一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)

1、元二次不等式及其解法考点标理f * 务门麻1. 一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(aw0)的形式.当a>0时，解集为 ；当a<0时，解集为 .2. 一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 .(3) 一元二次不等式的解：函数与小等式A> 0A= 0A<0二次函数y= ax2+ bx+ c (a>0)的图象卡lysz,兀一次方程ax2

2、+ bx+c= 0(a>0)的根后两相异实根Xi , X2(X1VX2)有两相等实根bXi =X2=2a无实根ax2 + bx+c>0 (a>0)的解集Rax2 + bx+cv 0 (a>0)的解集 X| Xi < XV X2?3.分式不等式解法,、 f 、，一、，一 , , f (x),(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为 0,左边化为一-的形式.g (X)(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如:g(X) >0 ? f(x)g(x)>0；f (x)f (x) g (x) > 0,> 0 ? Vg (x)|g (x)

3、w 0;基础自测I 小鸟色活 刃小赢f (x),、V0 ? f (x)g(x) <0;g (x)'f (x)f (x) g (x) w 0,/ 、W 0 ? g( x)|g (x) w 0.(2014 课标 I )已知集合 A= x| x2-2x-3>0 , B= x| 2Wxv2,则 An B=()A. -2, - 1B. - 1 , 2)C. -1, 1D.1 , 2)解：”x| x>3 或 xw 1 , B= x| - 2<x< 2 , /.An B= x| -20x&- 1 = 2,1.故选AA. x|xC RC.x|x>1 设 f

4、(x) = x2+ bx +1 且 f ( 1) = f (3),则 f (x)>0 的解集为()B.x|xw1, xC RD. x| x< 1解：f( 1) = 1b+1 = 2 b, f(3) = 9+3b+1= 10+3b,由 f( 1) = f(3),得 2 b=10 + 3b,解出b=2,代入原函数，f(x)>0即x22x+1>0, x的取值范围是xw1.故选B.1 1 已知一-<-<2,则x的取值范围是()2 x1 c 1cA. 2<x<0 或 0<x<2 B. 2<x<2-11C.x< 二或 x>

5、2D.x<2 或 x>；221 解：当 x>0 时，x>2;当 x<0 时，x<- 2. ,，一 ,1 ,.所以x的取值范围是x<2或x>2,故选D.不等式1x言>°的解集是.-1 - 2x ，.解：不等式 ->0等价于(1 2x)( x+ 1) >0,x+ 1也就是 2 (x+1) <0,所以一1vx<2.故填笊 - 1<x<2, xe R>(2014武汉调研)若一元二次不等式2kx2+ kx-|< 0对一切实数x都成立，则k的 8取值范围为.解：显然kw0*k>0,则只须(

6、2x2+x) maY解得kC?；若k<0,则只须;v (2x28K8K+ x)min,解得KC(3, 0).故K的取值范围是(一3, 0).故填(一3, 0).典例解析I才妻萧析 时基*通类型一一元一次不等式的解法皿珍已知关于x的不等式(a+ b)x+ 2a- 3bv 0的解集为不等式(a-3b)x+ b-2a>0的解集解：由(a+b)xv 3b2a的解集为3b- 2a1得 a + b>0,且-从而 a=2b,贝U a+b=3b>0,即 b>0,将 a = 2b代入(a-3b)x+b-2a>0, 得一bx 3b>0, xv3,故所求解集为(8, 3)3

7、).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为ax>b(aw0)的形式.挖掘隐含条件 a+b>0且3b二2a =-1是解本题的关键. a+ b3一式。解关于x的不等式：(m2 4) xv2.解：(1)当 m24 = 0 即 m= 2 或 m= 2 时，当 m 2时，原不等式的解集为？，不符合当m 2时，原不等式的解集为R符合(2)当 m24> 0 即 2或 m>2 时，xvq.m- 2(3)当 m24<0 即一2vmx2 时，x>：.m- 2类型二一元二次不等式的解法区解下列不等式：22(1) x -7x+ 12>0; (2) -x -2x+3>0;

8、(3) x2-2x+ 1<0； (4) x2-2x+2>0.解：(1) x| x<3 或 x>4.(2) x| -3<x<1.(3) ?.(4)因为AV 0,可得原不等式的解集为 R人八一、一x+1,xv0,I变式？ (2013 金华十校联考)已知函数f(x) = *则不等式x+(x +x 1, x>0,1)f(x+1)< 1的解集是()A. x| 1wxw 啦1B.x|x< 1C.x|xw 也1D.x| -/2-1<x<2-1解：由题意得不等式 x + (x+1)f(x+1) W 1等价于x+ 1 V 0, i或X+ (x+1

