概率论与数理统计课后习题答案

1、习题一1写出下列随机试验的样本空间及下列事件(5)S二0,1,2,A二0,l,2,3,4,B二3,4,40ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC4)至少有两件UA2UA3；(3)(4)S=(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,44).,在(1电,2,话5)号码中任取一个电话号码，求后面(4)S=(ab,(,ab,),(解设A=任取一电话号码后四个数字全不,ab),(a,b,),(a,相)同，册)，四个数字全不相同的概率。5.一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今(b,a),(、,a,b,),(,b,a)，其从中任取5只，求中表

2、示空盒；(1) 5只全是好的的概率；(2) 5只中有两只坏的的概率。A=(ab，厂)，(a，b，),(a，,b),(b，a，),(b，,a)解(1)设A=5只全是好的，则C5。P(A)=舌口0662；中的样本点：(1) 掷一颗骰子，记录出现的点数A=出现奇数点；(2) 将一颗骰子掷两次，记录出现点数A=两次点数之和为10,B=第一次的点数，比第二次的点数大2；(3) 一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A=球的最小号码为1；(4) 将a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A=甲盒中至少有一球；(5) 记录在一

3、段时间内，通过某桥的汽车流量，A=通过汽车不足5台，B=通过的汽车不少于3台。解(1)S=e,e,e,e,e,e其中e.=123456i出现i点i=1,2,6，A=仝e3,5。(2)S=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)；A=(4,6),(5,5),(6,4)；B=(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)。(3)2.设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件：(1) 仅A发生；(2) A,B,C中至少有两个发生;(3) A,B,C中不多于两个发生;4)A,B,C中

4、恰有两个发生；(5)A,B,C中至多有一个发生。解(1)ABC(2) abuacubc或ABCUABCUABCUABC；(3) AUBuC或(4) ABCUABCUABC；(5) ABuACUBC或ABCUABCuAbcuABC；3.个工人生产了三件产品，以A(i=1,2,3)i表示第i件产品是正品，试用A表示下列事件：(1)i没有一件产品是次品；(2)至少有一件产品是次品；(3)恰有一件产品是次品；产品不是次品。解(1)AAA；(2)A_123_1AAAAAAAAA；123123123AAAAAA。1213231)2)2)7(1)设A=他们的生日都不相同，2)设B=至少有两个人的生日在同一个

5、P(A)二解2七个字母中有两个E，两个C，把七个称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为n!n!kn!n!12对于本题有141任意选出A二三12A3=三个数字中含0但不含5.C37P(A)=j=-1 C315.10C3C3C314P(A)=4+4-4=-,2 C3C3C31510101011.每堆两只，求事件A=每堆各成一双的概堆率.(2)设B=5只中有两只坏的，贝UC2C3P(B)=口0.0354.406袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求3个球的最小号码为5的概率；3个球的最大号码为5的概率.(1)设A=最小号码为5,则P(A)=C2=丄；C312；10设B=最大号码为

6、5,则C21P(B)=C320.10(1)教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；(2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率.解则月，则C2C1P2+C2C2+C3P2+C141P(B)=一4_444_124212=124965或P441P(B)=1-P(B)=1十=12496-8设一个人的生日在星期几是等可能的,求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天,但不是都在同一天的概率.解设A=生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天,则C2(26-2)P(A)=7-=0.01107769.将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE的概

7、率是多少？解设A=恰好排成SCIENCE将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件,所有的排法：字母C在7个位置中占两个位置，共有C；种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有C；种占法，字母I，N,C剩下的3个位置上全排列的方法共3！种,故基本事件总数为C-C-引=1260,而A中的基本事件只有一个,1_1C2.C2.31260；75字母排成一排,称为不尽相异元素的全排列。一般地,设有n个元素,其中第一种元素有n1个,第二种元素有n2个，第k种元素有nk个(匕+n+n=n)，将这n个元素排成一排12kP(A)=“7!7!1260，10.从0,1,2,9等10个数字中,不同的三个数字，试求

8、下列事件的概率：个数字中不含0和5,A2二三个数字中不含0或5C114P(A2)=1-P(A2)=1-茁=1510C27P(A3)=茁=30-10将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n解n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不(2n)!(2n)!同的分法共2!2r2!=丽每堆各成一双共有n!种情况，故12设事件A与B互不相容，P(A)=04,P(B)=0.3，求P(AB)与P(AB)J解P(AB)=1-P(AB)=1-P(A-P(B因为A,B不相容，所以A二B，于是13 若P(AB)=P(AB)且P(A)=P，求P(B).邂P(AB)=1-P(AB=-P(A-P(B)由P(AB)=P(AB)得14

9、设事件A,B及AjB的概率分别为p,q,r，求P(AB)及P(AB)解P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)=p+q-r=1一q+p+q一r=1+p一r.15 设P(A)+P(B)=0.7，且A,B仅发生一个的概率为0.5,求A,B都发生的概率。解1由题意有=0.72P(AB)，(P)B)P(AB)=0.4，故_P(AB)=0.6；0.2=P(B)-P(AB)=P(B)-0.4.所以17.设ABuC，试证明P(A)+P(B)-P(C)1证因为ABuC，所以0.故3P(A)P(B)-P(C)1.证毕.18对任意三事件A,B,C，试证P(AB)P(AC)-P(BC)P(A).p(A%P(AB)P

