数学史著名公式定理在初中数学中的运用版含答案解析

1、数学史著名公式定理在初中数学的运用2018.71.我们把1,1,2,3,5,8,13,21,这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依。?次以这列数为半径作90圆弧？?？，？?？，？?？，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结?,?,?,得到螺旋折线(如图)，已知点?(0,1),?(-1,0),?(0,-1),则2.3.4.该折线上的点？?的坐标为()A.(-6,24)B.(-6,25)C.(-5,24)D.(-5,25)阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V,E,F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有？?-?+?=2.这个发现，就是著名

2、的欧拉定理.根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12,棱数是30,则其顶点数为.数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想.4=2+2;12=5+7;6=3+3;14=3+11=7+7;8=3+5;16=3+13=5+11;10=3+7=5+518=5+13=7+11;通过这组等式，你发现的规律是(请用文字语言表达).斐波那契数列”是这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,(从第3个数开始，每个数是前面两个数的和).斐波那契螺旋线”是以斐波那契数位边的正方形拼成的长方形，然后再正方形里面画一个90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如图1,自

3、然界中有许多动植物是按照斐波那契螺旋线的规律生长.图2是小明用1,1,2,3,5,8”构成的斐波那契螺旋线，则小明构造的斐波那契螺旋线的长度为.5.背景资料：在已知?航在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为费马点”.如图，当?个内角均小于120°时，费马点P在?,此时/?/?/?120,此时，?+?+?尚值最小.解决问题：(1)如图，等边?有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求/?度数.为了解决本题，我们可以将?顶点A旋转到?!',此时?'?沱

4、样就可以利用旋转变换，将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出/?；基本运用：(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：如图，?,Z?90,?=?E,F为BC上的点，且Z?45,判断BE,EF,FC之间的数量关系并证明；能力提升：(3)如图,在？?帘，/?90,?=1,/?30,点P为？?？的费马点，连接AP,BP,CP,求？?+?值.6.用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S,该多边形各边上1的格点个数和为a,内部的格点个数为b,则？?=?台？1(史称“皮克公式”).

5、小明认真研究了皮克公式”，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1,小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：(1)根据图中提供的信息填表:格点多边形各边上的格点的个数多边形18多边形27一般格点多边形a格点多边形内部的格点个数格点多边形的面积13bS（2）则S与a、b之间的关系为？N（用含a、b的代数式表示）.7 .请阅读下列材料，并完成相应的任务:阿基米德折弦定理阿基米德（？?更87-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.阿拉伯？?？?？-105

6、0年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据？?Q?W?B版了俄文版阿基米德全集，第一题就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理：如图1,AB和BC是。？御两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），?>?M是？?中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即?=?+?不面是运用截长法”证明？?+?部分证明过程.证明：如图2,在CB上截取？?连接MA,MB,MC和MG.,？?是？?？?？中点,.?=?任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图3,已知等边?好于。？?=2,D为？?力一点，Z?45,?L?点E,则?周长是.8 .问题探究：

7、【1】新知学习(1)梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.(2)梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.一.,?(3)形如分式(？的常数，且？>0),若？?>0,则某与；，并且有下列结论：?.当x逐渐增大时，分母？?+2?循渐增大，分式的值逐渐减少并趋于0,但仍大于?*2?，.?一一0.当X逐渐减少时，分母？?+2?舞渐减少，分式的值逐渐增大并趋于，即趋?+2?2?一1.一，一1于一，但仍小于一.22【2】问题解决一如图2,已知在梯形ABCD中，？?？?<?,?E、F分别是AB、CD的中点.?施边形?(1)设?=7,?=17,求:;的值

8、.?泗边形？?？?？?施边形?？(2)设？?为正的常数)，？?=?请问：当BC的长不断增大时，-的值西边形?能否大于或等于3,试证明你的结论.【3】问题解决二进一步猜想：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是什么,并说明理由.数学史著名公式定理在初中数学的运用2018.7【答案】1. B2. 203. 所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和4.19?25.1506. ?+2(?1)7. 2+228. 问题解决一解：（1）设梯形ADFE的高为h,则梯形BCFE的高为h,.?F分别是AB、CD的中点，.,.?梯形ABCD的中位线，.?=2(?=2(7+17)=12,CC1?

