第十二章 机械振动

1、1 12 21 1 简谐振动简谐振动简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位1 12 22 2 简谐振动的能量简谐振动的能量1 12 24 4 同方向的简谐振动的合成同方向的简谐振动的合成教学要求教学要求物体在一定位置附近来回往复的运动称为机物体在一定位置附近来回往复的运动称为机械振动。械振动。如钟表里的摆轮、汽缸中的活塞、乐器如钟表里的摆轮、汽缸中的活塞、乐器的弦等。的弦等。广义地说：广义地说：任何一个物理量只要它在某一定任何一个物理量只要它在某一定值附近作反复的周期性变化，都可以称为振动值附近作反复的周期性变化，都可以称为振动 （称为广义振动称为广义振动）（如交流电

2、的电压、电流等）（如交流电的电压、电流等）最基本、最简单的振动是简谐振动。由数学最基本、最简单的振动是简谐振动。由数学中的傅立叶级数展开可知：中的傅立叶级数展开可知：。一、简谐振动：一、简谐振动： （a）弹簧振子（）弹簧振子（k+m) ：理想模型理想模型轻弹簧、振动质点、无摩擦轻弹簧、振动质点、无摩擦力、受恢复力、直线运动力、受恢复力、直线运动平衡位置平衡位置弹簧振子的振动弹簧振子的振动（b）平衡位置：）平衡位置：合力为零的位置。合力为零的位置。-A 0 A xNG弹簧振子的振动：弹簧振子的振动： 0 x NGF 0 x NGF 0 x NGF 0 x NGFBCBBBCCCGN-A 0 A

3、X弹簧振子的振动（演示）平衡位置：合力为零。即 G+N=0 （G = N）GNF -A 0 A X 弹簧振子的振动NGF-A 0 A X 弹簧振子的振动GNF -A 0 A X 弹簧振子的振动NGF-A 0 A X 弹簧振子的振动GNF -A 0 A X 弹簧振子的振动NGF-A 0 A X 弹簧振子的振动GN-A 0 A X平衡位置：合力为零。即 G+N=0 （G = N）弹簧振子的振动（C）简谐振动：）简谐振动：（1）定义：对弹簧振子，如果位移较小，在无）定义：对弹簧振子，如果位移较小，在无阻尼情况下，在平衡位置附近作来回往复的直线阻尼情况下，在平衡位置附近作来回往复的直线运动，这种周期性

4、运动成为简谐振动。运动，这种周期性运动成为简谐振动。（2）运动方程：）运动方程：-A 0 A xNGxFmakxF xmka 任意位置坐标任意位置坐标x就为物体相对平衡位置的位移，由就为物体相对平衡位置的位移，由胡克定律：胡克定律： 回（恢）复力：回（恢）复力：始终指向平衡位置，大小与位始终指向平衡位置，大小与位移成正比。移成正比。由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： kxF 负号表示力的方向和位移的方向相反，始终负号表示力的方向和位移的方向相反，始终指向平衡位置。指向平衡位置。说明作简谐振动的物体的说明作简谐振动的物体的加速度与位移成正比加速度与位移成正比且方向相反。且方向相反。22)(dtxd

5、dtdxdtddtdva令令 2 mkxa2 则则而加速度：而加速度：xmka 022xmkdtxd（简谐振动的特征方程）（简谐振动的特征方程）0222xdtxd特征方程的解为特征方程的解为:（简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程）)cos(tAx 、 为积分常数，为积分常数，由初始条件决定。由初始条件决定。A2 )sin( tAx若令若令 则上式变为则上式变为简谐振动的三个特征（三种定义）：简谐振动的三个特征（三种定义）：（1）振动物体所受合力恒与位移成正比且反向。）振动物体所受合力恒与位移成正比且反向。kxF )cos( tAx)sin( tAx（3）振动物体的位移是时间的余（正）弦函数。

6、）振动物体的位移是时间的余（正）弦函数。xdtxd222 （2）振动物体的加速度恒与位移成正比且反向。）振动物体的加速度恒与位移成正比且反向。)cos()sin(tBtAx 或或二、简谐振动的速度和加速度：二、简谐振动的速度和加速度：简谐振动的运动方程本章采用余弦形式，即简谐振动的运动方程本章采用余弦形式，即 ： )cos( tAx)2cos()sin(tAtAdtdxv)cos()cos(22tAtAdtdvatavx,oxva三、描述简谐振动的物理量及物理意义（三个特征量）三、描述简谐振动的物理量及物理意义（三个特征量）)cos( tAxT1A(a)振幅振幅 ：物体离开平衡位置最大位移的绝

