第三章非线性

1、第四节第四节 非线性关系的处理非线性关系的处理 非线性计量经济学模型在计量经济学模型中占非线性计量经济学模型在计量经济学模型中占据重要的位置据重要的位置 ；已经形成内容广泛的体系，；已经形成内容广泛的体系，包括变量非线性模型、参数非线性模型、随机包括变量非线性模型、参数非线性模型、随机误差项违背基本假设的非线性问题等；误差项违背基本假设的非线性问题等； 非线性模型理论与方法已经形成了一个与线性非线性模型理论与方法已经形成了一个与线性模型相对应的体系，包括从最小二乘原理出发模型相对应的体系，包括从最小二乘原理出发的一整套方法和从最大或然原理出发的一整套的一整套方法和从最大或然原理出发的一整套方法

2、。方法。 本节仅涉及最基础的、具有广泛应用价值的非本节仅涉及最基础的、具有广泛应用价值的非线性单方程模型的最小二乘估计。线性单方程模型的最小二乘估计。 迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。但在实迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，经济变量间际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家所熟悉的柯布的非线性关系比比皆是。如大家所熟悉的柯布-道格拉斯生道格拉斯生产函数产函数: 就是一例。就是一例。 在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数变换变为在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数变换变为线性关系处理，另

3、一些则不能。下面我们通过一些例子来线性关系处理，另一些则不能。下面我们通过一些例子来讨论这个问题。讨论这个问题。LAKQ 一、一、 线性模型的含义线性模型的含义 线性模型的基本形式是线性模型的基本形式是: 其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相乘的形其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相乘的形式。式。 线性模型的线性包含两重含义：线性模型的线性包含两重含义： （1）变量的线性）变量的线性 变量以其原型出现在模型之中，而不是以变量以其原型出现在模型之中，而不是以X2或或X之之 类的函数形式出现在模型中。类的函数形式出现在模型中。 （2）参数的线性）参数的线性 因变量因变量Y是各参数的线性

4、函数。是各参数的线性函数。.22110XXY 对于线性回归分析，只有第二种类型的线性才是重要对于线性回归分析，只有第二种类型的线性才是重要的，因为变量的非线性可通过适当的重新定义来解决。的，因为变量的非线性可通过适当的重新定义来解决。例如，对于例如，对于 此方程的变量和参数都是线性的。如果原方程的扰动此方程的变量和参数都是线性的。如果原方程的扰动项满足高斯项满足高斯马尔可夫定理条件，重写的方程的扰动项马尔可夫定理条件，重写的方程的扰动项也将满足。也将满足。.,.3322114332221143322211ZZZYXXZXZXZXXXXY该关系即可以重写为：只需定义二、线性化方法二、线性化方法1

5、.解释变量非线性解释变量非线性 现实经济现象中变量之间往往呈现非线性关系现实经济现象中变量之间往往呈现非线性关系 需求量与价格之间的关系需求量与价格之间的关系 成本与产量的关系成本与产量的关系 税收与税率的关系税收与税率的关系 基尼系数与经济发展水平的关系基尼系数与经济发展水平的关系 通过变量置换就可以化为线性模型通过变量置换就可以化为线性模型 参数的非线性是一个严重得多的问题，因为它不能仅凭参数的非线性是一个严重得多的问题，因为它不能仅凭重定义来处理。可是，如果模型的右端由一系列的重定义来处理。可是，如果模型的右端由一系列的X或或e eXX项相乘，并且扰动项也是乘积形式的，则该模型可通过项相

6、乘，并且扰动项也是乘积形式的，则该模型可通过两边取对数线性化。两边取对数线性化。例如，需求函数例如，需求函数 其中，其中，Y=对某商品的需求对某商品的需求 X=收入收入 P=相对价格指数相对价格指数 =扰动项扰动项可转换为：可转换为：PXY logloglogloglogPXY2.参数非线性参数非线性 用用X,Y,PX,Y,P的数据，我们可得到的数据，我们可得到logY,logXlogY,logX和和logP,logP,从从而可以用而可以用OLSOLS法估计上式。法估计上式。 logXlogX的系数是的系数是的估计值，经济含义是需求的收的估计值，经济含义是需求的收入弹性，入弹性，logPlog

