抛物线第一课时

1、9.7抛物线（第一课时）自主梳理1.相等焦点准线典型例题【例1】解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.解将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=坂6.6>2,A在抛物线内部.1设抛物线上点p到准线i：x=2的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PALl时,|PA|十d最小,最小值为:，即|pa|十f|的最小值为7，此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,.点P坐标为（2,2）.【变式1】A点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，|PF|+|PQ|=|PS|+|

2、PQ|,故最小值在S,P,Q三点共线时取得，此时P,Q的纵坐标都是一1,点P的坐标为（4，1口【例2】解题导引（1）求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法.若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p的值).解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用.解方法一设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则焦点为F0,-P)

3、准线方程为y=p.M(m,3)在抛物线上，且|MF|=5,m2=6p,r.p=4,i-解得，-二mJm+3+2J=5，m=母46.二抛物线方程为x2=8y,m=立<6,准线方程为y=2.方法二如图所示，设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则焦点Fo,-p准线l：y=p,作MN，l,垂足为N.则|MN|=|MF|=5,而|MN|=3+p,3+p=5,p=4.2抛物线方程为x2=8y,准线方程为y=2.由m2=(-8)X(-3),得m=±246.【变式2解左顶点为为y2=-22(1)双曲线方程化为Xt太=1,916(3,0),由题意设抛物线方程2px(p>0)且p=

4、3,p=6.，方程为y2=-12x.(2)由于P(2,-4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2=mx(m>0)或x2=ny(n<0),代入P点坐标求得m=8,n=-1,，所求抛物线方程为y2=8x或x2=y.【例3】解题导引解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质.焦点弦有以下重要性质(AB为焦点弦，以y2=2px(p>0)为例)：2yiy2=p2,xix2=p；|AB|=xi+x2+p.证明(1)方法一由抛物线的方程可得焦点坐标为Fp,0；设过焦点F的直线交抛物线于A,B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,V2).当斜率存在时，

5、过焦点的直线方程可设为y=k-p)y=kCp】由5yI2，消去x,得ky2-2py-kp2=0.(*)2-、y=2px,当k=0时，方程(*)只有一解，kw0,由韦达定理，得y1y2=p2;当斜率不存在时，得两交点坐标为g,pg,-p/,Wy2=p2.综合两种情况，总有y1y2=p2.方法二由抛物线方程可得焦点F(p,0)设直线AB的方程为x=ky+p,并设A(x1,y1)，B(x2,y2),x=kv+p,八f则A、B坐标满足S72消去x,可得y2=2p,y+；卜、y2=2px,整理,得y22pkyp2=0,yiy2=-p2.(2)直线AC的方程为y=7x,xi2.点c坐标为卜p,T,yc黄=

6、尹22xi，2xi2pxi点A(xi,yi)在抛物线上，y2=2pxi.又由(i)知，yiy2=-p2,.yc=yjyryi=y2,，BC/x轴.yi证明(i).y2=2px(p>0)的焦点F(p,0：,设直线方程为y=kx-pj(kw0),由!yG2jy2=2px消去x,得ky2-2py-kp2=0.22yiy2=-p2,xix2=4,2当k不存在时，直线方程为x=p,这时xix2=p.242因此，xix2=pH1成立.4i_J_i_ixi+x2+p(2)|AF|+|BF|=p+p=pp2.xi+2x2+2xix2+2(xi+x2142又xix2=：，代入上式得AF/需1=p=常数，所

7、以|AF|为定值.链接高考1. Cy=2x4,x=1,x=4,2. D方法一由弋2得S或1y=4x,y=2y=4.令B(1,2),A(4,4),又F(1,0),，由两点间距离公式得|BF|=2,|AF|=5,|AB|=35.|BF|2+|AF|2一|AB|24+25-454,cosZAFB=一2|BF|AF|2X2X55.方法二由方法一得A(4,4),B(1,2),F(1,0),FA=(3,4),FB=(0,2),|FA|=>/32+42=5,|FB|=2.5X2|FA|FB|.cos/AFB=-FA-FB-=32巩固提升A组一、选择题1. D因为抛物线的准线方程为x=-2,所以p=2,

8、所以p=4,所以抛物线的方程是y2=8x.所以选D.2. B3.C4.B二、填空题5. #-1解析如图所示，若圆C的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x=3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a<3),则圆的方程为(xa)2+y2=(3a)2,与抛物线方程y2=2x联立得x2+(2-2a)x+6a-9=0,由判别式A=(2-2a)2-4(6a-9)=0,得a=4乖，故此时半径为3(4寸6)=。61.6 .42解析由题意可设AB的方程为y=kx+m,与抛物线方程联立得x2-4kx-4m=0,线段AB中点坐标为(2,2),Xi+X2=4k=4,得k=1.Xyi+y2=k(xi+X2)+2m=

9、4,m=0.从而直线AB:y=x,|AB|=2|OM|=472.7 .乎解析抛物线的焦点F的坐标为g,0线段FA的中点B的坐标为g,1代入抛物线方程得1=2pX3解得p=V2,故点b的坐标为42,1)故点b到该抛物线准线的距离为乎+乎=乎.三、解答题8 .解设直线和抛物线交于点A(xi,必)，B(x2,丫2),(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2=2px(p>0),：y2=2px则i，消去y得，4x2-(2p-4)x+1=0,y=2x+1Xi+X2=|AB|=71+k2|xiX2|=V5叱xi+X224xiX2则7号-P=第p2-4p-12=0,解得p=6(p=2舍去)，抛物线方

10、程为y2=12x.(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y2=2px(p>0),仿(1)不难求出p=2,此时抛物线方程为y2=4x.综上可得，所求的抛物线方程为y2=4或y2=12x.9.证明因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y=kx+2,A(xi,yi),B(x2,y2),y=kx+2,由S12可得x2-8kx-16=0,ly=8x，x1+x2=8k,x1x2=16.抛物线方程为y=；x2,求导得y=；x.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是.11111_k1“x1,k24x2,k1k24x17x2/<5x1x21.444416所以AQXBQ.B组一、选择题1.

11、C如图所示，A,B两点关于x轴对称,F点坐标为(p,0),设A(m,寸2pm)(m>0),则由抛物线定义，|AF|=|AAi|,即m+p=|AF|.又|AF|=|AB|=22pm,2m+p=2y2pm,整理，得m27pm+p"=0,2A=(7p)24X%48p2>0,，方程有两相异实根，记为mm2,2p一且mi+m2=7p>0,mim2=4>0,mi>0,m2>0,n=2.2. C二、填空题3. 14，1/过P作PK±l（l为抛物线的准线）于K,则|PF|=|PK|,.|PA|+|PF|=|PA|+|PK|.，当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|十|PK|最小,此时P点的纵坐标为1,把y=1代入y2=4x,得x=4,即当P点的坐标为1，1,忖，|PA|十|PF|最小.4. （1,±2）三、解答题5.解（1）由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，所求轨迹的方程为x2=4y.由题意直线l2的方程为y=kx+1,与抛物线方程联立消去y得x24kx4=0.记P(X1,y1),Q(X2,y2),则X1+X2=4k,X1X2=4.因为直