量子力学第二章2

1、NoImage第二章第二章 一维势场一维势场我们的目标是-算命n“三岁看老”n行星的运动-微分方程的胜利n海王星“从笔尖下发现的行星”微分方程的简单例子n斜抛运动n1.方程n2.初始条件GdtrdmGam22,就是)0( tv给定预测的两个要素n一、普遍规律n 微分方程n二、具体条件n 初始条件哲学名词：决定论n普遍存在因果联系和规律性n未来可以据此预测。n量子力学是不是决定论的？虽然粒子出现的地点不是，概率是完全决定的。量子力学中的算命：初值问题n两个要素任何时刻的预测（初值问题）dvtrtrtrEqSdingeroSchr | ),(| ),()0,(.) .( 概率力学量平均值得到对波函

2、数的命运（具体的出发点）初始条件（规律）方程Schrodinger方程222.( , )( ) ( , )2( , )( , ).( , )() ( , )2( , )( , )S Eqr tiV rr ttmHTVr tiHr ttS Eqp tpiV ip ttmpp tiHp tt 坐标空间中的引入记号就是：动量空间中的就是：Schrodinger方程不同的方程，不同在哪里？不同在于势。),(212),(21)(),(2),(0)(),()(2),(22222222222trkxxmttrikxxVtxxmttxixVtxxVxmttxi一维谐振子自由粒子一维情况总的进攻路线力学量平均值

3、概率分布),()0 ,(. .trrEqS具体的进攻路线局部图-能量本征方程局部图-含时部分局部图-初始条件及展开局部图-总装具体的进攻路线n具体详解请记住：这里唯一重要的就是前面的路线图。我们唯一的目标就是把这路子走通。研究一种简单的情况n波函数含有坐标和时间。n简单情形：n条件：n如果V(r)不显含时间，则波函数可以分开为两个独立部分。简单情况的结论EtiEEEEetfrErHrtfrtrtrrVmttriEqS)()()()()()(),(),()(2),(.22（能量本征方程）求出由方程其解为：坐标空间中的上述结论的推导下面开始重要的另外一步n搞定能量本征方程最为关键的任务：能量本征方

4、程n要求解能量本征方程n顾名思义，就是解方程。n和线性代数中的求解本征方程类似，最后的解有配对的两个部分：n1.能量本征值n2.本征函数族n需要注意的是：n一般而言，这样的配对（能量本征值、本征函数）有不止一对（两对、三对，甚至无数对）)()(rErHEE能量本征方程)()()()()()()()(10rErHrEnrrrErHrnnnnnnnnnEEE。和一个对应的本征函数，有一个本征值对应一个或者函数都是一个族一般而言，求得的本征（能量本征方程）求出由方程Luckily.n有些事情不需要做。n只需要记忆。n需要记忆的只有寥寥几个而已。能量本征方程的例子n1.无限深势阱22222 , 022

5、-,.6 , 4 , 2 )sin(2,.5 , 3 , 1 )cos(2)(manEaxanaxnanaxnaxnn对应能量本征值为坐标原点在中心。质一样。形式上和书上不同，实其它地方0-a/2a/2-a/2a/20能量本征方程的例子n1.无限深势阱22222 , 00 , )sin(2)(manEelsewhereaxaxnaxnn对应能量本征值为实质一样。坐标原点在左边，因坐标原点选取不同，形式上和前面不同，皆0-a/2a/2-a/2a/20能量本征方程的例子n2.谐振子,.)2 , 1 , 0()21(E)(21)()(n02nnxmkkxxVmnn能量本征值为能量本征函数为自然频率质

6、量一维谐振子能量本征方程的求解n实质是求解常微分方程n数学问题，不应该成为障碍。能量本征方程，再总结一下)()()()()()()()(10rErHrEnrrrErHrnnnnnnnnnEEE。和一个对应的本征函数，有一个本征值对应一个或者函数都是一个族一般而言，求得的本征（能量本征方程）求出由方程给图添点东西除了基本概念，除了基本概念，要记忆总共要记忆总共3个个具体案例。具体案例。下面是另外一步n展开初始条件（就是t=0时刻波函数）的问题。初始条件的展开n关于“展开”的回忆。n泰勒展开初始条件的展开n关于展开的回忆n傅里叶展开初始条件的展开n以前的：n都是用某一个函数的“族”来展开一个已知的

