第四章抽样与参数估计_抽样分布_01

1、第四章 抽样与参数估计第 一节 抽样与抽样分布学习目标区分总体分布、样本分布、抽样分布区分总体分布、样本分布、抽样分布掌握随机抽样方式掌握随机抽样方式理解抽样分布与总体分布的关系理解抽样分布与总体分布的关系掌握单总体参数推断时样本统计量的分布掌握单总体参数推断时样本统计量的分布掌握双总体参数推断时样本统计量的分布掌握双总体参数推断时样本统计量的分布掌握抽样误差的测度及其影响因素掌握抽样误差的测度及其影响因素4.1.1 三种不同性质的分布总体分布总体分布样本分布样本分布抽样分布抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布总体中各元素的观察值所形成的分布 分布通常是未知的分布通常是未知的可以假定它服从

2、某种分布可以假定它服从某种分布 总体分布(population distribution)一个样本中各观察值的分布一个样本中各观察值的分布 也称经验分布也称经验分布 当样本容量当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布接近总体的分布 样本分布(sample distribution)样本统计量的概率分布样本统计量的概率分布是一种理论概率分布是一种理论概率分布随机变量是随机变量是 样本统计量样本统计量样本均值样本均值, 样本比例，样本方差等样本比例，样本方差等结果来自结果来自容量相同容量相同的的所有所有可能样本可能样本样本统计量提供的信息，是进行推断的理论基样本统

3、计量提供的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据础，也是抽样推断科学性的重要依据 抽样分布 (sampling distribution)抽样分布 (sampling distribution)4.1.2 样本统计量的抽样分布 (一个总体参数推断时)样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布抽样方差的抽样分布抽样方差的抽样分布样本均值的抽样分布容量相同的所有可能样本的样本均值的概容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布率分布一种理论概率分布一种理论概率分布进行推断总体总体均值进行推断总体总体均值 的理论基础的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的

4、抽样分布(例题分析)（重复抽样）5 .21NxNii25. 1)(122NxNii样本均值的抽样分布 (例题分析)（重复抽样）所有可能的所有可能的n = 2 的样本（共的样本（共16个）个）第一个第一个观察值观察值第二个观察值第二个观察值123411,11,21,31,422,12,22,32,433,13,23,33,444,14,24,34,4样本均值的抽样分布 (例题分析)（重复抽样）16个样本的均值（个样本的均值（x）第一个第一个观察值观察值第二个观察值第二个观察值123411.01.52.02.521.52.02.53.032.02.53.03.542.53.03.54.0均值均值X

5、的取值的取值1.01.52.02.53.03.54.0均值均值X的个数的个数1234321取值的概率取值的概率P（X ）1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析)（重复抽样）5 . 2X21.250.6252X样本均值的抽样分布 (例题分析)（不重复抽样）所有可能的所有可能的n = 2 的样本（共的样本（共12个）个）第一个第一个观察值观察值第二个观察值第二个观察值123411,21,31,422,12,32,433,13,23,444,14,24,3样本均值的抽样分布 (例题分析)（不重复抽样）16个样本的均值（个样本的均

6、值（x）第一个第一个观察值观察值第二个观察值第二个观察值123411.52.02.521.52.53.032.02.53.542.53.03.5均值均值X的取值的取值1.52.02.53.03.5均值均值X的个数的个数22422取值的概率取值的概率P（X ）2/12 2/12 4/12 2/12 2/12样本均值的抽样分布 (例题分析)（不重复抽样）5 . 2X21.2542524 112X样本均值的抽样分布与中心极限定理X5x50 x5 . 2x中心极限定理(central limit theorem) xn x 中心极限定理 (central limit theorem)X抽样分布与总体分

7、布的关系正态分布正态分布非正态分布非正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布样本均值的数学期望样本均值的数学期望样本均值的方差样本均值的方差重复抽样重复抽样不重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布(数学期望与方差)(XEnX22122NnNnX样本均值的抽样分布(数学期望与方差)为样本数目MnMXnixiX222122625. 016)5 . 20 . 4()5 . 20 . 1 ()(5 . 2160 . 45 . 10 . 11MXniiX均值的抽样标准差所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度，又称为抽样平均误差均值

8、的离散程度，又称为抽样平均误差小于总体标准差小于总体标准差计算公式为计算公式为nX1XNnNn样本比例的抽样分布总体总体(或样本或样本)中具有某种属性的单位与全部单中具有某种属性的单位与全部单位总数之比位总数之比不同性别的人与全部人数之比不同性别的人与全部人数之比合格品合格品(或不合格品或不合格品) 与全部产品总数之比与全部产品总数之比总体比例可表示为总体比例可表示为样本比例可表示为样本比例可表示为比例(proportion)NNNN101或nnPnnP101或容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似 一种理论概率分布推断总体总体比例的理论

9、基础样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布 (例题分析)（重复抽样）【例】设某机床5台中有2台优、3台良，即总体单位数N=5。5 个个体分别为优品A1、A2，良品B1、B2、B3 。若抽到优品，记x1；若抽到良品，记x0。当n2时，样本比例抽样分布如下表所有可能的所有可能的n = 2 的样本（共的样本（共25个）个）样本样本比率比率样样 本本频率频率P(p)1(A1,A1)(A1,A2)(A2,A1)(A2,A2)4/250.5(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(B1,A1)(B1,A2)(B2,A1)(B2,A2)(B3,A1)(B3,A2)1