7、对值。：物体离开平衡位置最大位移的绝对值。 描述简谐振动的强度。描述简谐振动的强度。(b)周期、频率、角频率（周期、频率、角频率（ 、 、 ）：描述振动的快慢。）：描述振动的快慢。T(1)周期周期 ：作一次完全振动的时间。：作一次完全振动的时间。T(2)频率频率 ：单位时间内作完全振动的次数。：单位时间内作完全振动的次数。T22特例：特例：弹簧振子弹簧振子mkkmT22mkT2121 周期、频率由弹簧的倨强系数和振动物体的质量周期、频率由弹簧的倨强系数和振动物体的质量确定，是由振动系统本身决定的，称为系统的确定，是由振动系统本身决定的，称为系统的固有固有周期和固有频率。周期和固有频率。（c）相

8、位相位 ：简谐振动：简谐振动 时刻的相位。相位是时刻的相位。相位是描述任意时刻物体运动状态的物理量，通过相位可以描述任意时刻物体运动状态的物理量，通过相位可以确定任意时刻物体的位置（位移）和速度。确定任意时刻物体的位置（位移）和速度。tt0t当当 时，相位为时，相位为 ，称为初相位。称为初相位。（d）振幅）振幅 和初相位和初相位 的确定。的确定。A)cos( tAx)sin(tAv初始条件：初始条件：cos|00Axxtsin|00Avvt（a）（b）2020)(vxA（1）:Ax01cos（2）由（由（2）式确定两个）式确定两个 值，再由值，再由Av0sin正负，唯一确定正负，唯一确定 值。

9、值。smvm/1032例例1、一物体作简谐振动，其速度最大值、一物体作简谐振动，其速度最大值 ，其振幅其振幅 ，若，若 时，物体位于平衡位置时，物体位于平衡位置且向且向 轴负方向运动。求轴负方向运动。求:(1)振动周期振动周期 ；(2)加速度的加速度的最大值最大值 ；(3)振动方程的数值式。振动方程的数值式。mA21020txmaT已知：已知：smvm/1032mA21020|0tv?T求：?xam及解：解：AvtAvm）sin()(19.4/22SAvTmAatAdtdvam22)cos()/(5 .1/sradAvm0|0tx)cos( tAx)cos( tAxmA2102)/(105 .

10、4/2222smAvvAammm)/(5 .1/sradAvm0|0tx2cos0 Ax0|0tv0sin0sin0Av2)(25 .1cos(1022mtx例例2一简谐振动曲线如下图，写出其振动（运动）一简谐振动曲线如下图，写出其振动（运动） 方程。方程。 )(my)(stO02. 01234提示：提示：)cos( tAxmA2102sT45 .0/2T20cos0 Ay0sin0sin|00Adtdyvt2)(22cos(1022mty1 1、旋转矢量：、旋转矢量： 模长模长 振幅振幅A A角速度角速度角频率角频率t 时刻与时刻与 x 轴的夹角轴的夹角相位相位初始时与初始时与 x 轴的夹角

11、轴的夹角初相初相作坐标轴作坐标轴ox, ,自原点作一矢量自原点作一矢量 , ,规定：规定：ArpM M txyAt = = t ， 与与 x 轴夹角为轴夹角为 显然显然 P 点的坐标点的坐标即即 t =0 =0， 与与 x 轴夹角为轴夹角为)cos( tAx 即当矢量即当矢量 OM 以以 匀速转动时，匀速转动时，x M 点的轨迹是一个圆，常称为点的轨迹是一个圆，常称为 P 点作简谐振动的参考点作简谐振动的参考圆。显然圆。显然M 点旋转一周相当于点旋转一周相当于 P 点作一次全振动。点作一次全振动。pM M txy tAAApM M txyAvna)2cos()sin(tAtAdtdxv)cos