7、函数。n将要的：n依然是用“本征函数族”来展开咱们的初始波函数。初始条件的展开两个问题：两个问题：1.能不能？能不能？2.能了，那该咋整？能了，那该咋整？初始条件的展开n能展开。n展开定理：任意波函数，都可以用本征函数族来展开。来展开。也可以用，所以，叫作展开系数nnnnnnnrrcrcr)()0( , )()(展开：能了，咋个实现？n即展开系数怎么求？n利用能量本征函数的正交归一性。lmmllmmlmlnnmlifmlifrrdvrrr),( , 0 , 1)()()(),()(*简记为：则必有：态）是本征函数（也叫本征能量本征函数。是一族已经归一化了的体会一下正交归一性n考虑l=1,m=1

8、的情况n这种情况，说明了什么问题？n考虑l=1,m=2的情况n这种情况，和l=4,m=9的情况，有何相同之处？展开怎么实现？. , )()0 ,(210？怎么求？怎么求？怎么求请考虑：cccrcrnnn展开怎么实现？记号请证明),( , )()0 ,(*mmmnnndVcrcr再给图添点东西除了基本概念，除了基本概念，要记忆总共要记忆总共3个个具体案例。具体案例。正交归一性正交归一性展开的总结n每个系数就是求一个积分而已。展开式的归一化问题？1|)()()()(1)( , )()(2,*,*3,*nnnmnmnmnmnmnmnmnnmmnnncccccrrrdrcrcdVdVdVrrcr一性根

9、据本征函数的正交归另一方面已经归一化，则如果1| , )()(2nnnnncrcr就是已经归一化的充要条件函数已被本征函数展开的波1|)()()()(1, 1| , )()(*2,*,*3,*2dVcccccrrrdrcrcdVdVdVcrcrnnnmnmnmnmnmnmnmnnmmnnnnn根据已知条件有一性根据本征函数的正交归注意到现在要证如果学到这里n是不是可以回到原来的地图上，在原来的积分归一化的旁边，n加上新的归一化的方法呢？下面，练习一下展开这一步。n说白了，展开就是把所有的系数都求出来。n所以，原则上要计算无穷多个积分。n但是，练习1：在势阱中的粒子?),( 2| ),cos()

10、sin(21 (1)0 ,(txaxaxaxiax练习1：在势阱中的粒子 2| ),cos()sin(21 (1)0 ,(axaxaxiax有没有特殊性？提示：看看题给波函数要求到天荒地老？只是这样求积分，似乎根据前面，。这个式子中全部的系数下面式子数来展开，就是要给出题给波函数要用上述函根据题意，本征函数为)0 ,()0 ,(,()0 ,(,.6 , 4 , 2 )sin(2,.5 , 3 , 1 )cos(2*1xdxxcccxnaxnanaxnannnnnnnn练习1：在势阱中的粒子易见。是否已经归一化？则展开已经完成。展开.)(0)(0)( 2)(21)( 2)(21)( )( )2s

11、in(221)cos(221)cos()sin(21 (1)0 ,(43212121xxxixxixxxaxaiaxaaxaxiax练习2：一维谐振子。来展开请用谐振子的本征函数为实数，且满足：与为谐振子的本征函数，和其中，时刻波函数为已知谐振子)0 ,(1)()()()()0 ,(0222020202200 xccccxxxcxcx练习2：一维谐振子太菜。并且已经归一化。因为容易看出，已经展开为实数，且满足：与为谐振子的本征函数，和其中，时刻波函数为已知谐振子.)(0)(0)()()0 ,(1)()()()()0 ,(0432200222020202200 xxxcxcxccccxxxcxc

12、x关于展开的小小总结n两种类型：n1.其实已经是展开了的（具体例子：势阱；谐振子）；n2.确实需要实际计算的。加入时间因素（一）n给展开了的初始条件加入时间因素n这就是我们需要的解。加入时间因素（二）n还得学点名词之类的。加入时间因素（二）n定态解：直接给本征函数加入对应的时间因素得到的解。n定态解是方程的解（请自行验证）n定态解就是初始时刻位于能量本征态的解（请自行验证）。n定态解的基本性质（3条）n注意，定态解是解，但是还有好多解不是定态解。n最简单的例子：定态解的线性叠加就是解，但不是定态解。再给图添点东西除了基本概念，除了基本概念，要记忆总共要记忆总共3个个具体案例。具体案例。正交归一

