数学分析13二元函数的连续性

1、第十六章多元函数的极限与连续3二元函数的连续性一、二元函数的连续性概念定义1:设f为定义在点集D?R2上的二元函数，P06D(聚点或孤立点).对于任给正数e,总存在相应的正数S,只要P6UKPo；anD,就有|f(P)-f(Po)|<£,则称f关于集合D在点Po连续.在不致误解的情况下，也称f在点Po连续.若f在D上任何点都关于集合D连续，则称f为D上的连续函数.注：若Po是D的孤立点，则必为f关于D的连续点；若Po是D的聚点，则f关于D在R连续等价于limf(P)=f(P0),PPoPD若!mf(Pkf(P。)，则聚点b是f的不连续点(或称间断点).PPoPD若mf(P)=A

2、？f(Po),则B是f的可去间断点.PPoPD22xy如：函数f(x,y)=x2+xy+y2和f(x,y)=xyP""y(x,y)(0,0)o，(x,y)(0,0)2在原点连续；函数f(x,y)=10上,x,x在原点不连续;o,其余部分xy-2，(x,y)(x,y)|ymx,x0函数f(x,y)=xy,m为固定实数，(x,y)(0,0)1m即f只定义在直线y=mx上，:limf(x,y尸二f(0,0),(x,y)(0,0)1m2ymx.f在原点沿着直线y=mx连续.夕(0,0),(介0注点(0,0)的连续性.(0,0)x,、例1:讨论函数f(x,y)=3一尸(x,y)0，(

3、x,y)解：对函数自变量作极坐标变换得x=rcos6y=rsin(|),则(x,y)-(0,0)等价于对任何0都有r-0.0,a2aaa.当(x,y)?(0,0)时，=LLJ一不存在，a2,(r-0)；xyry,0a2当介2时，f在点(0,0渔续;当032时,f在点(0,0)间断.定义2:设P0(x0,y0),P(x,y)6D,x=x-x),Ay=y-yj,则称z=Af(x0,y0)=f(x,y)-f(x0,y0)=f(x0+Ax,y0+Ay)-f(x0,y。)为函数f在点Po的全增量.当limzz=0时，f在点P0连续.(x,y)(xo,yo)(x,y)D若在全增量中取4乂=0或丫=。,则相

4、应的函数增量称为偏增量，记作:f(xo,yo)=(xo+Ax,y0)-f(xo,yo),f(x0,y0)=(x3,y0+Ay)-f(x0,yo).注：一般函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.lxm04f(x0,y0)=0表示固定y=yo时，f(x,yo)作为x的一元函数在xo连续.同理，1职07%,丫0)=0表示f(xo,y)在yo连续.但二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性.例：f(x,y)=1xy0在原点处不连续，但f(0,y)=f(x,0)=0,即0,xy0在原点处f对x和对y都连续.定理16.7:(复合函数白连续性)设函数u=(|)(x,y)和v=6(x,y)在xy

5、平面上点PO(x0,y0)的某邻域内有定义，并在点P0连续；函数f(u,v)在uv平面上点Q0(U0,v。)的某邻域内有定义，并在点Q0连续，其中U0=0(x0,y。),V0=6(x0,y°),则复合函数g(x,y)=f(|)(x,y),6(x,y)在点P0也连续.证：由f在点Q0连续知，？80,?谓0,使彳#当|u-U0|<n|v-v0|<刀时,有|f(u,v)-f(u0,v0)|<&又由也少在点B连续知，对上述正数不？心0,使得当|x-x0|<5,|y-y0|<S时,都有|u-u0|=|(|)(x,y)-(|)(x0,y0)|<刀，|v

6、-v0|=|6(x,y)-6(x0,y0)|<5即当|x-x0|<S,|y-y°|<S时,就有|g(x,y)-g(x0,y0)|=|f(u,v)-f(u0,v°)|<e,.复合函数f0(x,y),Wx,y)在点P0也连续.二、有界闭域上连续函数的性质定理16.8:(有界性与最大、最小值定理)若函数f在有界闭域D?R2上连续，则f在D上有界，且能取得最大值与最小值.证：若f在D上无界，则对每个正整数n,必存在点R6D,使得|f(Pn)|>n,n=1,2,-.于是得到一个有界点列R?D,且总能使Pn中有无穷多个不同的点，由定理16.3知，Pn存在收

