2.1复变函数项级数ppt课件

1、第三章第三章 解析函数的级数表示解析函数的级数表示 Infinite series复变函数项级数复变函数项级数幂级数幂级数解析函数的泰勒展开解析函数的泰勒展开解析函数的罗朗展开解析函数的罗朗展开单值函数的孤立奇点单值函数的孤立奇点本章内容本章内容3.1.1 复变函数项级数的敛散性复变函数项级数的敛散性定义复变函数项级数定义复变函数项级数:)(为为复复变变函函数数其其中中zfk一般项或通项一般项或通项,.)2 , 1()()(0nzfzSknkn部部分分和和：3.1 3.1 复变函数项级数复变函数项级数)(.)().()()(0210zfzfzfzfzfkkk如下形式的无穷级数为复变函数项级数如

2、下形式的无穷级数为复变函数项级数1. 收敛与发散的定义收敛与发散的定义 (convergence/divergence)的的极极限限存存在在的的部部分分和和时时，若若复复变变函函数数项项级级数数当当)(zSnn)()(limzSzSnn即：即：点点发发散散。否否则则称称级级数数在在点点的的和和。称称为为级级数数在在点点收收敛敛，在在则则称称级级数数zzzSzzfkk)()(0若级数在区域若级数在区域（或曲线（或曲线 l上所有点均收敛，则称上所有点均收敛，则称级数在级数在（或（或 l上收敛，级数收敛的区域称为收敛上收敛，级数收敛的区域称为收敛域。域。证明：证明：由级数收敛定义由级数收敛定义级数收

3、敛的必要条件级数收敛的必要条件0)(lim)(lim)(lim1SSzSzSzfkkkkkk（1） 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件是：级数收敛的必要条件是：0)(limzfkk2. 级数级数 的收敛条件的收敛条件 0)(kkzf.)(.)()(.)()(110zfzfzfzfzfpnnn点点收收敛敛。在在则则级级数数，有有对对任任意意自自然然数数时时，使使当当正正整整数数，zzffffzSzSpzNnzNkkpnnnnpn021)(.)()(),(),(0 Sn(z)Sn+p(z)注意：其中注意：其中（2） 级数收敛的充要条件级数收敛的充要条件1. 级数绝对收敛的定义级

4、数绝对收敛的定义 (absolute convergence)3.1.2 绝对收敛级数的定义、判别法和性质绝对收敛级数的定义、判别法和性质点点绝绝对对收收敛敛。在在点点收收敛敛，则则称称级级数数在在若若级级数数zzfzzfkkkk00)(| )(|2. 绝对收敛级数的判别法绝对收敛级数的判别法I.达朗贝尔达朗贝尔(DAlembert)判别法比值判别法）判别法比值判别法）),1()()(,),0(1 zfzfKkKKkk有有当当绝对收敛绝对收敛则则)(0zfkk,)()(lim1lzfzfkkk若若）不不定定（需需用用高高斯斯判判别别法法不不绝绝对对收收敛敛绝绝对对收收敛敛级级数数则则当当0)(

5、,111 kkzflll或者表述为：或者表述为：III. 高斯判别法高斯判别法II. 柯西判别法根值判别法柯西判别法根值判别法 ）kkkzf| )(|lim若若绝绝对对收收敛敛收收敛敛，即即)()(100zfzfkkkk不不确确定定0)(1kkzf不不绝绝对对收收敛敛发发散散，即即)()(100zfzfkkkk) 1( )1(1)(10 kOkffkzfkkkk充充分分大大时时，若若，对对不不绝绝对对收收敛敛发发散散，即即绝绝对对收收敛敛收收敛敛，即即则则当当)()(1Re)()(1Re0000zfzfzfzfkkkkkkkkIV. 比较判别法比较判别法绝对收敛。绝对收敛。收敛，即收敛，即则则