9、1边形？?？2(12+17)?29，1，一=1=一?施边形？?？2(7+12)?19（2）当BC的长不断增大时,?边形?他边形?.的值不能大于或等于3;理由如下:?.?F分别是AB、CD的中点,.,.?梯形ABCD的中位线，.,.?=1(?=1(?.,2/,2/?CC1?边形？?？,？"？）？3?由（1）得：?边形？?=?:?=打?3?.当BC的长x不断增大时，后?的分子?3?逐渐增大并趋于，即趋于3,但仍小于3;?的边形?.当BC的长不断增大时，石的值不能大于或等于3;,何边形?1而小于3；问题解决二解：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于理由如下：由

10、(2)得:?施边形？?？?+3?也边形？?？3?<3,当x逐渐减少时，分母3?+?逐渐减少，x趋于a,贝U?+3?趋于4a,3?仔？趋于4a,?他边形?+3?=乔江的值趋于1但大于1,四边形?？面边形?§1而小于3.?面边形?故任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于1 .解：由题意，？?在？的正上方，推出？?在？的正上方，且到？的距离=21+5=26,所以？?的坐标为(-6,25),故选：B.观察图象，推出？?的位置，即可解决问题.本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定？?的位置.2 .解：由题意可得，？?-30+12=2,解得？

11、?=20.故答案为：20直接把面数、棱数代入公式，即可求得顶点数.此题考查欧拉公式的应用，直接代入计算即可.3 .解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和根据以上等式得出规律进行解答即可.此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可.4 .解：小明构造的斐波那契螺旋线的长度为：90?1?90?90?90?5?90?_90?9_19?180180180180180=180=2,故答案为:19?2,根据弧长公式计算这5段弧的长度之和即可.本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键.5 .解：(1)

12、.*?.?='?=3、?=?=4、/?=/?由题意知旋转角/?=60,.*?的等边三角形，P?=?=3,/?'=?50,易证?'为直角三角形，且/?'?90,/?/?=/?'+?'=?60+90=150;故答案为：150°(2) ?'2=?+?,理由如下：如图2,把?点A逆时针旋转90彳导至IJ?A.由旋转的性质得，？?=?=?/?'/?也？?'/?/?90?45,./?=?/?/?/_?/?也?90-45=45,/?/?',?在?'冲?？?=?'/?/?；?=?.*?，？?？)?.?&#

13、39;=?./?90,?=?./?/?45,/?'=?45+45=90,由勾股定理得，?2?+?,即？?？=?+?为(3)如图3,将?点B顺时针旋转60至?'?处,？连接?'.在？?？曲，/?90,?=1,/?30,，？2,.?-?=3,.投?点B顺时针方向旋转60,/?'=?60=30+60=90,./?90,?=1,Z?30,，？=2?=2投?点B顺时针方向旋转60,得到?'?'?.?'=?=2,?'?'=?'?,?.M?等边三角形，.?'/?/?='60?,./?/?/?120,.?也?/?+

14、2?7?=1物+60=.?P、?、'?四点共线,7,在?？，？帘,？?，=?/+?=（3）2+22.?+?+?=?'+?+?=?'=?7.(1)根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；(2)把?点A逆时针旋转90°得到?根据旋转的性质可得？?=?=?/?/?/?/?90,再求出/?'?45,从而得到/?/?'?然后利用边角边”证明?'?海，根据全等三角形对应边相等可得？?再利用勾股定理列式即可得证.将?点B顺时针旋转60°至4?'?处,？连接

15、？?？'根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出？?？2?即？的朱，再根据旋转的性质求出?等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得？?等边三角形三个角都是60。求出/?/?=6?,然后求出C、P、？?、？?四点共线，再利用勾股定理列式求出？，？从而得到?+?+?=?'.?本题考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.6.解：填表如下：格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形1818多边形27311一般

16、格点多边形abS则S与a、b之间的关系为？?=?+2(?1)(用含a、b的代数式表示).根据8=8+2(1-1),11=7+2(3-1)得到？?=?+2(?1).考查了作图-应用与设计作图.此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律.寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算.7.(1)证明：如图2,在CB上截取？?连接MA,MB,MC和MG.?是?中点，.?=?在?=?/?/?=?.*?.?=?又.？，？?？，？=?=?+?=?+?(2)解：如图3,截取？?连接AF,AD,CD,由题意可得：？?/?/?在?=?/?/?=?，*?.?.?!_?.?=?则？?=?45,.?=拳=2,则?周长是2+22.故答案为：2+22.(1)首先证明?进而得出？?=?再利用等腰三角形的性质得出?=?即可得出答案；(2)首先证明?(?进而得出？=?以及？+?=?进而求出DE的长即可得出答案.此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键.8.问题解决一(1)设梯形ADFE的高为h,则梯形BCFE的高为h,证出EF是梯形ABCD的中位线，由梯1形中位线定理得出？?？?/?=-(?+?=12,由梯形面积公式即可得出答案；cc111?边形?7)(?+?+?(2)由梯形中位线定理得出？?=2(?+