数学：1变化率与导数-新人教A版选修2-2ppt课件

1、1.1.1 变化率问题1.1.变化率变化率 一个变量相对于另一个变量的变化一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率而变化的快慢程度叫做变化率 问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容量的增加随着气球内空气容量的增加,气球气球的半径增加越来越慢的半径增加越来越慢.从数学角度从数学角度,如何描述如何描述这种现象呢这种现象呢? 问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm) 之间的函数关系是之间的函数关系是3 34 4V V( (

2、r r) )= = r r3 3 如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数, 那么那么3 33V3Vr(V)=r(V)=4 4 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/ )1 00.62rrdm L(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/ )2 10.16rrdm L 显然显然0.620.1633( )4Vr V分析一下分析一下: :考虑? 当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平均膨气球的平均膨胀率是多少胀率是多少?2121()()r

3、 Vr VVV33( )4Vr V 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,运动员相对于水面的高运动员相对于水面的高度度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t单位：秒单位：秒) )存存在函数关系在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. h(t)=-4.9t2+6.5t+10.hto问题问题2 高台跳水高台跳水 如果用运动员在某段如果用运动员在某段时间内的平均速度粗略地时间内的平均速度粗略地描述其运动状态描述其运动状态, ,那么那么htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10分析一下分析一下: : 当t从0增加到0.5时,平均速度为(0.5)(0)4.05(

4、/ )0.5 0hhvm s 当t从1增加到2时,平均速度为(2)(1)8.2( / )2 1hhvm s考虑? 当时间从当时间从t1增加到增加到t2时时,运动员的平均平运动员的平均平均速度是多少均速度是多少?2121( )( )h th ttth(t)=-4.9t2+6.5t+10若设若设x=x2x1, y=f(x2)f(x1)121)()f xxx2f(x2121f(x )-f(x )y=xx -xl 上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示我们称之为函数我们称之为函数f(x)从从x1到到x2的平均变化率的平均变化率2.2.平均变化率的定义平均变化率的定义这里这里x是

5、是x1的一个的一个“增量增量” ：x2x1+x ; y是是(x1)的一个的一个“增量增量” : f(x2)=f(x1) +y .则平均变化率为则平均变化率为11f(x + x)-f(x )=x 观察函数观察函数f(x)的图象，平均变化率的图象，平均变化率 表示什么表示什么?2121()()f xf xyxxxOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y割线割线ABAB的斜率的斜率考虑考虑? ?3.3.平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义 例、例、 设函数设函数f(x)=2x, 当从当从2变到变到1.9时时,求求x和和 y.解解 x1.9-0.1

6、yf(1.9)f(2)0.2(4)(2) 42sssvt解(3 4 1)(3 2 1)32 : )( )31,24.ss tttv例 位移s(t)(单位:m)与时间t(单位的关 系为: 求 从 到 的平均速度 例、求例、求y=x2在在x=x0附近的平均变化率附近的平均变化率.00()()解 f xxf xyxx22000(xx)x= 2xxx+ 1、 过过y=x3上两点上两点P1，1)、Q(1+x,1+y)作割线，当作割线，当x=2时时, 求求 (1) 点点Q的坐标的坐标; (2) y的值的值; (3) 割线割线PQ的斜率的斜率.解 (1) Q(3, 27)，(3) 13PQk练习练习(2) 26y 2 2、在高台跳水运动中、在高台跳水运动中, ,运动员相对于水面的运动员相对于水面的高度高度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t单位：秒单位：秒) )存在函数关系存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. h(t)=-4.9t2+6.5t+10.练习练习当当t t从从2 2 变到变到2+2+t t 时时, ,求运动的平均速度求运动的平均速度. .22 4.9( + t) + 6.