9、) (x+1) +1W1 -x+ 1 >0,k+(x+1)(x+1)-1< 1,解不等式组得xv 1；解不等式组得1wxw<21.故原不等式的解集是x| x<也1.故选C. 类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于x的不等式x2bx+cw0的解集是x| 5Wxw 1,求实数b, C的值.解：:不等式 x2 bx+cw。的解集是x| 5WxW 1,，xi = 5, x2= 1是x2- bx+ c=0的两个实数根，由韦达定理知, 一一一 5 X 1 = c,b= - 4,c= 5.变式 已知不等式 ax2+bx+c>0的解集为x|2 vxv3,求不等式 cx

10、2- bx+ a>0 的解集.解：,不等式 ax2 + bx+c>0的解集为x|2 vxv 3,. a<0,且2和3是方程ax2+ bx+ c= 0的两根，由根与系数的关系得b c - f £=2+3,c 一 - -=2X3,ab= - 5a, 即,c = 6a,©v 0.a< 0.代入不等式 cx2bx+ a>0,得 6ax2+ 5ax+ a>0(a< 0).2即 6x + 5x+ 1 v 0,，所求不等式的解集为凶2<x< 一3类型四含有参数的一元二次不等式m> 解关于x的不等式：mx(m+ 1)x+1v0.解

11、：(1) m= 0时，不等式为一(x1) <0,得x1>0,不等式的解集为x|x>1；(2)当m 0时，不等式为 m7索汉一1)v0.当m< 0,不等式为x-m (x- 1) >0,1二 小 二. m< 1,，不等式的解集为'x|xv萧x>1 >当m>0,不等式为Jx-m(x-1)<0.(I )若第1即m> 1时，不等式的解集为3 M x<1广；(口)若熹1即0<m< 1时，不等式的解集为ix|1 <x<m"(出)若1即m= 1时，不等式的解集为？.点拨：当x2的系数是参数时，首先

12、对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m产0与m= 0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对 m< 0与m> 0进行讨论；第三层次：1与1大小的不确定性，对1、m> 1m与mi= 1进行讨论.I变式 解关于x的不等式ax2-2>2x- ax(aCR). 解：不等式整理为 ax2+(a-2)x-2>0, 当a = 0时，解集为(一8, 1.当aw。时，ax2+(a-2)x- 2=0的两根为一1, 2,所以当a>0时, a解集为(00当一2vav0时，解集为|, - 1 ；当a= 2时，解集为x|x =

13、 1；当av 2时，解集为应(1)解不等式类型五x- 12x+ 产 1.分式不等式的解法-x-2x+2-7r<0 ?7>0.2x + 12x + 1. x1x1解< 1 ? - K 0 ?川午. 2x+11 , 2x+1 1 0 -x+ 2(x+2) (2x+1) >0,> 0 ? i2x+12x+10.，1 ,、 一得xx> 2或 x< 2.x 2冰(2)不等式xZ+z > 0的解集是解:x- 2x- 2->0? ；->0?x +3x+ 2(x+2) ( x + 1)(x-2)( x+2)( x+ 1) >0,数轴标根得x|

14、2vxv 1或x>2, 故填x| -2<x<- 1 或 x>2.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为 0(注意：一定要保证 x的最高次哥的项的系数为正数 ).(2)求根：就 是求出不等式所对应的方程的所有根.(3)标根：在数轴上按从左到右 (由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的 右上 方向左下方画线,穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根，“奇穿

15、偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“>”，则取数轴上方穿根线以内的范 围；若不等号为“V” ，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有号，写解集时要考虑分母不能为零函蚕若集合A= x| 1W2X+1W3 , B=1x|<0则 Anb=()A. x| - 1<x<0C.x|0 wxw2B. x|0 <x< 1D. x|0 <x< 1解：易知A= x| -1<x< 1 , B集合就是不等式组x (x 2) < 0,i的解集，求出x w 0B=x|0 Vxw 2,所以 An B= x|0 <x< 1.故

16、选 B.(2)不等式 品& 0的解集为(A.2,1B.I-2，1C.1 ,8, - 2 ju 1，+°° ) D.+ 0° )x 1解：2xiiwo?(x1) (2x+1)w0, bx+ 1 w01得2Vx < 1.故选A.类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题区域若不等式x+ ax+1>0对于一切 xC b, 2它立，则a的最小值为(A.0 B. -2 C. -5 D. 2-31,由于 xC 2 La- %+x;-f(x)=x十二在 0, 2 I是减函数,-x-n 二x max5 . 、52.一.(2)已知对于任意的aC 1, 1,函数 f

