教育学数学学习的心理基础与过程

1、1会计学教育学数学学习的心理基础与过程教育学数学学习的心理基础与过程、外延的扩张性、表征的多样性概念性、过程、模型的现实性数概念的特点4321、模型的现实性1概念性、过程2图形中整体的一部分子集集合关系除法中等分除的商小数数轴上的一点比 作为数学概念的分数，由于表征形式的不同，而产生了多种意义，包括： 莱什等人进一步从有理数的子结构的角度深入讨论了分数的意义，除了上述六种意义外，他们还讨论了分数作为“算子”的意义，把分数看做是一个变换，给出了各种意义之间的关系（下页）由图可见：1.拆分和部分整体的子结构是其他子结构的基础2.子结构中的比是促成掌握等价概念的中介3.算子和度量子结构在加法和乘法理

2、解中具有重要的意义由于分数具有多重的意义，而且这些意义之间具有一定的层次性，因此，儿童分数的形成不是一个简单的过程拆分和部分整数比算子商度量等价乘法解决问题加法分数意义关系网皮亚杰对3-8岁儿童的分数概念发展过程：1. 4岁4岁半儿童对于将一个物品分为两半非常困难，在分割之前没有预想的计划或图示2.4岁6岁儿童对于规则的、小范围的东西有分为两半的能力，如果整体增加，分成一半迟缓3.6岁7岁能过成功的实施三等分，不必利用试误的方法4.10岁左右儿童能实施六等分，首先是以三等分法分一个饼，然后三块饼进行二等分赫伯特和特尼森研究58岁分数概念发展情形改成长度模式为伯特尔和萨瓦达发现，儿童处理等分长方

3、形或圆形区域，其分数概念的发展顺序为61513141216151413121151915131814121、3221、6231小数和分数异同的比较小数知识（真）分数知识类似（）不同（）A.小数的值1.在0和1之间表达一个值2.整数被分成很多较小的等分3.在0和1之间有无限个小数存在B小数符号1.一个单位被分成几个的数隐含在数字的位置中2.有多少等份表示在小数的量中3.整数仅可被分成10的幂次方A.分数的值1.在0和1之间表达一个值2.整数被分成很多较小的等分3.在0和1之间有无限个小数存在B分数符号1.一个单位被等分成由分母明确界定的2.有多少等份表示在分数的分子中3.整数可被分成任一个等份的

4、数（）（）（）（ ）（ ）（ ）小数和整数知识的比较小数知识整数知识类似（）不同（）A.数值1.数字从5到右时，值会变小2.左边数字是右边相同数字的10倍3.“0”有位值的意义4.一个数的右边增加“0”时，其值不变5.从小数点开始往右其值递减B数位1.小数点以后名称按数字次序读出2.小数部分从十分位开始3.位名顺序是从左到右4.读数字的顺序是十分位，百分位，千分位，-C读法小数点左边整数部分按照整数读法，右边的数字依数字次序读出A.数值1.数字从5到右时，值会变小2.左边数字是右边相同数字的10倍3.“0”有位值的意义4.一个数的左边增加“0”时，其值不变5.从小数点开始往左其值递减B数位1.

5、没有小数点以后的数字2. 从个分位开始3.位名顺序是从右到左4.读数字的顺序是千分位，百分位，十分位，-C读法依整数十进制结构读出（）（）（）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）从整数的位值概念来看小数概念的形成u位值彼此之间关系以10为基底的指数形式表示出位名 -千位 百位 十位 个位位值 -数字 - u为了使个位也能无限制地向右延伸过去，可将指数范围扩大至负整数;利用往左扩展一位是乘以10的结果，因此往右扩展一位除以10的结果，有了新符号（小数符号）及新位名的产生： 指数 小数 新位名 =0.1 十分位 =0.2 百分位 -310210110010a3a1a2a01-102 -101989

6、年的数学课程与评价标准1.能了解数的基本意义2.能探索数字之间的多重关系3.能了解数字的相对大小关系4.能了解运算对数字的影响5.能发展参考物参考物来测量一般的物体2000年的数学课程与评价标准1.能了解数字及其表征的方法、数字之间的关系和数字系统2.了解运算的意义以及运算之间的关联性3。流利的计算并做合理的估计汤普森和瑞特梅尔（数意识分成四种成分）1.能了解数字的意义与关系2.能了解数字的相对大小3能了解运算对数字的影响4.能了解如何使用参考点于日常生活情景麦克英特（数意识包涵的六种能力）1.了解数字的意义与大小的能力2.了解并使用等值形式及表征数字能力3.了解运算的意义和影响的能力4.了解

7、并善用等值形式解题的能力5.发展计算和数数策略的能力6.运用参考点的能力肖德恩数意识包含九种成分1.数字的分解与组合2.辨认数字相对大小的能力3.处理数字绝对大小的能力4.使用参考点的能力5.以有意义的方式连接数字、运算及相关符号的能力6.了解运算对数字的影响7.以创新的方式进行心算，使运算更为方便的能力8.发展估算的能力，并指导何时估算是适当的9.使数字意义化的能力斯塔奇和格尔曼学前儿童也能理解将元素并入或移出集合的效应有关加减运算问题的基础知识是所谓的部总知识1.部分和总体之间的运算关系知识2.加法交换律知识3.加法和减法互补关系知识格里尔的教学主张1.算术运算教学应该关联到广泛情景2.重

