经济数学在极坐标系下二重积分的计算学习教案

1、会计学1经济经济(jngj)数学在极坐标系下二重积分的数学在极坐标系下二重积分的计算计算第一页，共30页。.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf （3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要的二重积分需要(xyo)进行进行“三换三换”： rdrddxdyDDryrxrxysincos第1页/共29页第二页，共30页。二、二、 极坐标系下的二重积分极坐标系下的二重积分(jfn)化为二次化为二次积分积分(jfn)的的上上下下限限关关键键是是定定出出 , r的的上上下下限限：定定 用两条过极点的射线用两条过极点的射线

2、(shxin)夹平面夹平面区域，区域，由两射线由两射线(shxin)的倾角得到其上下的倾角得到其上下限限的的上上下下限限：定定r任意作过极点的半射线与平面任意作过极点的半射线与平面(pngmin)区域相交，区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限由穿进点，穿出点的极径得到其上下限将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算积分仍然需要化为二次积分来计算第2页/共29页第三页，共30页。.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(（1）区域）区域(qy)

3、如图如图1, ).()(21 r具体具体(jt)地（如图）地（如图）图图1第3页/共29页第四页，共30页。（2）区域）区域(qy)如图如图2, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r图图2第4页/共29页第五页，共30页。AoD.)sin,cos()(0 rdrrrfd（3）区域）区域(qy)如图如图3, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos()(r图图3第5页/共29页第六页，共30页。 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd（4）区域）区域(qy

4、)如图如图4).(0 rDoA,2 0)(r图图4第6页/共29页第七页，共30页。 如果积分区域如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数积函数(hnsh)f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算形式，利用极坐标常能简化计算.通常出现下面通常出现下面(xi mian)两类两类问题：问题：1.将直角坐标将直角坐标(zh jio zu bio)系下的二重积分转化为极坐系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：标系下的二重积分，需依下列步骤进行：(1) 将 代入被积函数.sin,cosryrx(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的

5、表达式，确定相应的积分限.(3) 将面积元dxdy换为 .ddrr第7页/共29页第八页，共30页。2.将极坐标系下的二重积分转化将极坐标系下的二重积分转化(zhunhu)为直角坐为直角坐标系下的二重积分步骤与标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进相似，只需依反方向进行行.第8页/共29页第九页，共30页。1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r,( , )d dDf x yx y 2110sincosd( cos , sin ) d .f rrr r 第9页/共29页第十页，共30页

6、。解解在在极极坐坐标标系系下下D：ar 0， 20.22d dxyDex y 2200ddarer r ).1(2ae 第10页/共29页第十一页，共30页。例例3计算二重积分计算二重积分,22 Ddxdyxy其中其中D是由曲线是由曲线所围成的平面所围成的平面(pngmin)(pngmin)区域区域. .解解以以1 1为半径为半径(bnjng)(bnjng)的圆域的圆域, ,xyx222 积分区域积分区域D是以点是以点(1,0)为圆心为圆心, ,如图如图. .其边界曲线其边界曲线(qxin)的极坐标方程为的极坐标方程为.cos2 r于是区域于是区域D的积分限为的积分限为,22 .cos20 r

7、所以所以Oxycos2 r 第11页/共29页第十二页，共30页。所以所以(suy) Ddxdyxy22 Drdrdrr 2222cossin 222sin2 d 22)2cos1( d. rdrd cos202222cossin第12页/共29页第十三页，共30页。解解由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分， 注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性.2222sin()d dDxyx yxy 2201sin4ddrr rr . 4 14DD 1D第13页/共29页第十四页，共30页。解解32 61 sin4 r sin2 r22()d dDxyx y 364

8、sin22sinddrr r ).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy第14页/共29页第十五页，共30页。解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)()(222222yxayx ,2cos ar 40 ,2cos0 ar 第15页/共29页第十六页，共30页。 所求面积所求面积 Ddxdy 14Ddxdy22cos0044ardrda 第16页/共29页第十七页，共30页。解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D第17页/共29页第十八页，共3

9、0页。由由,2cos2 arar 得交点得交点(jiodin),6, aA 2cos2604aardrd 6022cos4 da.332 a故所求面积故所求面积(min j) Ddxdy 14Ddxdy 14Drdrd 第18页/共29页第十九页，共30页。解解)0,( yx那那部部分分立立体体的的体体积积。所所截截得得含含在在圆圆柱柱面面内内的的被被圆圆柱柱面面求求球球体体例例 )0(24 8222222 aaxyxazyx倍倍，限限部部分分立立体体体体积积的的为为第第一一卦卦由由对对称称性性，所所求求体体积积4VaxyxD2:22 dxdyyxaVD 22244. ,2acos 20D r

10、，0：在极系下：在极系下：（如图）（如图）xzy第19页/共29页第二十页，共30页。cos2ar o2aDdxdyyxaVD 22244从而从而rdrrada 20cos202244 2033)sin1(332da)322(3323 a 注注意意：被被积积函函数数和和区区域域的的对对称称性性.第20页/共29页第二十一页，共30页。(1) 二重积分化为累次积分的方法(fngf)直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)系情形系情形 : 若积分(jfn)区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),

11、(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD第21页/共29页第二十二页，共30页。)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrfddrrDo)(1r)(2r第22页/共29页第二十三页，共30页。 画出积分(jfn)域 选择(xunz)坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便根据域边界定坐标被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式充分利用对称性应用换元公式第23页/共29页第二十四页，共30页。练练 习习 题题第24页/共29页第