12、()cos(22tAtAdtdvamvAv2Aan3、旋转矢量下的速度和加速度：、旋转矢量下的速度和加速度：4 4、两点说明、两点说明: :(1)(1)旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法；旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法；(2)(2)不能把旋转矢量端点不能把旋转矢量端点 M 的运动误认为简谐振动。的运动误认为简谐振动。5、用旋转矢量比较两个同频率振动的步调：、用旋转矢量比较两个同频率振动的步调：两个振动：两个振动：)cos(111tAx)cos(222tAx1A1t2A2t它们的相位之差称为相位差。它们的相位之差称为相位差。1212)()(tt若若 ，就说，就说 比比 超前超前 ；0

13、2x1x若若 ，就说，就说 比比 落后落后 。02x1x速度比位移超前速度比位移超前 ，加速度又比速度超前，加速度又比速度超前 ，加速度就比位移超前加速度就比位移超前 。2/2/二、简谐振动的旋转矢量表示法 O XPM0)(t相位参考圆 O XPM3)(t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XPM2)(t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XPM32)(t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XPM)( t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XPM34)(t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XPM23)(t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XP

14、M35)(t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XPM或2参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法0)(t相位 O XPM3)(t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XPM2)(t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XPM32)(t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XPM)( t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XPM34)(t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XPM23)(t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XPM35)(t参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法相位 O XPM或2参考圆二、简谐振动的旋转矢量表示法0)(t相位二、简谐振动

15、的旋转矢量表示法O XtA AOM XO 振动物体的位移和时间的关系图 X t 图M参考圆3)( t O xPM相位相位2)( t O xPM相位相位32)( t O xPM相位相位 )(t O xPM相位相位 34)( t O xPM相位相位 23)( t O xPM相位相位 35)( t O xPM相位相位02)(或t O xPM相位相位x v aOt123例例3 图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移 ，速度速度 和加速度和加速度 ，下列说法中哪一个是正确的：，下列说法中哪一个是正确的：xva（A）曲线）曲线3、1、2分别表示分别表示 、 、 曲线。曲线

16、。vax（B）曲线）曲线2、1、3分别表示分别表示 、 、 曲线。曲线。vax（C）曲线）曲线1、3、2分别表示分别表示 、 、 曲线。曲线。vax（D）曲线）曲线2、3、1分别表示分别表示 、 、 曲线。曲线。vax（E）曲线）曲线1、2、3分别表示分别表示 、 、 曲线。曲线。vaxE例例4 一个质点作简谐振动，振幅为一个质点作简谐振动，振幅为 ，在起始时刻质，在起始时刻质点的位移为点的位移为 ，且向，且向 轴的正方向运动，代表此简轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为：谐振动的旋转矢量图为：A2/Ax0000 xxxxAAAA)(D)(C)(B)(A2A2A2A2AB6/例例5 一

17、质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初图所示，若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相位应为：相位应为： （A） 。 （B） 。 （C） 。（。（D） 。 （E） 。6/56/56/3/2)(st)/(smv2/mvmvO提示：提示：2/2/|0Avvmtsin2AA656或x650cos, 0cos0mtaa选18例例6、p112,12-10.如图所示，密度计玻璃管的直径为如图所示，密度计玻璃管的直径为 ，浮在密度为浮在密度为 的液体中，若在竖直方向轻轻推动一下，的液体中，若在竖直方向轻轻推动一下，任其

18、自由振动。试证明：若不计液体的粘滞阻力，密任其自由振动。试证明：若不计液体的粘滞阻力，密度计的运动是简谐振动；设密度计的质量为度计的运动是简谐振动；设密度计的质量为 ，试求，试求振动周期。振动周期。dmd提示：提示：0222xdtxd241dSgm浮Fxo 处于平衡时，浸入水中部分处于平衡时，浸入水中部分长度为长度为 。h0?rrFgm0gShmg（1）dgm浮FxoamFgm浮取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点 ，向下为，向下为 轴正向，当密度计有向下位移轴正向，当密度计有向下位移 时，有：时，有：oxx22)(dtxdmxhgSmg（2）（1）、（）、（2）两式联立：）两式联立：02