7、敛子列Pn,记limPnk=Pb,二口是闭域，.P06D,又f在D上连续，klimf(Pnk)=f(B),与|f(Pn)|>n,n=1,2,矛盾,.f在D上有界.k设m=inff(D),M=supf(D),若对任意P6D,有M-f(P)>0,记F(P)=m；p),则函数F(P连续，恒有F(P)>0F在D上有界，由设f不能在D上达到上确界M,存在收敛点列Pn?D,使得limf(Pn)=M,于是有limF(R)=+o,与F在D上有界矛盾，.f在D上有最大值M;同理可证，f在D上有最小值m.定理16.9:(一致连续性定理)若函数f在有界闭域D?R2上连续，则f在D上一致连续，即对任

8、给的60,总存在只依赖于e的正数S,使得对一切点PQ6D,只要KPQ)<S,就有|f(P)-f(Q)|<&证：若f在D上连续而不一致连续，则存在某©>0,对任意小的0,如取法工，n=1,2,，总有相应的Pn,Qn6D,虽然p(R,Qn)<,，但是nn|f(Pn)-f(Qn)|>O为有界闭域，存在收敛子列Pn？R,记limPnk=P06D,并在Qn中取出与Pnk下标相同的子列Qnk,则kCKKPnk,Qnk)<0,k0°,limQnk=imPnk=p0,又kkkknkkk由f在P0连续，.lim|f(Pnk)-f(Qnk)|=|f(

9、P0)-f(P0)|=0,k与|f(Pn)f(Qnk)|A©>0矛盾！在D上一致连续.定理16.10:(介值性定理)设函数f在区域D?R2上连续，若Pi,P2为D中任意两点，f(R)<f(R),则对任何满足不等式f(P1)<冈(田的实数为必存在点P06D,使得f(代尸比证：记F(P)=f(P)-乩P6D,则F(P在D上连续,且F(R)<0<F.不妨设Pi屏为D的内点，:D为区域，.D中有限折线可联结Pi,R,若某一联结点P。：有F(F0)=0,则f(Po)=w得证；否则，必存在某联结线段Q1Q2两端的函数值异号，设Q1Q2所在直线方程为：xx1t(X2-

10、Xl),0<tw1,其中Qi(xi,yi)和Q2(x2,y2)为线段两端点；yyit(y2-yi)则在此线段上，F表示为关于t的复合函数：G(t)=F(x+t(x2-xi),yi+t(y2-yi),0<t<i,在0,i一元连续，且F(Qi)=G(0)<0<G(i)=F(Q,由一元函数根的存在定理知，在(0,i)内存在一点t0,使得G(t0)=0.记x0=xi+t0(x2-xi),y0=yi+t0(y2-yi),则有P0(x0,y0)6D,使得F(R)=G(tD)=0,即f(B)="注：定理i6.8与定理i6.9的有界闭域D可改变有界闭集；为了保证连通性，

11、定理i6.i0只适合区域，且由介值性定理可知，区f在区域D上连续，则f(D)必定是一个区间(有限或无限).习题i、讨论下列函数的连续性:sinxy(i)f(x,y)=tan(x2+y2);f(x,y)=x+y;(3)f(x,y)=y'y0,ysinxy(4)f(x,y)=x2y2'0,2y2y0；(5)f(x,y)=0y，0x为无理数x为有理数2,22、22x(6)f(x,y)=yln(xy)'、y20；(7)f(x,y)=;(8)f(x,y)=e0,xy0sinxsiny解：(1)记D=(x,y)|0<x2+y2<-2u(x,y)|2-1庐/+/<2

12、：1兀k6N,当(xo,yo)6D时，由tanu在U0=x?+y02连续知,lim(x,y)(x0,y°)tan(x2+y2)=limtanu=tanu0=tan(x02+y02),.f(x,y)在(M,y。)连续，即f(x,y)在D上连续,又f在R2-D上无定义，在R2-D上处处间断.(2)记D=(x,y)|k<x+y<k+1,k6Z,且P°(x0,y0)6D,则存在k6Z,使k<x3+w<k+1,于是当心0充分小时，对任意的(x,y)6U(P0;就有k<x+y<k+1,从而f(x,y)4MCxo,yo),lmf(x,y)=f(xo,y

