题型突破三　立体几何综合问题——2022届高考数学二轮复习（word版含答案）

1、题型突破立体几何综合问题1.如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形.A1A=6,且A1A底面ABCD.点P,Q分别在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中点,证明AB1PQ;(2)若PQ平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为37,求四面体A-DPQ的体积.2.九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1 000多年.在九章算术中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵;阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,ABAC.(1)求证:四棱锥B -

2、A1ACC1为阳马;(2)若C1C=BC=2,当鳖臑C1 -ABC体积最大时,求二面角C-A1B -C1的余弦值.3.(2021山东烟台二中高三三模)在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,AA1=2AB=2.求:(1)BC到平面ADC1B1的距离;(2)二面角B1-AD-E1的余弦值.4.在如图所示的组合体中,ABCD -A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P平面CC1D1D,且PD=PC=2.(1)证明PD平面PBC;(2)求PA与平面ABCD所成角的正切值;(3)当AA1的长为何值时,PC平面AB1D?5.已知四棱锥S-ABCD的底面

3、ABCD是菱形,ABC=3,SA底面ABCD,E是SC上的任意一点.(1)求证:平面EBD平面SAC;(2)设SA=AB=2,是否存在点E使平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30?如果存在,求出点E的位置;如果不存在,请说明理由.6.已知四边形ABCD满足ADBC,BA=AD=DC=12BC=a,E是BC的中点,将BAE沿AE翻折成B1AE,使平面B1AE平面AECD,F为B1D的中点.(1)求四棱锥B1-AECD的体积;(2)证明B1E平面ACF;(3)求平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值.答案：1.解:由题设知,AA1,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,

4、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0m6.(1)证明:若P是DD1的中点,则P0,92,3,PQ=6,m-92,-3.又AB1=(3,0,6),于是AB1PQ=18-18=0,所以AB1PQ,即AB1PQ.(2)由题设知,DQ=(6,m-6,0),DD1=(0,-3,6)是平面PQD内的两个不共线向量.设n1=(x,y,z)是平面PQD的法向量,则n1DQ=0,n1DD1=0,即6x+(m-6)y=0,-3y+6z=0.取y=6,得n1

5、=(6-m,6,3)为平面PQD的一个法向量.又平面AQD的一个法向量是n2=(0,0,1),所以cos=n1n2|n1|n2|=31(6-m)2+62+32=3(6-m)2+45 .而二面角P-QD-A的余弦值为37,因此3(6-m)2+45=37,解得m=4或m=8(舍去),此时Q(6,4,0).设DP=DD1(01),而DD1=(0,-3,6),由此得点P(0,6-3,6),所以PQ=(6,3-2,-6).因为PQ平面ABB1A1,且平面ABB1A1的一个法向量是n3=(0,1,0),所以PQn3=0,即3-2=0,亦即=23,从而P(0,4,4).于是,将四面体A-DPQ视为以ADQ为

6、底面的三棱锥P-ADQ,则其高h=4.故四面体A-DPQ的体积V=13SADQh=1312664=24.2.(1)证明:A1A平面ABC,AB平面ABC,A1AAB.又ABAC,A1AAC=A,AB平面ACC1A1.又四边形ACC1A1为矩形,四棱锥B -A1ACC1为阳马.(2)解:ABAC,BC=2,AB2+AC2=4.又C1C底面ABC,且C1C=2,VC1-ABC=13C1C12ABAC=13ABAC13AB2+AC22=23,当且仅当AB=AC=2时,等号成立.ABAC,A1A底面ABC,以A为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2)

7、,C1(0,2,2),A1B=(2,0,-2),BC=(-2,2,0),A1C1=(0,2,0).设平面A1BC的法向量为n1=(x,y,z),由n1A1B=0,n1BC=0,得2x-2z=0,-2x+2y=0,令x=2,则y=2,z=1,故n1=(2,2,1)为平面A1BC的一个法向量.同理,平面A1BC1的一个法向量为n2=(2,0,1).cos=n1n2|n1|n2|=155.由图可知,二面角C-A1B-C1的平面角为锐角.故二面角C-A1B -C1的余弦值为155.3.解:(1)连接AE,因为六边形ABCDEF为正六边形,所以AFE=DEF=120,AF=EF,所以AEF=30,故AE