13、性正交归一性其实是用定态解其实是用定态解“拼拼”出任意时刻出任意时刻的波函数。的波函数。定态解定态解1.是解是解2.是初始时刻是初始时刻为能本函数的解。为能本函数的解。练习3：在势阱中的粒子?),( 2| ),cos()sin(21 (1)0 ,(txaxaxaxiax练习3：在势阱中的粒子tiEtiEexiextxccxxxixxixaxaxiax21)( 2)(21),() 1|(.)(0)(0)( 2)(21)( 2)(21)cos()sin(21 (1)0 ,(212221432121加入时间因素：符合已经归一化展开练习4：一维谐振子。求为实数，且满足：与为谐振子的本征函数，和其中，时

14、刻波函数为已知谐振子),(1)()()()()0 ,(0222020202200txccccxxxcxcx练习4：一维谐振子tiEtiEexcexctxxcxcx20)()(),()()()0 ,(022002200加入时间因素：并且已经归一化？时刻波函数为已知谐振子第五周作业1?),(sin)cos1 (58)0 ,()0(txaxaxaxax中，粒子在无限深势阱第五周作业2n本题只要求进行力所能及的思考，然后写下思考过程即可。n（本题来自今天课间一位同学的提问）n教材习题1.3和习题1.4的完全求解有一点难度，但是如果要考研的同学必须自己学会。n那么问题来了：n这两道题，你怎么看？n思路如

15、何？n你能做到什么程度？作业1?),(sin)cos1 (58)0 ,()0(txaxaxaxax中，粒子在无限深势阱麻省理工的试题tiEtiEexextxaxaaxaaxaxax21)(51)(54),(51542sin52sin58sin)cos1 (58)0 ,(2121函数族请注意选择合适的本征考研的同学注意了n简称“原来存在，某时刻突然消失的极其狭窄的势阱”n0时刻之前，微观粒子处在一个极为狭窄的势阱中。0时刻，此势阱突然消失。n求此后该粒子波函数随时间的变化。解法n本质上还是一个初始时刻波函数展开的问题。n1.初始时刻的波函数，“极为狭窄”怎么理解？由此决定了波函数怎么取。n可考虑

16、函数。n2.要用哪一个本征函数族来展开初始波函数呢？n消失之后的势是什么？由此决定的S方程是什么？n自然：用自由粒子本征函数来展开即可。解题的总结：n分清点菜n坚守菜谱初值问题的菜谱n1.根据势能写清楚S. Eq.。n2.把能量本征问题的答案写清楚（本征函数和对应本征值都要交代清楚）n3.初始波函数归一化。n4.写清楚初始条件展开的过程（有两种情况，分别对待），进行正确计算。n5.加入时间因素，得到任意时刻的波函数。初值问题会有衍生题型n都是老问题：n1.归一化n2.概率分布相关n3.平均值（看菜谱）来一点变化n变宽的势阱（习题2.5）n请严格按照地图来做。？。瞬间，宽度能级。，处于的势阱宽度

17、),(20)0(, 01txatEaxat变宽的势阱，请抄写出来。解：本征问题已经搞定变宽的势阱222222228)20( ,2sin1)(2)0( ,sin2)(manEaxaxaxormanEaxaxaxnnnn，请抄写出来。解：本征问题已经搞定变宽的势阱22228)20( ,2sin1)(,20manEaxaxaxann所以选时刻之后，势阱宽度为由于，请抄写出来。解：本征问题已经搞定变宽的势阱出来。解：初始条件，请抄写变宽的势阱)0( ,sin2)0 ,(axaxax解：初始条件变宽的势阱请自己画一个图。解：初始条件)2( , 0)0( ,sin2)0 ,(axaaxaxax变宽的势阱0

18、sin2sin2)0 ,(),()0 ,()(01annnndxaxaxnaxxcxx展开系数。来展开解：使用变宽的势阱ntiEannnannanexctxxcx)2()(),()()0 ,()2()2(加入时间因素：。解：话题n其实上面那题的积分，可以用软件来做的。MathematicaMathematicaMathematica继续复习：能量平均值n在我们已经求得任意时刻波函数的基础上，如何求任何一个时刻能量的平均值？n请回忆求平均值的方法。能量平均值nnnnnnnnmmnntiEtiEnmnmnmntiEtiEnmnnmtiEtiEnmnmntiEnnnntiEmmntiEnnnmtiE