13、o),(x,y)(XoAo).f在D上连续，在R2-D(即x+y=k处处不连续.(3).方凶，.(叫00f(x,y)=0=f(0,0),.f(x,y)在点(0,0)连续.又当V丰0时，f(x,y)是初等函数且在(x,y)|y?0有定义，.f(x,y)在D=(x,y)|y?0U(0,0)上连续.又在任一点(刈,0了(0,0)处，.f(xo,O)=O而limf(x,y/0,1.f在(xo,O)间断，即f仅在D上连续.(x,y)(xo,O)(4)当V+y2*。时，44&|x|，(xy)m(oo)f(x,y)=O=f(O,O),xv .f(x,y)在点(0,0)连续.又f(x,y)在R2-(0

14、,0)上有定义且为初等函数, .f(x,y)在R2上连续.(5)设(xo,yo)6R2,则当xo为有理数时，1f仪初-仪刈尸附吩丫o1=|Vo'彳二：；|y-y01,x力切埋数当X0为无理数时,|f(x,y)-f(x0,y0)|=|f(x,y)|=0,X为无理数|y|,X为有理数 当且仅当y°=0时limf(x,y)=f(X0,y°),即(X，y)(x0，y0)f仅在D=(x,y)|y=0上连续.(6)在x2+y2*0的点处，f是初等函数且有定义，又|y2ln(x2+y2)|<|(x2+y2)ln(x2+y2)|-0,(x,y卢(0,0),即(,啊00)收丫)

15、=0=0,0),：收丫)在R2上连续.(x，y)(U,)(7)直线x=m兀及y=nk(m,n=0,±1,±2,)上的点均为f的不连续点.而在D=(x,y)/n兀或丰n兀nN上f有定义且为初等函数，.f仅在D上连续，即除直线x=m兀及y=n兀以外的点，f都连续.(8).3=-1在其定义域D=y|y?0上连续，又f=eu关于u连续,由复合函数的连续性知f在其定义域D上连续.2、叙述并证明二元连续函数的局部保号性.解：局部保号性：若函数f(x,y)在点P0(x0,y°)连续，且f(x0,y0)#0,则函数f(x,y)在点P。的某一邻域U(R;a内与f(x0,y。)同号，

16、并存在某正数r(|f(x0,y0)|>r),使得对任意(x,y)6U(B;0,有|f(x,y)|Ar>0.证明如下:设f(x0,y0)>0,则存在r,使f(x0,y0)>r>0,取»f(x0,y0)-r>0,由f在(R,y。)连续知,?心0,使彳导当(x,y)6U(R;涧,有|f(x,y)-f(x0,y0)|<e=f(x0,y0)-r,即当(x,y)6U(P0;?时，f(x,y)>f(x0,y0)-Fr>0.当f(x0,y0)<0时，任取0<r<-f(x0,y。),由上可知存在U(R;a,使得在其上-f(x,y)

17、nr>0,即f(x,y)<-r<0.、兀工xx23、设f(x,y)=x2y2p0,x2.f在U(P0；?上与f(X0,y0)同号，且|f(x,y)|>r>0.0,p>0,讨论它在点(0,0)处的连续性.1p212,(x,y尸(0,0);1200,0解：当x2+y2?0时，21*2P可14|-Ipx2y2，p1.当0Vp<5时i)imf(x,y)=0=f(0,0),f在(0,0)连续;2(x，y)(U,U)当pn1时，f在(0,0)不连续.24、设f(x,y)定义在闭矩形域S=a,bxc,d上.若f对y在c,d上处处连续，对x在a,b上(且关于y)为一致