19、2xmgSdtxdmgS2令0222xdtxd密度计的运动为简谐振动。密度计的运动为简谐振动。gmdgSmT422Example、设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点m在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期。o oy yFrrr r R R证明：质点m受力分析rRGmMMRrrGmFee3332)( yRGmMrRGmMFFeey33sinsin 建立oy坐标系223dtydmyRGmMe 满足简谐振动微分方程，故为简谐振动周期：min3 .84 0322 yRGMdtyde 2 TeGMR32 总结：总结：简谐振动主要有两类问题：简谐振动主要有两类问题：1、确定、确定 、 、 ；2

20、、判断简谐振动：、判断简谐振动： 。0222xdtxdA),(T解题步骤：解题步骤：（1）确定系统，对振动系统进行受力分析；）确定系统，对振动系统进行受力分析；（2）确定平衡位置（合力为零），建立坐标系。）确定平衡位置（合力为零），建立坐标系。（3）列出牛顿第二定律方程。）列出牛顿第二定律方程。（4）振动物体沿坐标正向移动）振动物体沿坐标正向移动 ，再列牛顿第二，再列牛顿第二 定律方程。定律方程。（5）联立解得微分方程，定常数）联立解得微分方程，定常数 。（6）用数学表达式写出初始条件，进而定出）用数学表达式写出初始条件，进而定出 、 ， 便可得到振动方程。便可得到振动方程。Ax例例7、p11

21、3,12-18.两弹簧的劲度系数分别为两弹簧的劲度系数分别为 ， ，在光滑的将此二弹簧分别连接到质量为在光滑的将此二弹簧分别连接到质量为 的物体的两端，弹的物体的两端，弹簧的其余两端分别固定在支柱簧的其余两端分别固定在支柱 及及 上，如图所示。今使物体有一上，如图所示。今使物体有一向右初位移向右初位移 ，向右初速度，向右初速度 。（。（1）试证物体作简谐振动；（试证物体作简谐振动；（2）求振动方程。（设物体在振动中，两）求振动方程。（设物体在振动中，两弹簧始终处于被拉伸状态）弹簧始终处于被拉伸状态）mNk/11mNk/32kgm1 . 01P2Pmx20103smv/1040201k2km光滑

22、表面光滑表面1P2P提示：提示：系统mkk21ox01122xkxk（1）221122)()(dtxdmxxkxxk（2）01222xmkkdtxd为简谐振动。为简谐振动。212令mkk 0222xdtxd212由mkk )/(4012sradmkkmx20103smv/104020)/(102)(22020smvxAcos0Ax 由60sin0Av再由6)(640cos(1022mtx例例8如图所示，一质量如图所示，一质量 为滑块，两边分别与倔强系数为为滑块，两边分别与倔强系数为 和和 的轻弹簧连接，两弹簧的两端分别固定在墙上。滑块可在光滑的的轻弹簧连接，两弹簧的两端分别固定在墙上。滑块可在

23、光滑的水平面上运动，水平面上运动， 点为系统平衡位置。将滑块点为系统平衡位置。将滑块 向左移动到向左移动到 ，自静止释放，并从释放时开始计时，取坐标如图所示，则其振动自静止释放，并从释放时开始计时，取坐标如图所示，则其振动方程为：方程为：m1k2kom0 xx00 x2k1kmcos)(210tmkkxxA)(cos)(21210tkkmkkxxBcos)(210tmkkxxCcos)(210tmkkxxDcos)(210tmkkxxE00|xxt0|0tvC例例9 两倔强系数分别为两倔强系数分别为 和和 的弹簧串联在一起，下的弹簧串联在一起，下面挂着质量为面挂着质量为 的物体，构成一个竖挂的

24、弹簧谐振子，的物体，构成一个竖挂的弹簧谐振子，则该系统的振动周期为则该系统的振动周期为 ：1k2kmm1k2k21212)(2)(kkkkmTA212)(kkmTB2121)(2)(kkkkmTC2122)(kkmTD212121kkkkkkfkfkfx故选（故选（C）例例10作简谐振动的小球，速度最大值作简谐振动的小球，速度最大值 ，振幅，振幅 。若以速度为负方向最大为计时起点，（若以速度为负方向最大为计时起点，（1）定出初相位。画出小球）定出初相位。画出小球在在 时的旋转矢量。（时的旋转矢量。（2）写出小球的振动方程。）写出小球的振动方程。scmvm/3cmA20t已知：已知：scmvm/

