数值分析小结【计算方法】

1、第六章数值积分学习小结一、本章知识梳理求积公式及其代数精度：数值求积公式的一般形式:nf(x)dx%kn)k=0f(Xk)截断误差:Rn=f(X)dXJkf(Xk)ak=0数值求积公式是一种近似方法，因此，要求它对尽可能多的被积函数f能准确计算积分的值，这就有了代数精度的概念。定义：对于上面所列的求积公式，当f(x)为任何次数不高于m的多项式时都成为等式，而当f(x)为某个m+1次多项式时不能成为等式，则称它具有m次代数精度。插值型求积公式：f(x)dx八ak=0(n)”%(Xk)其中kb=lk(x)dx(k=0,1,.,n)a截断误差:Rnbf(nd)(')n口(x-Xj)dxa(n

2、1)!jwj定理：n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。Newton-Cotes求积公式:求积公式:bf(x)dx工kaf(akk=0b-a)n其中(n)1k(b-a)ckn)(k=0,1,.,n)ckn)(1)n*k!(n_k)!n0i(t-j)dtj=0j=kRn(n1)!f(n1)()(t-j)dt梯形公式（n=1）:bb-af(x)dx丁f(a)f(b)a2(b-a)3R=一(bf”()，(a,b)12Simpson公式(n=2):b.b-a.ab.f(x)dx-f(a)4f(-)+f(b)a62r2=-(b'a)f()，(a,b)2880Simpson3/8公式(

3、n=3):b,b-ar2aba2braf(x)dx；f(a)3f()3f(k)f(b)R3(b-a)56480f（），(a,b)Cotes公式(n=4):bb-aaf(x)dx=7f32"3ab)12f(T）32f（53b）7询R4f()，(a,b)复化求积法:复化梯形公式:xk=akh(k=0,1，,n),h=banbaf(x)dxhn:-f(a)f(b)2、f(akh)2k=iRt*h2f“()，a,bb-a2mm(b-a)h4f(4)180(),a,bGauss型求积公式:般理论:(P(x)f(x)dx%工Af(x)ai1b；'(x)n(x)dx(i=1,2,.,n)a

4、(xf)'n(x)bf()、aj(x几种Gauss型求积公式:Gauss-Legendre求积公式:口f(x)dx&AAf(x)-i=1A=r-22(i=1,2,.,n)(1-x2)L'n(x)2'复化Simpson公式:人=akh(k=0,1,.,2m),h=bhmf(x)dx-f(a)f(b)4f乂)2'f(x2i)a3i=1i=1(2n)()22n(n!)42(2n)!Gauss-Laguerre求积公式:2(2n)!22n1(-1,1)二、本章测验题CO_xenf(x)dxAf(x)i1(n!)2XU'n(Xj2(i=1,2,，n)已知L

5、egendre正交多项式Ln(x)有三项递推关系式:L0(X)=1,L1(x)=xLn1(x)一2n1nn1n(x)一n1Ln1(x)n=1,2,试推导两点Gauss-Legendre求积公式1f(x)dxA1f(x1)A2f(x2).1的求积系数和节点，并用此公式计算下列积分的近似值。224x2edx-2解:L2(x)=3.2xL1(x)-2L0(x)3(x2-)23令L2(x)=0,则得其两零点:x1因此Gauss点为:1、31f(x)dx：Af(x)A2f(X2J人在公式九中，令f(x)=1得：A+A2=2f(x)=x得：Axi+4x2=0解方程组:得Gauss求积系数为:所求两点Gau

6、ss-Legerdre求积公式为:if(x)dx:f(-2.24xe-2x=21dx=21e16tdl2(e3e3)=4e3三、本章思考题复化梯形公式有什么特点？答：将定积分的积分区间等分为有限个小区问，将定积分表示为各个小区问上的定积分之和。而将每一个小区间上的积分表示为梯形公式的计算公式，再组合起来统一计算。误差余项由梯形公式的误差余项整理而得。当小区间数目增长时计算误差将减小，从而在设计算法时可以使误差得到控制。四、本章学习体会本章介绍了几种计算定积分的数值积分法，这些方法与以前所学习的解析方法不同，它不需要求出定积分的原函数，它直接利用求积公式来求出所给定积分的近似值，使其达到一定的求解精度要求。本章介绍的求积公式有以下几种，插值型求积公式、Newton-Cotes求积公式、复化梯形公式与复化Simps