7、P的系数将是的系数将是的估计值，即需求的价的估计值，即需求的价格弹性。格弹性。 注释注释 弹性（弹性（elasticity）：一变量变动）：一变量变动1%所引起的另一变量变动所引起的另一变量变动的百分比：的百分比： 需求的收入弹性需求的收入弹性：收入变化：收入变化1%，价格不变时，所引起的，价格不变时，所引起的商品需求量变动的百分比。商品需求量变动的百分比。 需求的价格弹性需求的价格弹性：价格变化：价格变化1%，收入不变时，所引起的商，收入不变时，所引起的商品需求量变动的百分比。品需求量变动的百分比。YXXY不可以化为线性的包含参数非线性的问题不可以化为线性的包含参数非线性的问题 QAKLQA

8、KL()121例例1 需求函数需求函数 本章本章1中，我们曾给出一个食品支出为因变量，个人中，我们曾给出一个食品支出为因变量，个人可支配收入和食品价格指数为解释变量的线性回归模型例可支配收入和食品价格指数为解释变量的线性回归模型例子。现用这三个变量的对数重新估计（采用同样的数据）子。现用这三个变量的对数重新估计（采用同样的数据），得到如下结果（括号内数字为标准误差）：，得到如下结果（括号内数字为标准误差）： 回归结果表明，需求的收入弹性是回归结果表明，需求的收入弹性是0.64,需求的价格弹性需求的价格弹性是是0.48，这两个系数都显著异于，这两个系数都显著异于0。)12. 0()03. 0()

9、42. 0(99. 0log48. 0log64. 082. 2log2RPXY三、例子三、例子 例例2柯布柯布-道格拉斯生产函数道格拉斯生产函数 生产函数是一个生产过程中的投入及其产出之间的一生产函数是一个生产过程中的投入及其产出之间的一种关系。著名的柯布种关系。著名的柯布-道格拉斯生产函数（道格拉斯生产函数（C-D函数）为函数）为 用柯布和道格拉斯最初使用的数据（美国用柯布和道格拉斯最初使用的数据（美国1899-1922年年制造业数据）估计经过线性变换的模型制造业数据）估计经过线性变换的模型得到如下结果：得到如下结果： 从上述结果可以看出，产出的资本弹性是从上述结果可以看出，产出的资本弹性

10、是0.230.23，产出的，产出的劳动弹性为劳动弹性为0.810.81。LAKQ logloglogloglogLKAY)15. 0()06. 0()43. 0(96. 0log81. 0log23. 018. 0log2RLKY例例3 3货币需求量与利率之间的关系货币需求量与利率之间的关系 M r=2 rM=a(r-2)b(a0,b0 和和b 0) 图4.2 yt = , (b 0和和b 0) 图4.4 yt = a + b Lnxt + ut , (b 0情形的图形见图情形的图形见图4.7。xt和和yt的关系是非线性的。令的关系是非线性的。令yt* = 1/yt, xt* = 1/xt，得

11、，得 yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型。其中已变换为线性回归模型。其中ut表示随机误差项。表示随机误差项。图4.7 yt = 1/ (a + b/xt ), (b 0) 双曲线函数还有另一种表达方式，双曲线函数还有另一种表达方式，yt = a + b/xt + ut (4.11)b0情形的图形见图情形的图形见图4.8。xt和和yt的关系是非线性的。令的关系是非线性的。令xt* = 1/xt，得，得 yt = a + b xt* + ut上式已变换成线性回归模型。上式已变换成线性回归模型。 图4.8 yt = a + b/xt , (b 0) 多项式方程模型多项式方