10、(AC)-P(BC)P(AB)P(AC)-P(ABC)=P(ABUAC)=PA(BUC)P(A).证毕.19设A,B,C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=P(AB)=P(BC)=0，4P(AC)=1，求A,B,C至少有一个发生的概率。8解P(BC二PAP)PCPABPAC解2因为0P(ABC)P(ABC)=0，于是20随机地向半圆0yPAB=,0所以A(B构成三角形的概率.所以P(AB)=0.1.A,B仅发生一个可表示为AjB-AB，故所以P(AB)=0.1.16设P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,P(B-A)=0.2,求P(AB)与P(AB).解0.3=PA-B)=P(A-P

11、(AB=)0.-7P所以2axx2(a为正常数)内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于兀/4的概率.解：半圆域如图严设A=原点与该点连线与x轴夹角小于兀/4由几何概率的定义广把长为a的棒任意折成三段，求它们可以x解i设A=三段可构成三角形，又三段的长分别为x,y,a-x-y，则0xa,0ya,0x+y0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长1(la)的针，求针与任一平行线相交的概率.成平面域S.a2,A发生ax+ya2不等式确定S的子解设A=针与某平行线相交，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，点到最近的一条平行线的距离。设x为针的中9为针与

12、平行0P(A)二剣的面积S的面积解2设三段长分别为x,y,z，则0xa,0ya,0za且x+y+z二a，不等式确定了三维空间上的有界平面域Sz-等式确定S的子域才；面积1线的夹角，则P(A2S的面积4-22随机地取两个正数x和y,这两个数中的每一个都不超过1,试求x与y之和不超过1,积不小于0.09的概率.解0x1,也y0,P(B)0，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立.证若A、B互不相容，则AB，于是P(AB)0丰P(A)P(B)0所以A、B不相互一名学生为男生，B任选一名学生为一年级则1044N+1610N+16欲性别和年级相互独立，即P(AB)P(A)P(B)，41010N+

13、16N+16N+16独立.若A、B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)0，于是AB，即A、B不是互不相容的.注：从上面的证明可得到如下结论：1) 若A、B互不相容，则A、B又是相互独立的oP(A)0或P(B)0.2) 因ABA+BA，所以P(A)P(BA)+P(BA)如果P(B)1则P(BA)0，从而可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然所以N9，即教室里的二年级女生应为9名。22.图中1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率.LR，B.第i个i八/一司一目标独立地进行四次射击,少命中一次的概率为80/1,

14、求该射手的命中4接点闭合i1,2,3,4,5，则L23.一射手对若至率。解设该射手的命中率为p，由题意事件与任意事件独立.女口果P(B)0，贝yP(AB)0P(A)P(B)，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立20.证明若三事件A,B,C相互独立，则AJB及A_B都与C独立。证81-1_(1_p)4所以p-3.(1_p)4-811_p24.设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率。P(电B)CP(ACBCPA_C(_)C解(pPA(B)C1(0.01)(0.99)3-0.0388.44即AUB与C独立.即A_B与

15、C相互独立.21.一个教室里有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，若干名二年级女生，为P(2)C2(0.01)2(0.99)20.000588.4425.考试时有四道选择题，每题附有4个答案，其中只有一个是正确的。一个考生随意地选择每题的答案，求他至少答对三道题的概率。1解答对每道题的概率为，所求概率为P(3)+P(4)=C344414丿26设在伯努里试验中，成功的概率为P，第n次试验时得到第r次成功的概率.解设A_第n次试验时得到第r次成功则A=前n1次试验，成功r1次,第n次试验出现成功，所以_血e-xex(1-p)_血e-xpL!L!29.一台仪器中装有2000个同样的元件，

16、每个元件损坏的概率为0.0005，如果任一元件损坏，贝仪器停止工作，求仪器停止工作的概率.解考察一个元件，可视为一次贝努里试验，2000个元件为2000重贝努里试验。np_1，利用泊松逼近定理，所求概率为P(A)=P(前n-1次试验，成功r-1次)P(第n次试验成功)_Cr-1pr-1(1p)n-r-p_Cr-1pr(1p)n-r.n-1n-127设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂。现该厂生产了n(n2)台仪器(假定各台仪器的生产过程相互独立)。求(1)全部能出厂的概率a；(2)其中恰有两台不能出厂的概率0；(3)其中至少有两台不能出厂的概率0。解设A_任取一台可以出厂，B_可直接出厂，C_需进一步调试。则A_BA+CA，将n台仪器看作n重伯努里试验，成功的概率为p，于是(1)a_(0.94)n，p_2000p(k)_2000匕-1沁0.632162000k!k_1k_130.某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完，如果最初两盒中各有n根火柴，求这时另一盒中还有r根的概率。解设A_发现一盒已经用完另一盒还有r根。B_发现甲盒已经