一轮复习配套讲义：第2篇第5讲指数与指数函数

1、第5讲 指数与指数函数最新考纲1 . 了解指数函数模型的实际背景.1 一3的指数32 .理解有理数指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算.13 .理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会回底数为2,3,10,万,函数的图象.4 .体会指数函数是一类重要的函数模型.诊断基础知识由浅入深有基固本知识梳理1 .根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果xn=a,那么x叫做a的n次力根n>1且 n C N当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数,负 数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有两个,它们互 为相反数ina负数没有偶次方根(

2、2)两个重要公式a, n为奇数，n为偶数.n/On=<；a, a>0,|a|=La, a<0(n/a)n=a.2 .有理数指数幕(1)幕的有关概念零指数幕：a° = 1(aw0).负整数指数幕：ap = $(aw0, pCN*);m正分数指数吊： an=y1(a>0, m, n N ,且n>1)；负分数指数幕：a1n = man1* 口=(a>0, m, nCN ,且 n>1)；n ma0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕无意义.(2)有理数指数幕的性质aras= ar s(a> 0, r, sC Q)；(ar)s= ars(a&g

3、t;0, r, sC Q)；(ab)r = arbr(a>0, b>0, rCQ).3.指数函数的图象与性质xy二 aa>10<a< 1图象O 1 K 4K一二产-定义域R值域(0, 十°0)性质过定点(0,1)当 x>0 时，y> 1; x<0 时，0y1当 x>0 时，0<y< 1; x< 0 时，_y 1在(oo, +QQ )上是增函数在(OO, +OO )上是减函数辨析感悟1 .指数幕的应用辨析(1)(4/2)4=-2.(X) (2)(教材探究改编)(nOn) = a.(x)2.对指数函数的理解(3)函数

4、y=3 2x是指数函数.(X)(4)y=是R上的减函数 (X)*卜(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，一章三一；无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小.(X)(6)(2013金华调研改编)已知函数f(x)=4+ax1(a>0且aw 1)的图象包过定点 P,则点P的坐标是(1,5). (V)感悟提升1. 场”与“。厂 的区别 当n为奇数时，或当n为偶数且a>0时，胆=2,当n为偶数，且a<0时，n/an= a,而（n/a）n = a包成立.如中勺一2不成立，（2）中，（2）2 =年2中3 -2.2.两点注意 一是指数函数的单调性

5、是底数 a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0<a<1和a >1进行分类讨论，如（4）；二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大.如 （5）.学生用书第22页以倒求法举一反三突破高频考点指数幕的运算【例11计算:3卜8>9）0.5(0.008 )3Y0.02)2W 0.32)2 |£062 5°.25;1(2)若 x2 +1x 2=3,的值.解 （1）原式=149 221000 %127113噜,潟)4 714/2" 1”25*运 10

6、J17-? +2=911. x2+x 2+2=49,3322 x2 + x 2 = 47. x2 +x 2 =131遂2 十x23x2+x(2)由 x2 + x 2=3，得 x+ x +2 = 9,x+ x= 27 9=18, .原式=旌=2.47+3 5规律方法 进行指数幕运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幕，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序.需注意下列问题：对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幕的形式表示；（2）应用平方差、完全平方公式及 apa p= 1(aw 0)简化运算.2 1X X / 1 J_【训练1】化简：(户户) ( -3产行)+(*百叼=(A. 6aB,

7、 -a C. -9aD. 9d解析, a- 6 ) , ( - 3a 2 b 3 -r | a6 6 6 I = ( - 3cz6 6三 ( -a 6 ) = -9a,故选 C.答案C考点二 指数函数的图象及其应用【例2】(1)(2014关阴忖K拟)已知函数f(x)=2x 2,则函数y=|f(x)|的图象可能是().下列各式比较大小正确的是().A. 1.72.5>1.73 B. 0.6 1>0.62C. 0.8 0.1>1.250.2 D. 1.70.3<0.93.1向下平移把x轴下方解析(1)y=2x> y=2x 2 > y=|f(x).2个单位的部分翻

8、折上去(2)A中，二函数y=1.7x是增函数,2.5<3,1.72.5<1.73.B 中，= y= 0.6x是减函数，一1<2,0.6 1>0.62.C 中，(0.8)1=1.25,.问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. y= 1.25x 是增函数,0.1<0.2, . 1.2尸<1.250.2,即 0.8 0.1<1.250.2D 中,1.70.3>1,0.93.1<1,1.70.3>0.93.1.答案(1)B (2)B规律方法(1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数