8、D=90.因为EE1底面ABCDEF,不妨以点E为坐标原点,EA,ED,EE1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则A(3,0,0),B(3,1,0),D(0,1,0),B1(3,1,2),E1(0,0,2).在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,BB1CC1且BB1=CC1,所以四边形BB1C1C为平行四边形,则BCB1C1.因为BC平面ADC1B1,B1C1平面ADC1B1,所以BC平面ADC1B1,所以BC到平面ADC1B1的距离等于点B到平面ADC1B1的距离.设平面ADC1B1的法向量为m=(x1,y1,z1).因为AD=(-3,1,0),AB1

9、=(0,1,2),所以mAD=-3x1+y1=0,mAB1=y1+2z1=0,取y1=23,则m=(2,23,-3)为平面ADC1B1的一个法向量,又AB=(0,1,0),所以直线BC到平面ADC1B1的距离d=|ABm|m|=2319=25719.(2)设平面ADE1的法向量为n=(x2,y2,z2),因为AD=(-3,1,0),DE1=(0,-1,2),所以nAD=-3x2+y2=0,nDE1=-y2+2z2=0,取y2=23,则n=(2,23,3)为平面ADE1的一个法向量,所以cos=mn|m|n|=1319.由图可知,二面角B1-AD-E1为锐二面角,所以二面角B1-AD-E1的余弦

10、值为1319.4.(1)证明:如图,建立空间直角坐标系.设棱长AA1=a,则点D(0,0,a),P(0,1,a+1),B(3,2,a),C(0,2,a).于是PD=(0,-1,-1),PB=(3,1,-1),PC=(0,1,-1),所以PDPB=0,PDPC=0.所以PDPB,PDPC.所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和PB,由线面垂直的判定定理,得PD平面PBC.(2)解:因为点A(3,0,a),PA=(3,-1,-1),而平面ABCD的一个法向量为n1=(0,0,1),所以cos=-1111=-1111.所以PA与平面ABCD所成角的正弦值为1111.所以PA与平面ABCD所成

11、角的正切值为1010.(3)解:因为点D(0,0,a),B1(3,2,0),A(3,0,a),所以DA=(3,0,0),AB1=(0,2,-a).设平面AB1D的法向量为n2=(x,y,z),则有DAn2=3x=0,AB1n2=2y-az=0,令z=2,可得平面AB1D的一个法向量为n2=(0,a,2).若要使得PC平面AB1D,则要PCn2,即PCn2=a-2=0,解得a=2.所以当AA1=2时,PC平面AB1D.5.(1)证明:SA平面ABCD,BD平面ABCD,SABD.四边形ABCD是菱形,ACBD.ACAS=A,BD平面SAC.又BD平面EBD,平面EBD平面SAC.(2)解:设AC

12、与BD的交点为O,以OC,OD所在直线分别为x轴、y轴,以过O垂直平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系(如图).则点A(-1,0,0),C(1,0,0),S(-1,0,2),B(0,-3,0),D(0,3,0).设点E(x,0,z),则SE=(x+1,0,z-2),EC=(1-x,0,-z),设SE=EC,x=-1+1,z=2+1.E-1+1,0,2+1.DE=-1+1,-3,2+1,BD=(0,23,0).设平面BDE的法向量n=(x1,y1,z1),可得nDE,nBD,nDE=0,nBD=0,即-1+1x1-3y1+2+1z1=0,23y1=0, 令x1=2,可得z1=1-.故n=(

13、2,0,1-)为平面BDE的一个法向量.同理可得平面SAD的一个法向量为m=(3,-1,0).平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30,cos 30=|mn|m|n|=|(3,-1,0)(2,0,1-)|24+(1-)2=32,解得=1.E为SC的中点.6.(1)解:如图,取AE的中点M,连接B1M.由题意可知,AB1E为等边三角形,且AE=a,所以B1MAE,B1M=32a.又因为平面B1AE平面AECD,所以B1M平面AECD,所以四棱锥B1-AECD的体积V=1332aaasin3=a34.(2)证明:连接ED交AC于点O,连接OF,因为四边形AECD为菱形,OE=OD,所以FOB1E,所以B1E平面ACF.(3)解:连接MD,则AMD=90,分别以ME,MD,MB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,则点Ea2,0,0,Ca,32a,0,A-a2,0,0,D0,32a,0,B10,0,32a,所以EC=a