25、3cmA20tscmvvm/30提示：提示：)/(5 . 1/3sradscmAvm2/3sin0scmAv)(25 . 1cos(2cmtx0 xv0, 00 xt例例11在一轻弹簧下端悬挂在一轻弹簧下端悬挂 的砝码时，弹簧伸长的砝码时，弹簧伸长 ，现在这根弹簧下端悬挂现在这根弹簧下端悬挂 的物体，构成弹簧振子。将物的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动体从平衡位置向下拉动 ，并给以向上的，并给以向上的 的初速度的初速度（这时（这时 ），选），选 轴向下，求振动方程的数值式。轴向下，求振动方程的数值式。gm1000cm8gm250cm4scm/210tx已知：已知：gm1000cmx

26、80gm2500tcmx40scmv/210提示：提示：mNkxkgm/25.1200)/(7sradmkmvxA05. 0)(20208 . 0coscos10Ax0/21sin0scmAv0t8 . 0cos1)(8 . 0cos7cos(05. 01mtx选平衡位置为坐标原点选平衡位置为坐标原点平衡时平衡时: :0 klmg位移位移 x 时时: :22)(dtxdmxlkmg受恢复力作用，所受恢复力作用，所以物体仍做简谐振动以物体仍做简谐振动O OxG0fO OxfGx+llx022xmkdtxd0222xdtxd（2 2）单摆）单摆 当当重力形成的力矩：重力形成的力矩： mglmgl

27、sin根据转动定律根据转动定律)(222mlJJmgldtd 022 lgdtd表明：单摆的运动也是简谐振动表明：单摆的运动也是简谐振动glTlg 2, 22dtdJJM sintan5 时，Ammg0 l 例例12、有一轻弹簧水平放置，当它受力为、有一轻弹簧水平放置，当它受力为 F = 1 g 时伸长量时伸长量为为 x= 4.9cm。用此弹簧和一个用此弹簧和一个 M = 8 g 的小球构成弹簧振子，的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向右拉开将小球由平衡位置向右拉开 x0 = 1 cm 后，给以向左的初速度后，给以向左的初速度 v0= 5 cm/s 。求小球的振动周期和振动方程。求小球的振动

28、周期和振动方程。解：因为小球受力为解：因为小球受力为 F = - - k x 所以小球作简谐振动所以小球作简谐振动 （1）求）求 k ：)( 2 . 0109 . 48 . 91023mNxFk （2）求）求 ：)1( 51082 . 03sMk o xv0 x0o x（3）求）求T：)(26. 1522sT （4）求）求A、 ：)(10251051022242020mvxA （5）小球的运动方程为：）小球的运动方程为：)(45cos(1022mtx O xPM4cos0 Ax0sin0Av4 例例13、一轻弹簧下端挂一砝码，质量、一轻弹簧下端挂一砝码，质量 M = 0.1 kg 。砝码静砝码

29、静止时，弹簧伸长止时，弹簧伸长 l =0.05 m 。如果把砝码再铅直下拉一如果把砝码再铅直下拉一段距离：段距离： x = 0.02 m ，放手让其振动。求振动方程。放手让其振动。求振动方程。lgMkklMg lxMgMgxOF=k（l+x）F=kl已知：已知：kgM1 . 0ml05. 0mx02. 000tsmv/00提示提示:)/(1405. 08 . 9sradlgMkmxvxA02. 0020200cos0Ax又因为：砝码的振动方程为：砝码的振动方程为：)(14cos02. 0mtx 如果取坐标向上为正，则有如果取坐标向上为正，则有 )(14cos(02. 0mtx 此时砝码的振动方

30、程为：此时砝码的振动方程为：mx02. 00 )(10221428. 0)02. 0(2222020mxA v4 )(414cos(10222mtx 402. 0cos0mAx O xPM0sin0Av)(10221428. 0)02. 0(2222020mxA v402. 0cos0mAx0sin0Av由初始条件，代入相应表达式联立求解。由初始条件，代入相应表达式联立求解。如：如：00, 0vv xxt2020)( v xAAx0cos两个两个 值值sin0Av 0唯一确定唯一确定 值。值。已知已知 x t 曲线求曲线求 TA如：已知某质点作简谐运动，振动曲线如图，试根据图中如：已知某质点作