18、连续，证明f在S上处处连续.证：设(M,y0)6S,对固定的x0,f为y的连续函数，即？>0,?8>0,当|y-y0|<8,且(x0,y)6s时，有|f(x0,y)-f(x0,y0)|<：,又由f对x关于y为一致连续，.对上述的>0,?&>0,对满足|y-y01V也的任何y,只要|x-x0|<也，且(x,y)6S,便有|f(x,y)-f(x0,y)|<取8=minW,辿,则只要|x-x0|<3|y-y01VS,且(x,y)6S,总有|f(x,y)-f(x0,y0)|<|f(x,y)-f(x0,y)|+|f(x0,y)-f(x0

19、,y0)|<&在S上连续.5、证明：若D?R2是有界闭域，f为D上的连续函数，且f不是常数函数，则f(D)不仅有界，而且是闭区间.证：若f在D上恒为常数，则f(D)为单点集，从而有界.若f在D上不恒为常数，由定理16.8知：f在D上有界且能取得最大值、最小值，分别设为M,m,则m<M且m<f(P)<M,(P6D),即f(D)?m,M.下证f(D)?m,M.任给武m,M,由介值定理知，必存在P06D使f(P0)=内.武f(D),.f(D)?m,M,、尸旧川为闭区间.6、设f(x,y)在a,bxc,d上连续，又有函数列Mx)在a,b上一致收敛，且c<a(x)w

20、d,x6a,b,k=1,2,.试证Fk(x)=f(x,0k(x)在a,b上也一致收敛.证：.f(x,yD=a,bxc,d上连续，.对任意(x。"。)6D,?皿?»0,使得当|x-xo|<S,|y-y01VS,且(x,y)6D时,有|f(x,y)-f(xo,yo)|<£想(x)应a,b上一致收敛,对上述S,?N,使得当n,m>N时,对一切x6a,b,有|(|)n(x)-(|)m(x)|<S由c<想(x)wd,xa,b,k=1,2,知,0n(x),0m(x)6c,d.又f(x,y)在(x,M(x)6D连续,对(x,0n(x)6D及上述8弓

21、N,有x6a,b,|x-x|=0<8,|(|)n(x)-(|)m(x)|<S,.|f(x,(|)n(x)-f(x,(|)m(x)|=|Fn(x)-Fm(x)|<&:Fk(x)=f(x,(Mx)在a,b上也一致收敛.7、设f(x,y)在区域G?R2上对x连续，对y满足利普希茨条件：|f(x,y)-f(x,y")|<L|y'-y”|,其中(x,y),(x,y")6G,L为常数.试证明：f在G上处处连续.证：f(x,y)在区域G?R2上对x连续，任取F0(x0,y0)6G,固定y0,?80,?所>0,使得对(x,y0)6G,当|x-x

22、0|<8时，有|f(x,y0)-f(X0,y0)|<：又f对y满足利普希茨条件，对上述邑取讯，则当|y-y01V也时，2L有|心,丫)1便丫0)|01|丫-丫0|<1也=.取8=minSi,豺，当|x-x0|<S,|y-y01VS,|f(x,y)-f(x0,y0)|<|f(x,y)-f(x,y0)|+|f(x,y0)-f(x0,y0)|<1+：=£f在R(x0,y0)连续，由P0的任意性知，f在G上处处连续.8、若一元函数(|)(x)在a,b上连续，令f(x,y)=(|)(x),(x,y)D=a,bx(-oo,+°°).试讨论f

23、在D上是否连续，是否一致连续？解：(1)任取(x0,y0)6D,0(x)在a,b上连续，从而检)对x。连续，?80,?心0,使当xa,b且|x-x0|<S时，有|0(x)-d(x0)|<二当|x-x0|<S,|y-y01VS且(x,y)6D时,|f(x,y)-f(x0,y°)|=|0(x)-0(x0)|<即f(x,y)在(x0,y0)连续，从而在D上连续.(2)0(x渔a,b上连续,从而一致连续.？80,?心0,使当x：x"6a,b且|x'-x”|<S时，|(|)(x)-(|)(x")|<&,从而当(x:y),(x",y")6D且|x'-x"|<S,|y'-y”|<S时，有x',x"6a,b且|x'-x”|<S,从而|f(x：y)-f(x",y")|=|0(x)-0(x")|<e,.f在D上一致连续.9、设f(x,y)=：,(