矩阵论第4章节

1、14.1 引言引言 数值求积的基本思想数值求积的基本思想 一、问题一、问题 如何求积分如何求积分,d)( baxxfI牛顿牛顿- -莱布尼茨莱布尼茨( (Newton-Leibniz) )公式：公式： ).()(d)(aFbFxxfba N-LN-L公式失效的情形：公式失效的情形：第第4 4章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分数学分析中的处理方法：数学分析中的处理方法：2 （1 1）被积函数，诸如）被积函数，诸如 等等，找不到用等等，找不到用初等函数表示的原函数；初等函数表示的原函数； 2sin,sinxxx （2 2）当）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表是由测量或数值计算给出的一

2、张数据表. .这时，牛顿这时，牛顿- -莱布尼茨公式也不能直接运用莱布尼茨公式也不能直接运用; ; )( xf 因此有必要研究积分的数值计算问题及数值积分问题因此有必要研究积分的数值计算问题及数值积分问题. . N-LN-L公式失效的情形：公式失效的情形： （3）原函数很难求）原函数很难求.3 问题：点问题：点的具体位置一般是不知道的，因而难以的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出准确算出 的值，怎么办？的值，怎么办？)(f 只要对平均高度只要对平均高度 提供一种算法，相应地便可获得提供一种算法，相应地便可获得)(f一种数值求积方法一种数值求积方法. . 由积分中值定理知，在积分区间由积

3、分中值定理知，在积分区间 内存在一点内存在一点，成立成立 ,ba)()(d)( fabxxfba 二、构造数值积分公式的基本思想二、构造数值积分公式的基本思想).()()(afabdxxfba （1）左矩形公式）左矩形公式4（3 3）用区间中点）用区间中点 的的“高度高度” ” 近似地取代平近似地取代平均均高度高度 ，则又可导出所谓中矩形公式，则又可导出所谓中矩形公式2bac)(cf)(f).2()()(bafabdxxfba ).()()(bfabdxxfba （2）右矩形公式）右矩形公式（4 4）用两端点）用两端点“高度高度” ” 与与 的算术平均作为平均高的算术平均作为平均高度度)(af

4、)(bf)(f的近似值，这样导出的求积公式的近似值，这样导出的求积公式)()(2)(bfafabdxxfba 是梯形公式是梯形公式. . 5 一般地，可以在区间一般地，可以在区间 上适当选取某些节点上适当选取某些节点 ，,bakx然后用然后用 加权平均得到平均高度加权平均得到平均高度 的近似值，这样的近似值，这样)(kxf)(f nkkkbaxfAxxf0)(d)(权权 仅仅与节点仅仅与节点 的选取有关，的选取有关，kAkx构造出的求积公式具有下列形式：构造出的求积公式具有下列形式：的具体形式的具体形式. . )( xf 而不依赖于被积函数而不依赖于被积函数式中式中 称为称为求积节点求积节点；

5、 称为称为求积系数求积系数, ,亦称伴随节点亦称伴随节点 的的权权. kxkAkx将这种思想一般化：将这种思想一般化：6 niiibaxfAdxxffR0)()(截截断断误误差差： 用上面式子求积分近似值的特点：用上面式子求积分近似值的特点：将积分求值问题转化将积分求值问题转化为了计算函数值的问题，避开了求原函数为了计算函数值的问题，避开了求原函数. .这类数值积分方法这类数值积分方法通常称为通常称为机械求积机械求积。7 代数精度的概念代数精度的概念 定义定义1 1 如果某个求积公式对于次数不超过如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式的多项式m均能准确地成立，但对于均能准确地成立，但对于 次

6、多项式就不准确成立，次多项式就不准确成立，1m则称该求积公式具有则称该求积公式具有 次代数精度次代数精度. . m问题：左矩形公式、右矩形公式、中矩形公式和梯形公式具问题：左矩形公式、右矩形公式、中矩形公式和梯形公式具有几次代数精度？有几次代数精度？ 数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公式对尽可能多的函数准确成立式对尽可能多的函数准确成立.8 插值型的求积公式插值型的求积公式 设给定一组节点设给定一组节点 ,210bxxxxan 且已知函数且已知函数 在这些节点上的值，在这些节点上的值，)(xf作插值函数作插值函数 . .)(xLn取取

7、bannxxLId)(作为积分作为积分 的近似值，的近似值，baxxfId)( nkkknxfAI0)(这样构造出的求积公式这样构造出的求积公式9称为是称为是插值型插值型的，式中求积系数的，式中求积系数 通过插值基函数通过插值基函数 积分得出积分得出 kA)( xlk.d)( bakkxxlA 由插值余项定理由插值余项定理( (第第2 2章的定理章的定理2)2)即知，其余项即知，其余项 nIIfR 式中式中与变量与变量 有关，有关， x).()()(10nxxxxxxx,d)()!1()()1( banxxnf 问题：上述插值型求积公式至少具有多少次代数精度？问题：上述插值型求积公式至少具有多

8、少次代数精度？10 当当 是次数不超过是次数不超过 的多项式时，插值多项式就是的多项式时，插值多项式就是n)( xf函数本身，函数本身，余项余项 为零，为零， fR. )(d)(0 banjjkjkxlAxxl 事实上，事实上， 这时求积公式对于插值基函数这时求积公式对于插值基函数 应准确应准确)(xlk成立，即有成立，即有至少具有至少具有 次代数精度次代数精度. .n所以所以这时插值型求积公式这时插值型求积公式 反之，反之， 如果一个求积公式如果一个求积公式 至少具有至少具有 次代数精度，则它必可利用插值多项式推导出来。次代数精度，则它必可利用插值多项式推导出来。n nkkkbaxfAxxf

9、0)(d)(11注意到注意到,)(kjjkxl上式右端实际上等于上式右端实际上等于,kA因而因而 bakkxxlAd)(成立成立. 这样，有下面定理这样，有下面定理.。条条件件是是，它它是是插插值值型型的的次次代代数数精精度度的的充充分分必必要要有有的的求求积积公公式式至至少少形形如如定定理理nxfAdxxfnkkkba 0)()(112 求积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性 定义定义2 2,d)()(lim00 bankkkhnxxfxfA其中其中),(max11 iinixxh实际得的将是实际得的将是 ，kf即即.)(kkkfxf , )()(0 nkkknxfAfI则称此求积

10、公式是收敛的则称此求积公式是收敛的. . 记记 nkkknfAfI0.)( nkkkbaxfAdxxf0)()(在求积公式在求积公式 中，若中，若 在求积公式在求积公式 中，由于计算中，由于计算 可能产生误差可能产生误差 ，)(kxfk nkkkbaxfAdxxf0)()(13如果对任给小正数如果对任给小正数,0只要误差只要误差 充分小就有充分小就有 k nkkkknnfxfAfIfI0)()()(（* *）, 则表明求积公式计算是稳定的，则表明求积公式计算是稳定的， 由此给出下面定义由此给出下面定义. . 定义定义3 3),1,0()(nkfxfkk ,0对任给对任给,0若若只要只要就有就有( (* *) )成立，则称求积公式成立，则称求积公式 是稳定的是稳定的. . nkkkbaxfAdxxf0)()(14 定理定理2 2 证明证明取取,ab ,)( kkfxf),1 ,0(0nkAk 则此求积公式是稳定的则此求积公式是稳定的. . ,0对任给对任给都有都