12、程模型一种三次多项式方程的表达形式是一种三次多项式方程的表达形式是yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut (4.12)其中其中b10, b20, b30和和b10, b30, b20和和b10, b20, b20 图4.12 b10, b2 0情形的图形分别见图情形的图形分别见图4.13和和4.14。其。其中中k和和0分别为分别为yt的生长上限和下限。的生长上限和下限。 = k, = 0。a, b 为待估参数。为待估参数。曲线有拐点，坐标为（曲线有拐点，坐标为（ , ），曲线的上下两部分），曲线的上下两部分对称于拐点。对称于拐点。tutfek)(1uuata

13、ek)(01tuatbek10aettLimyttLimyaLnb2k2k美国人口统计学家美国人口统计学家Pearl和和Reed广泛研究了有机体的生长，得广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）常用于描述有机体生长发育过程，也常用于表示科技曲线）常用于描述有机体生长发育过程，也常用于表示科技变化的普及程度（如变化的普及程度（如y可能是有计算机的家庭中拥有最新型计可能是有计算机的家庭中拥有最新型计算机的比例或售出的音乐录制品中算机的比例或售出的音乐录制品中CD所占的比例或全美原钢所占的比例或全美原

14、钢产量中以电子弧光锻钢法产出原钢的比例等）。产量中以电子弧光锻钢法产出原钢的比例等）。 图4.13 yt = k / (1 + ) 图4.14 yt = k / (1 + )tuatbetuatbe案例案例例例1：硫酸透明度与铁杂质含量的关系（摘自：硫酸透明度与铁杂质含量的关系（摘自数数理统计与管理理统计与管理1988.4, p.16） 某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质指标。经分析透明度低与硫酸中金属杂质的含量太指标。经分析透明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。影响透明度的主要金属杂质是铁、钙、铅、高有关。影响透明度的主要金属杂质是铁、钙、铅、

15、镁等。通过正交试验的方法发现铁是影响硫酸透明镁等。通过正交试验的方法发现铁是影响硫酸透明度的最主要原因。测量了度的最主要原因。测量了47个样本，得硫酸透明度个样本，得硫酸透明度（y）与铁杂质含量（）与铁杂质含量（x）的散点图如下：）的散点图如下： （1） y = 121.59 - 0.91 x (10.1) (-5.7) R2 = 0.42, s.e. = 36.6, F= 32（2） 1/y = 0.069 - 2.37 (1/x) (18.6) (-11.9) R2 = 0.76, s.e. = 0.009, F= 142 （4）Lny = 1.99 + 104.5 (1/x) (22.0

16、) (21.6) R2 = 0.91, s.e. = 0.22, F= 468还原，Lny = Ln(7.33) + 104.5 (1/x)y = 7.33 （3）y = -54.40 + 6524.83 (1/x) (-7.2) (16.3) R2 = 0.86, s.e. = 18.2, F= 266)1(5 .104xe例例2 中国铅笔需求预测模型中国铅笔需求预测模型 中国从上个世纪中国从上个世纪30年代开始生产铅笔。年代开始生产铅笔。1985年全年全国有国有22个厂家生产铅笔。产量居世界首位（个厂家生产铅笔。产量居世界首位（33.9亿亿支），占世界总产量的支），占世界总产量的1/3。改

17、革开放以后，铅笔生。改革开放以后，铅笔生产增长极为迅速。产增长极为迅速。1979-1983年平均年增长率为年平均年增长率为8.5%。铅笔销售量时间序列见图铅笔销售量时间序列见图4.21。1961-1964年的销售量年的销售量平稳状态是受到了经济收缩的影响。文革期间销售量平稳状态是受到了经济收缩的影响。文革期间销售量出现两次下降，是受到了当时政治因素的影响。出现两次下降，是受到了当时政治因素的影响。1969-1972年的增长是由于一度中断了的中小学教育年的增长是由于一度中断了的中小学教育逐步恢复的结果。逐步恢复的结果。1977-1978年的增长是由于高考正年的增长是由于高考正式恢复的结果。式恢复