31、简谐运动，振动曲线如图，试根据图中数据写出振动表达式。数据写出振动表达式。设运动表达式为设运动表达式为)cos( tAx由图可见，由图可见，A =2 m， 当当t = 0 时有：时有：dx/ /dt 0 02cos20 x0sin20 v4 当当t = 1时有：时有： dx/ /dt 0 00)4cos(21 x43 )443cos(2 txO2-22x(m)t (s)124 设在某一时刻设在某一时刻, ,振子速度为振子速度为v ，位移为位移为 x , , 则系统的则系统的动能、势能分别为动能、势能分别为 ：)(sin21212222 tAmmEkv)(cos2121222 tkAkxEp22

32、1kAEEEpk 以弹簧振子为例以弹簧振子为例，作简谐振动的系统有动能也有势能。，作简谐振动的系统有动能也有势能。2222kAAmmk)2cos1(21cos)2cos1(21sin22 又因为：又因为：)22cos(4141)(sin212222 tkAkAtkAEk所所以以：)22cos(414122 tkAkAEp同同样样：简谐振动能量与位移之间的关系曲线：简谐振动能量与位移之间的关系曲线： BOC 是势能随是势能随 x 变化的变化的抛物线：抛物线：直线直线BC 表示总能量表示总能量E ： 简谐振动的总能量和振简谐振动的总能量和振幅的平方成正比这一结论，幅的平方成正比这一结论，对任何作简

33、谐振动的系统都对任何作简谐振动的系统都是正确的。是正确的。221kxEp 221kAEEEpk kEpExoxpEEAACB动能平均值等于势能的平均值，并为总能量的一半：动能平均值等于势能的平均值，并为总能量的一半：EkAdttAmTETK2141)(sin21122220 EkAdttmkATETP2141)(cos2112220 x(1/2)kA2tT TEEpEko okPEE 例例14一物体质量为一物体质量为 ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的倔强系数的倔强系数 ，如果起始振动时具有势能，如果起始振动时具有势能 和动和动能能 ，求：（，求：（1）振幅；（

34、）振幅；（2）动能恰等于势能时的位移大小；）动能恰等于势能时的位移大小；（3）经过平衡位置时物体的速度。）经过平衡位置时物体的速度。kg25. 0mNk/25J06. 0J02. 0kgm25. 0已知：已知：求：求：mNk/25JEP06. 0JEk02. 0?) 1 (A?,)2(xEEPk时当?,0)3(vx时当提示：提示：22108. 0kAJEEEPkmA08. 0,)2(时当PkEE 222221)(sin21kxtAm222212121kxkxkA右边左边)(057. 0|22|222mAxAx)(cos2121222tkAkxkPEEEx, 0,0)3(时当Emvm221)/(

35、8 . 02smmEvm 对弹簧振子，只有弹力做功，弹力是保守内力，对弹簧振子，只有弹力做功，弹力是保守内力，无外力做功，振幅保持不变。若有外力阻力做功，系无外力做功，振幅保持不变。若有外力阻力做功，系统的能量逐渐减少，振幅也逐渐减小，最后停止。统的能量逐渐减少，振幅也逐渐减小，最后停止。振幅随时间减小的振动称为阻尼振动振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。例例15 如图，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数如图，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数 ，重物的质量重物的质量 ，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左向左作用

36、于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了运动了 ，此时撤去力，此时撤去力 。当重物运动到左方。当重物运动到左方最远位置最远位置时时开始计时，求物体的运动方程。开始计时，求物体的运动方程。mNk/24kgm6NF10m05. 0F)(204. 02212mkEAkAEmFOx已知：略。已知：略。提示：提示：EJFSl dFW)(5 . 0外)/(2sradmkcos|0AAxt)(2cos(204. 0mtx例例16一弹簧振子沿一弹簧振子沿 轴作简谐振动。已知振动物体最大位移为轴作简谐振动。已知振动物体最大位移为 ，最大回复力为，最大回复力为 ，最大速度为，最大速度为 ，又知又知 时的初位移