10、2/250(B1,B1)(B1,B2)(B1,B3)(B2,B1)(B2,B2)(B2,B3)(B3,B1)(B3,B2)(B3,B3)9/25样本比例的抽样分布 (例题分析)（重复抽样）0.4210.24 0.40pE p 220.12pEpE pP p样本比例的抽样分布 (例题分析)（不重复抽样）【例例】仍用上例，采用不重复随即抽样时，机床优质品比率仍用上例，采用不重复随即抽样时，机床优质品比率p的抽样分布如下表的抽样分布如下表所有可能的所有可能的n = 2 的样本（共的样本（共20个）个）样本样本比率比率样样 本本频率频率P(p)1(A1,A2)(A2,A1)2/200.5(A1,B1)

11、(A1,B2)(A1,B3)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(B1,A1)(B1,A2)(B2,A1)(B2,A2)(B3,A1)(B3,A2)12/200(B1,B2)(B1,B3)(B2,B1)(B2,B3)(B3,B1)(B3,B2)6/20样本比例的抽样分布 (例题分析)（不重复抽样）0.4210.24 0.40pE p220.24520.09251pEpEpPp样本比例的数学期望样本比例的数学期望样本比例的方差样本比例的方差重复抽样重复抽样不重复抽样不重复抽样样本比例的抽样分布(数学期望与方差)(PEnP)1 (21)1 (2NnNnP样本方差的抽样分布样本方差的分布) 1

12、() 1(222nsn22) 1(sn 卡方(2)分布(2 distribution)2分布分布:设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体N(0,1)的样本，则统的样本，则统计量计量 服从自由度为服从自由度为n的的2分布，记为分布，记为2 2（n）。设设 ，则，则令令 ，则，则 Y 服从自由度为服从自由度为1的的 2分布，即分布，即 当总体当总体 ，从中抽取容量为，从中抽取容量为n的样本，则的样本，则222212nXXX),(2NX) 1 , 0( NXZ2ZY ) 1 (2Y),(2NX222122()1(1)niiXXnSn分布的变量值始终为正分布的变量值始终为正 分布的形状取决于其自由度

13、分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不的大小，通常为不对称的右偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称的右偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称对称 期望为：期望为：E( 2)=n，方差为：，方差为：D( 2)=2n ( (n为自由度为自由度) ) 可加性：若可加性：若U和和V为两个独立的为两个独立的 2分布随机变量，分布随机变量，U 2(n1)， V 2(n2),则则U+V 这一随机变量服从这一随机变量服从自由度为自由度为n1+n2的的 2分布分布 2分布(性质和特点)2分布(图示) 选择容量为选择容量为n 的的简单随机样本简单随机样本计算样本方差计算样本方差S2计算卡方值计算卡方值 2

14、= (n-1)S2/2计算出所有的计算出所有的 2值值总体总体4.1.3 样本统计量的抽样分布 (两个总体参数推断时)两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布两个样本方差比的抽样分布两个样本方差比的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布两个总体都为正态分布，即两个总体都为正态分布，即 ， 两个样本均值之差两个样本均值之差 的抽样分布服从正态的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和 两个样本均值之差的抽样分布),(2111NX),(2222

15、NX21XX 2121)( XXE222121221nnXX两个样本均值之差的抽样分布 总体总体1 总体总体2抽取简单随机样抽取简单随机样样本容量样本容量 n1计算计算X1抽取简单随机样抽取简单随机样样本容量样本容量 n2计算计算X2计算每一对样本计算每一对样本的的X1-X2所有可能样本所有可能样本的的X1-X2 1 1 2 2两个样本比例之差的抽样分布两个总体都服从二项分布两个总体都服从二项分布分别从两个总体中抽取容量为分别从两个总体中抽取容量为n1和和n2的独立样本，的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似

16、样分布可用正态分布来近似分布的数学期望为分布的数学期望为方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和 两个样本比例之差的抽样分布2121)( PPE2221112)1 ()1 (21nnPP两个样本方差比的抽样分布两个样本方差比的抽样分布 两两个总体都为正态分布，个总体都为正态分布，即即X1N(1,12)的一个的一个样本，样本， Y1，Y2， ，Yn 2是来自正态总体是来自正态总体X2N(2,22 )从两从两个总体中分别抽取容量为个总体中分别抽取容量为n1和和n2的独立样本的独立样本两两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为为(n1-1)，分母自由度为，分母自由度为(n2-1) 的的F分布，即分布，即 2211122222(1,1)SF nnS由统计学家费舍由统计学家费舍(R.A.Fisher) 提出的，以其提出的，以其姓氏的第一个字母来命名则姓氏的第一个字母来命名则设若设若U为服从自由度为为服从自由度为n1的的 2分布，即分布，即U 2(n1)，V为服从自由度为为服从自由度为n2的的 2分布，即分布，即V 2(n2),且且U和和V相互独立，则相互独立，则 称称F为服从自由度为服从自由度n1和和n2的的F分