19、mmntiEnnmtiEmmEcEccEeccxxdVEeccEexxccdVexcEexcdVexcEexcdVexcHexcdVHdVEnmnmnmnmnmnm2*,*,*,*|)()()()()()()()()()(能量平均值nnnEcE2|温故：看看我们的疆界地图要扩展了更为宏大的n更为宏大的本征值问题n更为宏大的展开问题n更为宏大的测量问题更广泛的展开问题n回顾：已经学过的是用能量本征函数展开任意的波函数。n算符的本征函数还有其它更重要的意义。n比如，几乎所有算符的本征函数都可以用来展开任意的波函数。n而且归一化了的展开系数也是有概率的意义在里面。量子力学基本假定n迄今为止，3个假定

20、。n下面要深入、全面地学习一下。假定一：波函数的假定是任意的复常数。、也是体系的一个态，们的线性叠加是体系的状态，那么他，设）态的叠加原理：（找到粒子的概率中正比于在体元）波函数的统计诠释：（时间和空间的复值函数一般是函数完全描述，波函数）微观体系的状态用波（2122112123| ),(|2),(1ccccdvdvtrtr假定二：薛定谔方程的假定),()(2),(.),()(2),(.),(),(.222tppiVmpttpiEqStrrVmttriEqSVTHtrHttriEqS动量空间中的坐标空间中的哈密顿算符：决定：变化由微观体系状态随时间的假定三：测量的假定下述。有概率的含义，具体见

21、，此时，各则有已经归一化，。如果的本征函数展开，即用）将（和对应的本征值然后得到本征函数解本征方程：的本征值问题，就是求）先求出（：，计算测量结果的方法学量状态，若对体系测量力设体系处于2211|1|)()()()(2)()()(1)(nnnnnnnnnnnnnccrrcrArArrArAAAr假定三：测量的假定。对应的本征态本征值化，进入由之后，体系也发生了变值的体系测量，得到本征当对在状态）波函数的坍缩（的平均值另外，测得力学量。已经归一化），就是假设的概率是可以确知的（得各个本征值，对于测般是无法确定的。当然体是哪一个本征值，一对于本次测量的结果具测量之前，的诸本征值之一。但是学量得到的

22、结果，必定为力测量力学量kkknnnnnAAAcAAAcAAA3|),( |22测量的假定的值，结果是？下测量的本征态如果在力学量AAn测量的假定。这是本征态的特殊之处定的。测量，得到的结果是确换句话说，在本征态下。一样的，都是，测得的值都是，而且每一次测不但平均值为（为什么？），所以的概率为另一方面，测得对应的本征值。平均值就是这个本征态下测该力学量，得到的在力学量的某个本征态也就是说简单套公式的值，结果是？下测量的本征态如果在力学量mmmmmmmAAAAAAAA1),(测量的假定n举例：n在能量本征态下测能量，测得的值是确定的，就是对应能量本征态的那个本征值。练习题n一个简单的测量问题。，

23、请问测的结果？态下的系统测量力学量）对于在（测得的结果是？次，最后一次量，又测了对测量后的系统继续测，接着量，测得态下的系统测量哈密顿）对在（）能量平均值为？（能值和相应概率？态下测量哈密顿量的可）在（）归一化条件？（。对应本征值为为能量本征函数，AEExcxcxcii5104321),()()(2332211练习题iiiiiiiEccEcccExcxcxc22232221332211|3|,21|1),()()(）能量平均值为（。对应概率为能值为各假设已经归一化，则可能值和相应概率？态下测量哈密顿量的可）在（简单：）归一化条件？（。对应本征值为为能量本征函数，练习题。）就是概率（假设已经归一

24、化。的本征值之一是那么测得的可能值只能的本征函数展开，用：要把记得严格按照测量假定，请问测的结果？态下的系统测量力学量）对于在（。次后，结果还是。所以波函数都不变：不管那一次测量，。根据测量假定，其后，波函数必然坍缩，即直接按照假定来，测得测得的结果是？次，最后一次量，又测了对测量后的系统继续测，接着量，测得态下的系统测量哈密顿）对在（222222|,510104mmmmmaAAaAAEEE再强调n一、基本假定，接受就是。n二、测量就是这么回事儿。n再复习一下。n请注意，后面还要回过来做测量的习题，这部分重要。回到变宽的势阱（教材习题2。5）的值式中的概率，那么就是展开能量仍为解：教材习题中求