37、为时的初位移为 ，且初速度与所选，且初速度与所选 轴方向相反。轴方向相反。 （1）求振动能量；）求振动能量； （2）求此振动的表达式。）求此振动的表达式。xmxm4 . 0NFm8 . 0smvm/8 . 00tm2 . 0 xNFm8 . 0已知：已知：mxm4 . 0smvm/8 . 0. 0,2 . 000vmx提示：提示：mAmxm4 . 04 . 0由mNkkxNFmm/28 . 0由)(16. 0212JkAE)/(2/8 . 0sradAsmvm由. 0sin3cos2 . 000AvAmx3)(32cos(4 . 0mtx例例17一弹簧系一重物构成弹簧振子，振动的总能量为一弹簧

38、系一重物构成弹簧振子，振动的总能量为 ，现把两根同样的弹簧并联在一起，且使谐振动振，现把两根同样的弹簧并联在一起，且使谐振动振幅增加为原来的幅增加为原来的2倍。求此时总能量倍。求此时总能量 与原来总能量与原来总能量 之比。之比。EEE221kAE 提示：提示：并联后：并联后：,2kk .2AA22821)2)(2(21kAAkE8EE1 12 - 4 2 - 4 两个同方向、同频率的简谐振动的合成两个同方向、同频率的简谐振动的合成 同方向同方向：两个简谐振动振动方向相同。：两个简谐振动振动方向相同。 同频率同频率：两个简谐振动的圆频率相同。：两个简谐振动的圆频率相同。 两个简谐振动的运动方程分

39、别为：两个简谐振动的运动方程分别为：)cos(111 tAx)cos(222 tAx 、 表示在同一直线上距同一平衡位置的位移。表示在同一直线上距同一平衡位置的位移。合振动仍在同一直线上，且等于两个分振动的代数和。合振动仍在同一直线上，且等于两个分振动的代数和。仍为同方向、同频率的简谐振动。仍为同方向、同频率的简谐振动。2x1x21xxx一、合成：一、合成：（a）解析法：）解析法：)cos()cos(2211tAtAx)cos(tA（b）旋转矢量法：）旋转矢量法：ox1A2A12A2x1xx11|AoA22|AoA0t 初相位：初相位：12旋转矢量法以矢量末端在旋转矢量法以矢量末端在 轴上的投

40、影点的轨迹轴上的投影点的轨迹表示简谐振动。表示简谐振动。xox1A2A12A2x1xx由图可见由图可见 x = x1 + x2 coscoscos2211AAA sinsinsin2211AAA 22112211coscossinsintanAAAA两式相比得：两式相比得：)cos(2|12212221AAAAAoA 合振动的振幅和初相位分别为：合振动的振幅和初相位分别为：)cos(212212221 AAAAA221122111coscossinsintanAAAA可见：合振幅不仅与两分振动的振幅有关，可见：合振幅不仅与两分振动的振幅有关，而且还与二者的相位差有关。而且还与二者的相位差有关。

41、（C）特例：）特例：（1）相位相同时：）相位相同时：当相位差当相位差 k212 （ ）时，）时， , 2, 1, 0k这时有这时有 于是：于是：1)cos(12 21212221max2AAAAAAA21maxAAA 相位差为相位差为 的偶数倍时，合振动的振幅为两个的偶数倍时，合振动的振幅为两个分振动振幅之和，振动加强，称两个振动同相位或分振动振幅之和，振动加强，称两个振动同相位或步调一致。步调一致。（2）相位相反：）相位相反： )12(12 k当相位差当相位差1)cos(12 这时有这时有21212221min2AAAAAAA于是于是（ ）时，）时， , 2, 1, 0k 相位差为相位差为

42、的奇数倍时，合振动的振幅为两个的奇数倍时，合振动的振幅为两个分振动振幅之差的绝对值，振动减弱（相消）的，分振动振幅之差的绝对值，振动减弱（相消）的，称两个振动反相或相位相反。称两个振动反相或相位相反。21minAAA二、多个同方向同频率简谐振动的合成：二、多个同方向同频率简谐振动的合成： 多个同方向同频率简谐振动多个同方向同频率简谐振动 、 、 、 的合的合成，成， 用旋转矢量法：用旋转矢量法：1x2x3x 321oAoAoAoA 321xxxx 由矢量的三角形法则，依次两由矢量的三角形法则，依次两两合成。两合成。xoA1A2A3A4A5A例例14 图中所示为两个简谐振动的振动曲线。若以余图中