18、的结果。1981年中国开始生产自动铅笔，对传年中国开始生产自动铅笔，对传统铅笔市场冲击很大。统铅笔市场冲击很大。1979-1985年的缓慢增长是受年的缓慢增长是受到了自动铅笔上市的影响。到了自动铅笔上市的影响。50100150200250300350626466687072747678808284Y图 4.21 初始确定的影响铅笔销量的因素有初始确定的影响铅笔销量的因素有全国人口、全国人口、各类在校人数、设计人员数、居民消费水平、社各类在校人数、设计人员数、居民消费水平、社会总产值、自动铅笔产量、价格因素、原材料供会总产值、自动铅笔产量、价格因素、原材料供给量、政策因素等给量、政策因素等。经过

19、多次筛选、组合和逐步。经过多次筛选、组合和逐步回归分析，最后确定的被解释变量是回归分析，最后确定的被解释变量是yt（铅笔年销（铅笔年销售量，千万支）；解释变量分别是售量，千万支）；解释变量分别是xt1（自动铅笔（自动铅笔年产量，百万支）；年产量，百万支）；xt2（全国人口数，百万人）；（全国人口数，百万人）；xt3（居民年均消费水平，元）；（居民年均消费水平，元）；xt4（政策变量）（政策变量）。因政策因素影响铅笔销量出现大幅下降时，政策因政策因素影响铅笔销量出现大幅下降时，政策变量取负值。例如变量取负值。例如1967、1968年的年的xt4值取值取-2，1966、1969-1971、1974

20、-1977年的年的xt4值取值取-1）。）。 由图由图4.22知中国自生产自动铅笔起，自动铅笔产知中国自生产自动铅笔起，自动铅笔产量与铅笔销量存在线性关系。量与铅笔销量存在线性关系。 由图由图4.23知全国人口与铅笔销量存在线性关系。知全国人口与铅笔销量存在线性关系。说明人口越多，对铅笔的需求就越大。说明人口越多，对铅笔的需求就越大。 由图由图4.24知居民年均消费水平与铅笔销量存在近知居民年均消费水平与铅笔销量存在近似对数的关系。散点图说明居民年均消费水平越高，似对数的关系。散点图说明居民年均消费水平越高，则铅笔销量就越大。但这种增加随着居民消费水平则铅笔销量就越大。但这种增加随着居民消费水

21、平的增加变得越来越缓慢。的增加变得越来越缓慢。 图图4.25显示政策变量与铅笔销量也呈线性关系。显示政策变量与铅笔销量也呈线性关系。案例案例3：厦门市贷款总额与：厦门市贷款总额与GDP的关系分析的关系分析（19902003） 数据和散点图如下。从散点图看，用多项式方数据和散点图如下。从散点图看，用多项式方程拟合比较合理。程拟合比较合理。020040060080010000200400600800GDPLOAN020040060080010000200400600800GDPLOANHATLOAN例例4 钉螺存活率曲线（生长曲线模型）钉螺存活率曲线（生长曲线模型） 在冬季土埋钉螺的研究中，先把一

22、批钉螺埋在冬季土埋钉螺的研究中，先把一批钉螺埋入土中，以后每隔一个月取出部分钉螺，检测存入土中，以后每隔一个月取出部分钉螺，检测存活个数，计算存活率。数据见表活个数，计算存活率。数据见表4.3。散点图见。散点图见图图4.20。yt,存存活率活率(%)t,土埋土埋月数月数100.0093.0192.3288.0384.7482.0548.4641.0715.085.293.5101.3110.512表表4.3图图4.20设定设定yt的上渐近极限值的上渐近极限值k =101（因为已有观测值（因为已有观测值yt =100，所以令，所以令k =101更好些。），得估计结果如下：更好些。），得估计结果如下：当深埋当深埋10个半月时，存活率只有个半月时，存活率只有2.38%。 YYF100.099