAAtBuexe即10(0)( )dtABxeu 因此,线性定常系统状态能控的充必条件为:v上述方程对任意的x(0)有输入u(t)的解。q 下面将利用该方程分别证明判别状态能控性的上述两个充要条件。代数判据(4/18)状态不能控能控子空间为状态空间的维数小于n的线性子线性子空间空间存在状

23、态空间中的非零向量垂直于能控子空间e-AtB的各行函数线性相关与假设矛盾,充分性得证(1) 先证明条件先证明条件1。 先证充分性先证充分性(条件条件结论结论)。 即证明,若若e-AtB的各行函数线性独立的各行函数线性独立,则系统状态能控。则系统状态能控。 用反证法证明。 设状态不能控设状态不能控,但但e-AtB的各行函数线性独立的各行函数线性独立。 充分性反证法的思路为:代数判据(5/18)证明过程证明过程: 状态不能控,则意味状态能控子空间(可证明为线性空间)rtActtBRR)(, 0,d)()()(101uue0 x0 x比状态空间Rn小,属于Rn空间的一个子空间,其维数小于n。 对维数

24、小于n的能控子空间Rc,一定存在一个n维的非零向量fRn,且在n维线性空间中与Rc垂直(或称正交),即fx(0)=0 x(0) Rc因此,由Rc的定义,可得rtAttBRf)(, 00d)(101uue代数判据(6/18) 上式对于任意时间t1和任意r维空间中的输入向量u(t)都恒成立,则有fe-AtB0 t0 对非零向量f,上式恒成立则意味着e-AtB的各行函数线性相关。 这与前面的假设产生矛盾,故原假定状态不能控,但e-AtB的各行函数线性独立是不成立的。因此,充分性得证。 再证必要性再证必要性(结论结论条件条件)。 即证明,若系统状态能控若系统状态能控,则则e-AtB的各行函数线性独立。

25、的各行函数线性独立。 用反证法证明。 设设e-AtB的各行函数线性相关的各行函数线性相关,但状态能控。但状态能控。 必要性反证法的思路为:代数判据(7/18)e-AtB的各行函数线性相关存在非零常数向量与e-AtB垂直,即与能控子空间垂直能控空间的维数小于n状态不完全能控与假设矛盾,必要性得证代数判据(8/18)rtAttBRf)(, 00d)(101uue证明过程证明过程: e-AtB的各行函数线性相关,即存在非零向量fRn,使得fe-AtB0 t0因此有代数判据(9/18) 由于系统是状态完全能控的,即能控状态充满整个Rn。因此对非零向量f,一定存在非零的能控状态x(0),使得-fx(0)

26、0而对能控的x(0),又一定存在适当的t1和u(t),使得下式成立:10d)()0(tABuex因此有rtAttBRf)(, 00d)(101uue 上式和式(4-6)矛盾,故原假定e-AtB的各行函数线性相关,但状态能控不成立。因此,必要性得证。q 综上所述,即证明了条件1。110( )d00,( )(4-6)tArBttfeuuR代数判据(10/18)(2) 再证明条件再证明条件2 下面通过证明 e-AtB的各行函数线性相关等价于能控性矩阵的各行函数线性相关等价于能控性矩阵Qc非满非满秩秩,即rankQc=rankB AB An-1Bt0,t1T),可以找到一个输入控制向量u(t), 能在

27、有限时间t0,t1内把系统从初始输出y(t0)控制到原点,即y(t1)=0,则称系统输出完全能控,简称为系统输出能控。 即,若数学逻辑关系式y(t0) t1T u(t) (t1t0)(tt0,t1)(y(t1)=0) 为真,则称系统输出完全能控。线性定常连续系统的输出能控性线性定常连续系统的输出能控性(3/5)(3/5)输出能控性定理输出能控性定理 若系统存在某个初始输出值y(t0)不满足上述条件,则称此系统是输出不完全能控的,简称为输出不能控。q 定理4-4 线性定常连续系统(A,B,C,D)输出完全能控的充要条件为输出能控性矩阵CB CAB CAn-1B D 满秩,即rank CB CAB

28、 CAn-1B D=m其中m为输出变量向量y的维数。 q 定理4-4的证明可仿照定理4-1给出。线性定常连续系统的输出能控性线性定常连续系统的输出能控性(4/5)(4/5)例例4-74-7q 例例4-7 试判断如下系统的输出能控性uxyuxx0 11 110000q 解 由输出能控性的代数判据有rankCB CAB D=rank2 0 0=1=m故系统输出完全能控。 q 对例4-7中的系统,因为210101rankrankABB故系统是状态不完全能控的。线性定常连续系统的输出能控性线性定常连续系统的输出能控性(5/5)(5/5)q 因此,由例4-7可知,输出能控性与状态能控性是不等价的两个不同

