曲面积分第三节ppt课件

1、3 高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式教学内容：教学内容：1.利用高斯公式计算封闭曲面的第二型利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分；曲面积分；2.斯托克斯公式；斯托克斯公式；3.空间曲线第二型曲线积分与路径无关空间曲线第二型曲线积分与路径无关 的条件。的条件。教学重点：教学重点：利用高斯公式计算封闭曲面的第二型利用高斯公式计算封闭曲面的第二型曲面积分曲面积分教学难点：教学难点：斯托克斯公式斯托克斯公式1 1. .公公式式：设设空空间间区区域域 由由分分片片光光滑滑的的双双侧侧封封闭闭曲曲面面围围成成, ,函函数数),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上上具具有有

2、一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , 则则有有公公式式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)( 一、高一、高 斯斯 公公 式式这里这里 是是 的整个边界曲面的的整个边界曲面的外侧外侧 高斯公式高斯公式xyzo1 2 3 xyD2.几点说明：几点说明：GaussGauss公式的实质公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系上的曲面积分之间的关系.GaussGauss公式中第二型曲公式中第二型曲面积分一定为封闭面，面积分一定为封闭面，若不是封闭面，要添加若不是封闭面，要添加特殊的曲面或平面才能特殊的曲面或平面才能用用G

3、aussGauss公式。公式。与格林公式的异同与格林公式的异同zdxdyydzdxxdydzdxdydzdvzRyQxP3)(利用利用Gauss公式可以得出用曲面积分求体积的公式公式可以得出用曲面积分求体积的公式zRyQxP,zdxdyydzdxxdydzV31体积例例1 1 计计算算曲曲面面积积分分xdydzzydxdyyx)()( 其其中中为为柱柱面面122 yx及及平平面面3, 0 zz所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域 的的整整个个边边界界曲曲面面的的外外侧侧. .xozy113dxdydzzy)(由高斯公式：原式203010)sin(rdzzrdrd49例例2：P289习题习题1(

4、1)、（、（2）练习：练习：P289习题习题12）、）、P295习题习题11）、（）、（2）二、斯托克斯二、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式1.双测曲面双测曲面的侧与边界曲线的侧与边界曲线方向的规定方向的规定n 右手法则右手法则 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线 2.2.斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式定理定理 设设 为分段光滑的空间有向闭曲线为分段光滑的空间有向闭曲线, , 是以是以 为边界的分片光滑的有向曲面为边界的分片光滑的有向曲面, , 的正向与的正向与 的的侧符合右手规则侧符合右手规则, , 函数函数),(zyxP, ,),(

5、zyxQ, , ),(zyxR在包含曲面在包含曲面 在内的一个空间区域内具在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, , 则有公式则有公式 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式其中其中的侧与的侧与的方向按右手法则确定的方向按右手法则确定 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz便于记忆形式便于记忆形式3.几点说明：几点说明：StokesStokes公式的实质公式的实质: : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系.斯托

6、克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形当当是是xoy面的平面闭区域时面的平面闭区域时 例例 3 3 计计算算曲曲线线积积分分dzxydyzxdxzy)()()2(, , 其其中中 是是平平面面1 zyx被被三三坐坐标标面面所所截截成成的的三三角角形形的的整整个个边边界界, ,它它的的正正向向与与这这个个三三角角形形上上侧侧的的法法向向量量之之间间符符合合右右手手规规则则. . 0 xyDxyzn111三、空间曲线积分与路径无关的条件三、空间曲线积分与路径无关的条件 设设为空间区域为空间区域, , 假如假如内任一闭曲线均内任一闭曲线均可以不经过可以不经过以外的点而连续地收缩为属于以外的点而连续地收缩为属于的一点，则称的一点，则称为空间单连通区域为空间单连通区域, , 否则称为否则称为复连通区域复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域1.空间单连通区域空间单连通区域GG以下四个条件等价：偏导数，则上连续，且有一阶连续在函数为空间单连通区域，若设定理RQPR,5 .222.2.空间曲线积分与路径无关的等价命题空间曲线积分与路径无关的等价命题LRdzQdyPdxLi0上有曲线内任一按段光滑的封闭）对于（与路径无关。，曲线积分内任一按段光滑的曲线对于LRdzQdyP