2021年高三数学第一轮复习教案(新人教A)空间角

1、9.8 空间角巩固夯实基础一、自主梳理1 .过空间任一点。分别作异面直线 a与b的平行线a与b,那么直线a与b所成的 不大于90的角，叫做异面直线a与b所成的角.2 .平面的斜线与它在平面上的射影所成的角叫做这条斜线与平面所成的角3 .过二面角a -l- 3棱上任一点。作垂直于棱l的平面，与面a、3的交线分别为OA、OB,那么/ AOB叫做二面角a -l-3的平面角.4 .求线面角和二面角可以转化为平面角去求解，也可以转化为空间两个向量的夹角去求解.(1)异面直线所成角的向量公式两异面直线a、b的方向向量分别为 m和n.当m与n的夹角不大于90时，异面直线a、b 所成的角。与 m和n的夹角相等

2、；当m与n的夹角大于90时，直线a、b所成的角。与 m和 n的夹角互补.所以直线 a、b所成的角。=arccos 1n，m | , 0 C (0, ).|n|m|2(2)直线与平面所成角的向量公式直线a的方向向量和平面”的法向量分别为 m和n,若m与n的夹角不大于90时，直线a 与平面”所成的角等于 m与n的夹角的余角；若m与n的夹角大于90 时，直线a与平面a所 成的角等于 m与n的夹角的补角的余角，所以直线 a的方向向量和平面”所成的角。| n ?m |=-arccos2|n|m|或。=arcsin| n ?m |n|m|0 ： 0,.(3)平面与平面所成角的向量公式平面a与平面3的法向量

3、分别为m和n,则二面角与m、n的夹角0相等或互补八 | n?m| 0 =arccos .|n|m|当二面角 a -l- 3 大于 90 时，二面角 0 = % -arccos | n ?m | ., |n|m当二面角 a -l-3 小于 90 时,二面角 0 =arccos | n ? m | .|n|m|除利用上面公式计算面面角外，还可以直接在两个平面内分别作垂直于两平面交线的向量m、n,通过计算向量 m、n的夹角来计算两平面的夹角.注意向量m、n的夹角与两平面的夹角的关系.二、点击双基1 .如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长的3倍，那么这条斜线与平面所成角的余弦值为()2 3B.3

4、C_2 C.2解析：由直线与平面所成角的定义易知，选A.答案:A2 .平面”的斜线与a所成的角为 30。，则此斜线和a内所有不过斜足的直线所成的角的最大值为()A.30B.60C.90D.150解析:本题易误选D,因斜线和a内所有不过斜足的直线为异面直线，故最大角为90。.答案:Ci0i B.- 20iC.20.i0 D. i03 .在如图所示的正方体 AiBiCiDi ABCD中,E是CiDi的中点，则异面直线 DE与AC所成角的 余弦值为()解法一：供9(B)选用建立空间直角坐标系如图.不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,i,2).所以 AC =(-2,2

5、,0), DE =(0,i,2),AC?DEcos AC, DE= 一 一 |AC|DE|_2J02 .2?、5 i0 .解法二：取AiDi中点 F,连结 EF、DF,则EF / AC.在 EFD中，由余弦定理可求得cos/DEF=010答案:D4 .在ABC中,M、N分别是 AB、AC的中点，PM,平面 ABC,当BC=18,PM=3 J3时,PN和平面ABC所成的角是 解析：:PM，平面ABC, / PNM为PN与平面ABC所成的角,tan/PNM= PM =3L3 =2MN 93 ./ PNM=30 .答案：305 .PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，它们之间每两条的夹角都为60

6、,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为.解:构造正四面体如图，取AB中点D,连结PD,则/ CPD为直线PC与平面PAB所成白角.过C作CO，PD于。，则O为正三角形 PAB的中心.设PC刊则Pon*,一上PO /3在 RtPOC 中，求得 cos/CPD=PC 33或由 cos60 =cos/CPD - cos30cos/ CPD= .3答案：一3诱思实例点拨【例1】如图，已知正方体ABCD AiBiCiDi的棱长为1.(1)求BiCi与平面ABiC所成角的正切值(2)求二面角B-BiD-Ci的平面角的大小.(1)解:设 ABiAiB=O,1. BC / BiCi, .BC与面ABiC所