43、所示为两个简谐振动的振动曲线。若以余弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为为._21 xx08. 004. 01x2x)(mx)(stO21已知：已知：mA08. 01mA04. 0220cos11110 Ax0sin1110Av2120cos22220 Ax0sin2220Av22)/(22sradTsT)cos(tAx)(2cos(08. 01mtx)(2cos(04. 02mtx)cos(212212221 AAAAA221122111coscossinsintanAAAAmAAA04. 0212)(1tg)(2cos(04. 0m

44、tx10vxo20vmAAA04. 0|21例例15两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 ，与第一个简谐振动的相位差为与第一个简谐振动的相位差为 ，若第一个简谐振动，若第一个简谐振动的振幅为的振幅为 ，则第二个简谐振动的振幅为多少？第一、二，则第二个简谐振动的振幅为多少？第一、二两个简谐振动的相位差两个简谐振动的相位差 为多少？为多少？cm206/1cm31021已知：已知：cmA206/1cmA3101?,122A求提示：作旋转矢量图。提示：作旋转矢量图。)6/cos(212122AAAAAmcm1 . 010ox16/2A1AA0)cos

45、()cos(212122122212AAAAA212例例.一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别为：一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别为：),3cos(01 tAx)35cos(02 tAx)cos(03 tAx和和试计算其合振动的运动方程。试计算其合振动的运动方程。解：设解：设 x12 = x1 + x2 = A12cos(t+12)020202012)3135cos(2AAAAA 035cos3cos35sin3sintan0000112AAAA)cos(012tAx 即即：0)0cos(2202020 AAAA所以，其合振动为：所以，其合振动为：x = 0再设再设

46、 x = x1 + x2 + x3 = x 12 + x3 = Acos(t+)1A2A3A21AAA 3 35 本章小结本章小结简谐振动：物体在平衡位置附近作来回往复的周期简谐振动：物体在平衡位置附近作来回往复的周期 性运动。性运动。平衡位置：物体所受合外力为零的位置。平衡位置：物体所受合外力为零的位置。简谐振动的特征简谐振动的特征：（：（1）物体所受合外力与位移成）物体所受合外力与位移成正比，方向相反。（正比，方向相反。（2）加速度与位移成正比，方向）加速度与位移成正比，方向相反。相反。0222xdtxd运动方程为：运动方程为：)cos(tAx,),(,tTA)cos(2tAa)sin(t

47、Av旋转矢量表示法：旋转矢量表示法：两类为题：判断简谐振动、确定两类为题：判断简谐振动、确定 、 、 。A简谐振动能量：简谐振动能量：222121kxmvEEEPk)(cos21)(sin2122222tkAtAmmk2221kA动能势能相互转化，机械能守恒。动能势能相互转化，机械能守恒。)cos(212212221 AAAAA221122111coscossinsintanAAAA两个同方向同频率简谐振动的合成（旋转矢量法）两个同方向同频率简谐振动的合成（旋转矢量法）例例1、一简谐振动曲线如图所示。则振动周期是、一简谐振动曲线如图所示。则振动周期是 （A）2.62 s （B）2.40 s （

48、C）0.42 s （D）0.382 s B解：当解：当 t = 0 时时 x = 2 有有因为因为 v 向向 x 轴正向，轴正向， 所以所以 cos42 21cos 3 当当 t = 1 时时 x = 0 有有0),3cos(40v即即23 65 )(40. 25122sT t1x 420)3cos(4tx例例2、一质点作简谐振动，周期为、一质点作简谐振动，周期为T，它由二分之一最大位移它由二分之一最大位移处（向处（向 x 轴正方向运动），运动到最大位移处所需要的时间为轴正方向运动），运动到最大位移处所需要的时间为： （A）T / 4 （B）T /12 （C）T / 6 （D）T / 8 6233TTt T 2 Cx3 t例例3、有两相同的弹簧，其倔强系数均为、有两相同的弹簧，其倔强系数均为 k 。求：求： （1）把它们串联起来，下面挂一个质量为）把它们串联起来，下面挂一个质量为 m 的重物，此系统的重物，此系统作简谐振动的周期。作简谐振动的周期。 （2）把它们并联起来，下面挂一个质量为）把它们并联起来，下面挂一个质量为 m 的重物，此系统的重物，此系统作简谐振动的周期。作简谐振动的周期。xx解：求等效倔强系数解：求等效倔强系数串联：串联：