29、概念,它们之间亦没有必然的联系。线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性(1(1/13)/13)4.1.5 线性线性时变时变连续系统的连续系统的状态能控性状态能控性q 以上讨论的状态能控性判据是针对线性定常连续系统而言的,对时变系统不成立。 下面给出线性时变连续系统状态能控性的充分必要判据。q 定理定理4-5(格拉姆矩阵判据) 线性时变连续系统(A(t),B(t)在初始时刻t0上状态完全能控的充分必要条件为: 存在t1(t1t0),使得如下能控能控格拉姆格拉姆(Gram)矩阵矩阵为非奇异的100100( , )( , ) ( )( )( , )dtctW t tt t B t

30、B tt tt线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性( (2/13)2/13)q 证明证明 1) 充分性证明。 即证明，若存在t1(t1t0),使得能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是非奇异的, 则系统是状态完全能控的。 若能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是非奇异的,这样对任意的初始状态x(t0)=x0,总可以定义如下输入向量u(t)10010( )( )( , )( , )ctBtt t Wt t ux则经过有限时间t0,t1后,可使系统状态线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性( (3/13)3/13)q 上式表明,如果能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是非

31、奇异的,那么在有限时间区间t0,t1内,任何一个初始状态x0都可以找到控制规律在有限时间内转移到状态空间的原点。 于是系统的状态能控性得以证明。0),(),(),(),(),(d),()()(),(),(),(d),(),()()(),(),(d)()(),(),()(010110010010101000100101010100110011101010 xxxxxxuxxttWttWttttttWttttBtBtttttttttWtttBtBtttttttBtttttcccttttctt线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性( (4/13)4/13)q 2) 必要性证明。 即

32、证明,若系统是状态完全能控的,则存在t1(t1t0),使得能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是非奇异的。 现采用反证法证明。 假设对任意的t1(t1t0),能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是奇异的,但系统是状态完全能控的。 对任意的t1,能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是奇异的,则必定存在某个非零的向量x0Rn,使得00101( , )0cW t ttxx线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性( (5/13)5/13) 由此可导出 由于B(t)(t0,t)x(t0)是t的有限分段连续向量函数,所以上式成立必导致10100010000000001( , )( , ) ( )( )

33、( , )d( )( , )( )( , )d0tctttW t tt t B t B tt tB tt tB tt tt xxxxxx11000,0),()(tttttttBx线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性( (6/13)6/13)然而已假定系统是状态完全能控的,即对任意初始状态x(t0)Rn,都存在有限时间t1和输入向量u(t),使得或即上述方程对u(t)有解。 因此,状态方程对初始状态x(t0)=x0一样存在输入u(t)的解,即存在u(t)满足10100110( , ) ( )( , ) ( ) ( )d,( )tntt ttt t B ttttt xuuR10

34、001( )( , ) ( ) ( )d,( )tnttt t B ttttt xuuRntttttttBttRuux)(,d)()(),(10010线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性( (7/13)7/13) 将上式两边左乘以 ,代入式(4-14),可得 由于x0为非零向量,故上式矛盾,即方程(4-15)不存在u(t)的解。 因此原假定对任意t1(t1t0),能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)是奇异的,但系统是状态完全能控的,显然不成立。 故系统是状态完全能控的,则一定存在t1(t1t0),使得能控格拉姆矩阵Wc(t0,t1)必是非奇异的。 于是必要性得以明证。 nttt

35、ttttBttRuux)(,d)()(),(100101000001( , ) ( ) ( )d0,( )tntt t B ttttt x xxuuR0 x线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性( (8/13)8/13)q 在应用由定理4-5给出的线性时变连续系统的状态能控的判据时,需先求出时变的系统矩阵A(t)的状态转移矩阵(t,t0),然后再求能控格拉姆矩阵Wc(t1,t0),计算量较大。 而且状态转移矩阵(t,t0)的计算,对一般的时变矩阵A(t)还无法得到以有限项表示的解析解。 因此,利用定理4-5判定线性时变系统的状态能控性有一定困难。 下面给出一个较为实用的较为实用的时变系统状态能控性判据,该判据只需利用矩阵A(t)和B(t)的信息即可。100100( , )( , ) ( )( )( , )dtctW t tt t B t B tt tt为非奇异的线性时变连续系统的状态能控性线性时变连续系统的状态能控性( (9/13)9/13)q 定理定理4-6(秩判据