25、的是2)2(22222222)(1)2(222cEammaEaa回到变宽的势阱（教材习题2。5）2122sin2sin20sin22sin2)0 ,(),(0202022aaaaxdaxaadxaxadxaxaxaxxc）（）（解：。的概率是能量还是这表明：21)(1aE回顾求平均值的方法n目前的菜谱有几种？请自行总结。求平均值的方法n一、用波函数通过积分直接求。n二、如果是可以展开的（用啥子东西展开？你可要弄清楚才行），那么可以求出展开系数，然后用求和的方式来做。n三、两种方法有没有啥子联系？一维势场中的粒子（教材2.1）n一维势场中的粒子，有一些新的基本概念，而且还会有一些特殊的性质，需要

26、单独研究一下。一维势场中的粒子tiEnnnnnnnnnextxxVxVxExxVdxdmxExHtxxVxmtxti)(),()()()()()(2)()(),()(2),(*2222定态解为：况（势能是实函数）的情今后，只研究就是：本征方程为：一维势场中的粒子n一、基本概念（必考）n1.简并n（1）相同的波函数n如果两个波函数只相差一个常数因子n（2）简并的波函数n如果两个波函数不相同，但是又能满足对应相同能量本征值的本征方程，则它们是简并的。这相当于一个本征方程对应一个本征值有多于一个的解（波函数）。注意：简并的波函数怎么用符号表示？再加一个标号即可。一维势场中的粒子n2.束缚态n如果粒子

27、只出现在有限的空间中，则粒子处于束缚态，描写它的波函数是束缚态的波函数。0)(,|xx一维势场中的粒子n3.宇称n（1）波函数如果满足n则叫做“具有偶宇称”，其实就是偶函数。n（2）波函数如果满足n则叫做“具有奇宇称”，其实就是奇函数。)()(xx)()(xx需要记忆的一维能量本征态能量本征态的一些结论必定不简并。束缚态，则波函数无奇点）运动，且处于设粒子在规则势场中（有确定的宇称。并，那么的解无简，且属于本征值即具有空间反射对称性，若也是。程的解，那么是能量本征方，则若即具有空间反射对称性，若）（请思考该结论的含义可以取为实解。，则这个解，本征方程的解无简并如果对应本征值。也是解，且本征值也

28、是的解，那么是本征方程本征值为设，即前提：势能是实值函数)()(. 5)()- ()()(. 4)- ()()- ()()(. 3)(. 2)()(. 1)()(. 0*xxVxExVxVxVxxxVxVxVxEExExxVxV在考虑证明之前n对于我们已知的：n一维无限深势阱n一维谐振子n上述定理可以告诉我们什么？n用具体的例子来验证一些定理，是学习它们的好方法。证明n就不需要鸟。请考虑使用上述结论证明下列命题n（1）一维势场中的粒子，如果势函数具有对称性，且解无简并，则能量本征态下坐标的平均值为0.n对不对？n如果对，可以用在哪里？可以回顾一下。n（2）一维束缚本征态下，动量的平均值为0。n

29、对不对？n如果对，可以用在哪里？可以回顾一下。推荐一种方法来破解n你可能有点晕吧？n看看如果用画图的方法效果如何？证明0)()()()()()() 1 (2*xxxdxxxxxdxxxxVxV所以积分区间对称，势函数具有对称性被积函数为奇函数，又实函数考虑到波函数可以取成为奇函数或者偶函数。即能量本征函数之一。即是奇宇称或者偶宇称波函数有确定的宇称，证明。均值是实数，所以只有物理上有意义的动量平实数。这个结果必然是可以取成实函数波函数本征函数不简并束缚本征态0)()()()()()()()()2(pixdxdxdxixdxdixdxxpxdxpx命题的应用n1.命题1n注意：成立的条件-本征态

30、n2.命题2n注意：成立的条件可以更宽一些，束缚态下实的波函数都满足（你能证明吗？）。能量本征值问题再总结一下)()()()()()()()(10rErHrEnrrrErHrnnnnnnnnnEEE。和一个对应的本征函数，有一个本征值对应一个或者函数都是一个族一般而言，求得的本征（能量本征方程）求出由方程本征值问题无限深方势阱（2.2）n前面已经讲过，这里仅仅复习一下。无限深势阱22222 , 022-,.6 , 4 , 2 )sin(2,.5 , 3 , 1 )cos(2)(manEaxanaxnanaxnaxnn对应能量本征值为坐标原点在中心。质一样。形式上和书上不同，实其它地方0-a/2a/2-a/2a/20-a/2a/2-a/2a/20无限深势阱22222 , 00 , )sin(2)(manEelsewhereaxaxnaxnn对应能量本征值为实质一样。坐标原点在左边，因坐标原点选取不同，形式上和前面不同