17、(x) =x解：不等式可化为 ax>+(a4)x+4 2a 的值总大于 0,的取值范围是(A.1 <x< 3C.1 <x<2B.xv 1 或 x>3D.x<1 或 x>2依题意，只须g (1) >0, g(T)> o2解：记 g(a) = (x- 2) a+x - 4x+ 4, a - 1, 1,x2 _ 3x + 2 > 0,2? xv 1 或 x>3,故选 B.x 5x + 6 > 0点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数,把关于X的二次不等式转换为关于 a的一次不等式，

18、化繁为简，然后再利用一次函数的单调 性，求出x的取值范围./或电 对于?茜足| a| w 2的所有实数a,求使不等式x2+ ax+ l>2x + a成立的x的取 值范围.22解：原不等式转化为(x1)a+x 2x+ 1 >0,设 f (a) = (x 1)a + x 2x + 1,则 f (a)在2, 2上恒大于0,故有:f ( 2) > 0, 即f (2) >0x2-4x+ 3>0,-x2- 1 >0又>3或xv1, 解得rx> 1 或 xv 1.x< - 1 或 x>3.类型七二次方程根的讨论区畛若方程22ax -x-1 = 0在

19、(0 , 1)内有且仅有一解，则a的取值范围是()A.a<1B.a>1C. 1<a<1D.0 < a<1解法一：令 f(x) =2ax2-x-1,则 f(0) f(1) <0,即一1x(2a2)v0,解得 a>1.解法二：当a=0时，x = -1,不合题意，故排除 C, D；当a= 2时，方程可化为4x2 + x+1 = 0,而= 1-16<0,无实根，故 a=- 2不适合，排除 A.故选B.课时蚱业|查耳,卜鹏拓照也将x _ 21.不等式fW0的解集是()x+ 1A.( 8, - 1) u ( - 1 , 2B. -1, 2C.(巴1)U

20、2, +8)D.( -1, 2x 2解：一-< 0? (x+1) (x-2) <0,且 xw 1,即 x (-1, 2,故选 D. x十12. 关于x的不等式(mx- 1)( x-2) >0,若此不等式的解集为ix|1m<x<2 >,则m的取值 范围是()A. m> 0B.0 < rmc 21C.m> 2D.nr0解：由不等式的解集形式知RK 0.故选D.3. (2013 安徽)已知一元二次不等式 f(x)<0的解集为xx<1或x>2 :,则f(10x)>0的 解集为()A. x|x<-1 或 x>lg2

21、B. x| 1<x<lg2C.x|x>lg2D. x|x<lg2解：可设 f (x) = a(x+ 1) 3 2 (a<0),由 f (10 x)>0 可得(10x+ 1) Jj0x-2 <0,从而 10K<2, 解得x<-lg2 ,故选D.4. (2013 陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位：m)的取值范围是()A.15 , 20B.12 , 25C.10 , 30D.20 , 30- x 一 一，、r X 40 y r解：设矩形的另一边为 y m依题意得40 =

22、 0,即y=40-x,所以 x(40 - x) > 300,解得 10WXW30.故选 C.5 .若关于x的不等式2x2 8x 4a>0在(1 , 4)内有解，则实数a的取值范围是()A.a<12B.a>4C.a>12D.a<4解：关于x的不等式2x28x 4-a>0在(1 , 4)内有解，即 a< 2x2-8x-4在(1 , 4) 内有解，令 f(x) =2x2-8x-4=2(x-2)2-12,当 x=2 时，f(x)取最小值 f(2) =12;当 x=4 时，f (4) =2(4 -2)2-12=- 4,所以在(1 , 4)上，一12<

23、f (x)<- 4.要使 af (x)有 解，则av 4.故选D.6 .若不等式x2-kx+k-1>0对xC (1,2)恒成立，则实数k的取值范围是 .解：xe (1 , 2) ,x 1>0.则 x2- kx + k-1 = (x- 1)( x + 1 k)>0 ,等价于 x+ 1 -k>0, 即k<x+1恒成立，由于 2<x+1<3,所以只要kw 2即可.故填(8, 2.7 . (2014 江苏)已知函数f(x)=x2+mx- 1,若对于任意 xCmi1,都有f(x)v0成立，则实数m的取值范围是.匚2, 一f ( m = 2m- 1< 0,解：由题可得f (x) < 0对于xC m m 1恒成立，即,2解得f (1) = 2m+ 3mx 0,乎'< mK 0.故填 _曰，0 i8 .若关于x的不等式x2- ax- a<- 3的解集不是空集，求实数a的取值范围.解：x2 axaw 3的解集不是空集 ？ x2axa+3= 0的判别式 A>0,解得aw6 或 a>2.9 .已知二次函数f(x)的二次项系数