8、视儿童非形式的求解方法菲斯宾等人的研究主张每一个算术基本运算，一般都结合着一个隐藏的潜意识的、原始的直观模式。当解一个含有两项数值资料的应用问题时，对运算的选择并非直接发生，通过一个中介模式发生，且这个模式会对选择过程加以一些限制u乘除法的研究u小数与分数的运算塔特苏特分数加法错误类型1.带分数转换假分数的错误2.整数转换为等值分数的错误3.通分时转换等值分数的错误4.求公分母的错误5.加法程序的错误6.不会化简或约分派特尔1.分子加分子，分母加分母2.求出公分母后放在分母。而分子为原分子相加3.分母相乘，分子相加4.分母相乘，分子相乘估算技能的形成u强调估算技能的原因 与数学应用有关、源于对

9、数意识的重视u一个好的估算着至少应有的素质l重组：改变数字数据以方便心算l转换：把原有的结构转成更易处理的形式l调节：计算中及后，可调节估算值至接近的近似值u估算技能与心算技能密切相关，重视心算技能培养的原因 1.心算是大多数人运用的主要的计算方式 2.在大多数情况下，心算是最简单易行的 3.做心算有利于对数的特性的理解 4.心算过程本身就是一种创造性的问题解决活动算法思想的初步形成u算法的一般要求可以归纳为： 算法的可行性、确定性、有穷性、有效性、普遍性 在小学阶段学在小学阶段学习算法的思想习算法的思想1.在世界范围内，算法都是小学数学课程的传统内容2.算法可以有效的解决一类问题3算法是一种

10、经过压缩的、一般化的解题课程4算法是自动化的5.算法是目标指向的6.算法可以为计算过程提供书面的记录7.算法是可教的8.对于教师来说，算法易于处理与评价算法程序过早教学有一些不利因素l算法程序常常与人们的习惯思维不一致l算法的运算会诱使学生放弃他们自己的想法l算法不利于数意识的形成l算法使学生习惯于依赖数字的空间排列l算法会使学生盲目接受运算的结果l在实际生活中，书面算法很少使用9.3算术中的问题解决u在探讨小学生解决算术问题方面三种研究方法： 个别交谈、反应潜伏期、用手指和客观直接模仿，或直接回忆加法表算术问题的基本类型及其解题策略 1.加减法应用题的基本类型 2.乘除法应用题的基本类型 乘

11、：大小改变、交叉运算、比例因子 除：求同单位量之间的比率、求异单位量之间的比率、除数为异单位量之间比率的除法、除数为大小改变因子的乘法、求反因子 四则运算的统一分类：如马绍尔将算术文字题分为五个类型：改变、重组、比较、重复、变化算术问题的难度分析影响算术问题难度的主要因素： 1、未知数的位置 ：在“改变”类型中，不管是添加型或拿走行，未知数所在的位置越在前面，难度越高。是由于语意结构与儿童解题的策略产生冲突 2、语言的表述：解题的难度受题目中的叙述语的不一致性的影响 3、数字的形式：对于乘法应用题来说，问题类型对学生的影响不大，数字形式才是关键 4、问题的结构 ：学生在解决除法问题时往往会形成

12、“等分模式”的思维定势 5、 单位的变化 6、问题的表征9.4数与运算的教学数与运算教学的认知分析u认知层次基伦分数概念学习5个连续层面1.把分数作为整体的一部分2.对一个事先分成若干的整体，通过数其中一部分的份数而得到分数3.把整体平均分成若干，对整体的份数和部分的份数分别进行计算4.通过数“份数”对两个同分母分数求和5.根据分数加法原理，对两个异分母分数求和哈特从位值研究小数6个认知层面1.千位数以内的位值概念2.一位小数3.二三位小数4.与左边的位值关系5.更复杂的位值关系6.从除的结果发展到小数之间的小数有无限多个德恩特蒙特小数学习的五个层面1.具体物的层次2.操作说明的层次3.程序的

13、层次4.心智模式层次5抽象的层次u难点解析u小学的教学与有理数概念有关 多数发展都产生于重要的认知改组的初期 重要的质变发生在那些用来描述这些结构并使其模型化的表征系统中 表征系统的作用是迥异不同的 有理数概念包含了一大套整合了得子结构和加工过程u有理数概念的教学难点主要集中在小数和分数上 计数系统知识、运算规则知识、数量表示的知识u整数的减法和带余除法的困难（例哈特等人的研究） 学生在标小数点上有难度例2.3*10=2.30 学生容易产生“乘法使结果变大”“除法使结果变小”的 想法 学生缺少小数的稠密性概念 缺乏位值概念，比较大小有困难概念误解u数与运算部分中分数概念的误解大体以下三方面：

14、单位量问题、等分观念的错差、受整数图示的影响u小数概念方面小数运算过程中三个关键点： 如何将运用问题或横式问题改为竖式计算 计算数值的答案 决定小数点的位值u乘除法的学习中学生容易产生的各种错误： 1以为要使结果变小就用除法2相信乘数越大、积就越大 3.习惯用大数除以小数 4.等分除与包含除混淆 5.会以表面线索来解题 6.不考虑包含除的余数 7.以为除法就是等分除 8.“几个几”与“几的倍数”混淆有关数与运算教学的几点建议u数与运算的教学几点建议 提倡算法的多样化 既注重句法规则，又关注语义分析 要合理的使用教学模型 要关注表象操作层面图形中整体的一部分子集集合关系除法中等分除的商小数数轴上的一点比 作为数学概念的分数