9、的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解.一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.【训练2】已知实数a, b满足等式2 011a = 2 012b,下列五个关系式：0<b<a；a<b<0;0<a<b；b<a<0； a=b.其中不可能成立的关系式有().A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个解析 设2 011a=2 012b=t,如图所示，由函数图象，可得(1)若 t>1,则有 a>b>0; '(2)若 t=1,则有 a=b = 0； (3)若 0Vt<1,

10、则有 a< b<0.故可能成立，而不可能成立.答案B考点三指数函数的性质及其应用【例3】已知函数f(x)=211+ 2*3.(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求证:f(x)>0.x113审题路线由2x1*0可求f(x)的定义域？分别求g(x) = 2%+ 1与h(x) = x3的奇偶性？可利用g( x) =g(x)=0判断g(x)的奇偶性？利用"奇 ><奇=偶，奇乂偶=奇”判断f(x)的奇偶性？先证x>0时，f(x) >0?再证 x< 0 时，f(x)>0.解(1)由2x1*0可解得xw0, 定义域为

11、x|xw0.,11.3(2)令 g(x) = 2x31 + 2，h(x) = x.x111121则 h(x)为司函数，g( x)+g(x) = 2 x1 +2 + 2xZ7 + 2=二7+齐7 +1=0.；g(x)为奇函数,故f(x)为偶函数.v11 Q(3)证明 当 x>0 时，2x1>°，.71+2X3>0,即f(x)>0.又:”)是偶函数,当 x<0 时，f(x) = f( x)>0, f(x)在(一oo, 0)U(0, +oo)上恒大于零.f(x)>0.规律方法(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幕值的大小.(2)与指数函数有关的

12、指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般 函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可 .学生用书第23页+2x+b .【训练3】 已知定义域为R的函数f(x)=2x+： + a是奇函数.(1)求a, b的值;b= 1,所以-2x+1f(x)=*ra解关于t的不等式f(t22t) + f(2t21)<0.心一，I 、，I,一一1- 1 + b4,一解(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0) = 0,即不一=0,解得2+ a-1+1一，八一2+121又由 f(1)= -f(1)知771 =一.解得 a=2.4 十 a 1 t a-2x+111(

13、2)由(1)知 f(x)=2x+1 + 2 = 2+ 2xT1.由上式易知f(x)在(一8, +oo )上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数).又因为 f(x)是奇函数，所以不等式 f(t22t) + f(2t21)<0 等价于 f(t22t)< f(2t21) = f( 2t2+1) .因为 f(x)是减函数，由上式推得t2 2t> 2t2+1,即3t22t1>0,解不等式可得jt t>1或t<1 ：.I课堂小结I1 .判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较.2 .对和复合函数有关的问题，要弄清

14、复合函数由哪些基本初等函数复合而成.3 .画指数函数v= ax(a>0,且a*1)的图象，应抓住三个关键点：(1, a), (0,1), 1,4 .熟记指数函数v= 10x, v= 2x, y=10), v=在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函 数图象的位置与底数大小的关系.培养解题能力教你解题提升能力易错辨析2忽略讨论及验证致误【典例】(2012山东卷)若函数f(x)=ax(a>0, aw 1)在1,2上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x) = (14m)W在0, +00)上是增函数，则a =.解析若a>1,有a2 = 4, a 1 = m,止匕时a = 2,

15、m=2，止匕时g(x)= JX为减函数，不合题意.若0<a,1211<1,有a =4, a =m,故a=4，m=而，检验知符合题息.1答案4易错警示(1)误以为a> 1,未进行分类讨论从而求得错误答案.对条件“g(x)在0, +8)上是增函数”不会使用，求得结果后未进行检验得到两个答案.防范错施(1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a>1和0Va<1 两种情况讨论.(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数 的单调性是求解的基础.【自主体验】当xC2,2时，ax<2(a>

16、;0,且a*1),则实数a的范围是().A. (1,也)B.限 1)C.惧 1 IU (1,峋 D, (0,1)U(1,柩解析 xC 2,2时，ax<2(a>0,且 aw1),若a>1, y= ax是一个增函数，则有a2<2,可得a<V2,故有1<a<J2；若0<a<1, y=ax是一个减函数，则有a 2<2,可得a>米,故有乌<a<1.综上知a倍,1 ju (1,正).答案C阶插训练炼出高分对应学生用书P235课时题组训练基础巩固题组（建议用时：40分钟）、选择题1 .函数y= ax-（a>0, a* 1）的