7、成的角即为所求. . /ACB= ZBCBi,2 BC在面ABiC上的射影在 OC上,/BCO即BC与面ABiC所成的角，tan/BCO=-.(2)解法一 ：- BOABi,CiBiBO, .BOL平面 ABiCiD.作OEDBi于点E,连ZEB,则EBDBi,/BEO为所求二面角的平面角的补角，,.2.3.6. 2 - OE=B iOsin Z EBiO= - ,= ,BO= ,，tan/BEO=3,/BEO=60 . 所求二面角的平面角为i20 .解法二：取DiA、DiCi、DiD为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则B(i,i,i)、D(0,0,i)、 Ci(0,i,0)、Bi(i,i,0

8、),AB i、DiBi 的中点分别为 O。，11,1)、Oi(i,- ,0),2 2 22 2OCi DBi =(-i, 1,-1) .(i,i,-i)=o, OiB - DBi x1,1/) (i,i,-i)=o,2 22 2 -OCiDBi,OiBDBi.OCi?OiB1 cos 0 =|OCi|OiB| 2. 所求二面角的平面角为120 链接提示:首先要找到从二面角的一个.对于新教材而言，三垂线定理的，求得相应二面角.,SAW ABCD,SA=AB=BC高考重视二面角的考查 ，重点是三垂线法作二面角的平面角 面到另一面的一条垂线，再用三垂线定理作出二面角的平面角 意义主要在这里.也可通过

9、求二面角两个面的两个法向量的夹角【例2】在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,/ABC=90=2AD.求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值，若从定义法入手，必须再找一剖析:显然，本题中的二面角只有一个公共顶点，属“无棱二面角” 个公共点，容易发现BA、CD相交，可得交点E,则SE为二面角的棱 解法一：（定义法）如图，延长BA、CD交于E,连结SE,则SE为所求二面角的棱. AD / BC,BC=2AD, EA=AB=SA.ESB是直角三角形，且SESB.又 BC，AB,BC，SA, . BC,平面 SBE. SB是SC在面SBE上的射影.SEXSC./ BSC是所求二面角的平面角.在 R

10、t SAB 中，易得 SB= J2 AB.在 RtASBC 43,SC=SB2 BC2 = J3AB.SB .6 一 ，_ .6cos/ BSC=-=-，即面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值为 .解法二：（射影法）如上图, SAL面ABCD, .,.SAXBC. 又 AB，BC, BC，面 SAB,而 AD / BC, .AD，面 SAB.SDC在面SAB上的射影是 SAB.于是八 S SABcos。=S SDC.SA=AB=BC=2AD,.SB= .2 AB,SC= . 3 AB._. 5SD=DC= 一AB,易求得 SDC中SC边上的高为.SSDC=AB2sSAB=lAB2，cose

11、匹423故所求二面角的余弦值是解法三：（向量法）如图所示建立空间直角坐标系Axyz.设 AD=1,则 SA=AB=BC=2,于是 A(0,0,0),D(0,1,0),C(-220),S(0,0,2), AD =(0,1,0)为面 SAB的一个法向量，SD =(0,i,-2), SC=(-2,2,2).设n=(a,b,1)是面SDC的一个法向量，由n - SD =0和n - SC =0得b 2 0, 2a 2b 2 0.a=1,b=2.n=(1,2,1). cos n, AD n?AD _6 |n|AD| = T由图可知，所求二面角的余弦值为讲评:本题是一个没给出棱的二面角求解问题，分别采用三种方法求解.值得认真体会，优化解题思想方法.【例3】已知异面直线a、b所成的角为70。，则过空间任意一点 M可作多少条不同的直线与 a、 b所成的角都是55。.解:过M作a / a,b / b,分直线与a、b共面和异面两种情况讨论.(1)当所作直线与a、b共面时，只有平分110。角的直线l符合题意.(2)当所作直线l与a、b不在同一平面内时(如图)，在l上取一点P作POL”于O,由于 PM与a、b所成的角相等(55 ),因此,P在“上白射影 O在70角的平分线1i上. / PMA=55 ，/