17、图象可能是（）.a解析 当a>1时单调递增，且在y轴上的截距为时，故A, B不正确;当0<a<1时单调递减，且在y轴上的截距为11<0,故C不正确；D正确. a答案D2 . （2014陕西质检三）函数y= 2x 2一、是（）.A.奇函数，在区间（0, +8）上单调递增B.奇函数，在区间（0, +8）上单调递减C.偶函数，在区间一,0）上单调递增D .偶函数，在区间（ 8, 0）上单调递减解析 令f（x） = 2x2： 则f（ x）=2x 2x= f（x）,所以函数是奇函数，排除 C, D.又函数y= 2x, y =2一x都是R上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论

18、可知f（x） = 2x 2一x是R上的增函数.答案A3 . （2014 济南一模）若 a=30.6, b=log30.2, c=0.63,则（）.A . a>c>b B. a>b>cC. c>b>a D. b>c>a解析 30.6>1, log30.2<0,0< 0.63<1,所以 a>c> b,选 A.答案A4 .设 2a=5b=m,且 1+1= 2,则 m 等于（）.a bA.Vw B. 10 C. 20 D. 100解析 . 2a = 5b=m, .a=log2m, b=log5m,.+ =+；= log

19、m2+ logm5= logm10=2.a b log2m log5mg gm= 10.ab的取值范围为().答案A5,函数v= ax-b(a>0且a* 1)的图象经过第二、三、四象限，则A. (1, +°°) B. (0, +00)C. (0,1) D.无法确定解析函数经过第二、四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在负半轴上.而当x= 0 时,y= a°b 1 b,由题意得0< a< 1, 解得，J-b< 0,'0< a< 1b> 1,所以abe (0,1).答案C 二、填空题3 a6. (a>0)的

20、值是g 5/a4解析3ag 5/a417a行1a2a3，一一25 4 a 517a而.7. (2013盐城模拟)已知函数f(x) =a x(a>0,且aw1),且f( 2)>f(3),则a的取值范围是解析因为f(x)=a x=X,且f(2)>f( 3),所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以->1, aa解得0Va< 1.答案(0,1)8.函数 f(x)=ax(a>0,aw 1)在1,2中的最大值比最小值大|,则a的值为解析当0<a<1时,2 a1 ,、人，a-a =2, .2 = 2或2= 0(舍去).当 a>1 时，a2 a = 2,

21、3 a= 2或 a= 0(舍去).1 3综上所述,a = 2或；.答案2或2解答题x e a9.设f(x)=T+x是是定义在R上的函数. a e(1)f(x)可能是奇函数吗?若f(x)是偶函数，求a的值.解(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为 R,xe x，f(x)=f(x),即: + |x=一3+7i,整理得 ja+1 (ex+e x) = 0,即a+1=0,即a2+1 = 0,显然无解. a.f(x)不可能是奇函数.因为f(x)是偶函数，所以f(x) = f(x),即e+ a- +A,整理得(a_(ex_e x) = 0,a e a e1a.p''又二对任意x R都成立

22、，有a1=0,彳4a=Ma10.设a>0且awl,函数y=a2x+2ax1在1,1上的最大值是14,求a的化解 令 t=ax(a>0且 aw 1),则原函数化为y= (t+1)22(t>0).当 0<a< 1 时，x -1,1, t=axC la, J,此时f(t)在a, a 上为增函数.所以 f(t)max=f(尸(+ 1 j- 2= 14.所以。+ 1 2= 16,所以 a= 1 或 a=1.a53又因为a>0,所以a= 1.3当 a>1 时，x -1,1, t = axC g a1,此时f(t)在、，21是增函数.所以 f(t)max=f(a)

23、= (a+1)22=14,解彳# a= 3(a= - 5舍去).综上得a=:或3.3能力提升题组(建议用时：25分钟)、选择题1. (2014惠州质检)设f(x)=|3x1|, c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的是().A. 3c>3b B. 3b>3aC. 3c+3a>2 D. 3c+3a<2解析 作f(x)=|3x1的图象如图所示，由图可知，要使c< b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，则有c<0且a>0, .3c< 1<3a, ."(© = 13c, f(a)=3a1,广又 f(c)>f(a), . 1 3c>3a1,-7即3a+3c<2,故选D.1平)答案D(1-3ax+10a, x<7,2. (2014杭州质检