6、，收敛，且收敛，且，若正项级数，若正项级数对于对于0000)()(,.)2 , 1 , 0()()(kkkkkkkkkkzfzfkmzfmzf1）非绝对收敛。非绝对收敛。发散，即发散，即则则，发散，且发散，且，若正项级数，若正项级数对于对于0000)()(,.)2 , 1 , 0()()(kkkkkkkkkkzfzfkmzfmzf2）可用上述四类判别法计算幂级数的收敛半径。可用上述四类判别法计算幂级数的收敛半径。3. 绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质n绝对收敛的级数，可任意交换其各项的次绝对收敛的级数，可任意交换其各项的次序，所得级数仍绝对收敛且其和不变。序，所得级数仍绝对收敛且其和不变。

7、n两个绝对收敛的级数可逐项相乘，所得级两个绝对收敛的级数可逐项相乘，所得级数仍为绝对收敛级数，并且有如下描述：数仍为绝对收敛级数，并且有如下描述： 0, 0 0)()()()(SSzfzfSzfSzfSlklkllkk则有：则有：，以及，以及若若1. 级数一致收敛的定义级数一致收敛的定义(uniform convergence)。上上一一致致收收敛敛于于在在则则称称，有有当当无无关关的的正正整整数数，与与，上上的的对对于于)()(| )()(|,)(0)(00zSzfzSzSNnzNNzfkknkk3.1.3 一致收敛级数的定义、判别法和性质一致收敛级数的定义、判别法和性质注意：函数项级数的收

8、敛与一致收敛的区别。注意：函数项级数的收敛与一致收敛的区别。2. 级数一致收敛的充分必要条件级数一致收敛的充分必要条件（柯西一致收敛判据）（柯西一致收敛判据）上上一一致致收收敛敛。在在则则级级数数，有有对对任任意意自自然然数数时时，无无关关的的正正整整数数，使使当当与与，zfzfzSzSpNnzNNkkpkknnpn01)(| )(| )()(|)(0)(03. 一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质（1） M 判别法判别法（2判别法判别法2一一致致收收敛敛。内内则则在在（常常数数），一一致致收收敛敛，并并且且内内，若若在在00)()()()(kkkkzfzvMzvzf 绝绝对对一一致致收收敛敛

9、。内内则则在在收收敛敛，且且正正项项级级数数内内若若在在00)()0(| )(|kkkkkkkzfMMMzf 4. 一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质（1逐项求极限连续性）逐项求极限连续性）00000)(lim)(lim)()()()(lim)()()(000kkzzkkzzkkkkzzkkkzfzfzfzSzfzfzfzSzf求求极极限限内内连连续续，即即可可逐逐项项在在，则则即即有有内内连连续续在在，且且每每一一项项内内一一致致收收敛敛于于在在若若级级数数 （2逐项可积性逐项可积性0000)()()()()()()(klklkklkkkkkdzzfdzzfdzzSlzflzfzSlzf逐

10、逐项项积积分分可可沿沿则则上上连连续续，在在，且且上上一一致致收收敛敛于于在在曲曲线线若若级级数数上上解解析析，则则：均均在在区区域域，且且每每一一项项上上内内闭闭一一致致收收敛敛于于在在若若级级数数)()()(0zfzSzfkkk（3逐项可导逐项可导维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯(Weierstrass)定理定理 )()(0内内解解析析；在在 zfzSkk I. )()(0)()(knknzfzS意意阶阶，即即内内级级数数可可逐逐项项求求导导至至任任在在 II.证明：证明：内内连连续续在在上上解解析析，在在级级数数的的每每一一项项)()(zfzfkklkzfl0)(: 有有上上的的围围线线对对)()(0zSzfkk上上内内闭闭一一致致收收敛敛于于在在又又可积积性和连续性由一致收敛一致收敛级内解析。在，则，都有内任意围线内连续，且对在区域lzfdzzflzf)(0)()(内内解解析析在在 )(zS:定定理理根根据据 Morena0)()(0 klkldzzfdzzS内内解解析析在在首首先先证证明明zS)() 1对于对于内任意一条闭围线内任意一条闭围线l l内的内的z z点，有点，有dzSinzSlnn1)()()(2!)( dzfnlnkk10)()(2!idzfinlnkk10)()(2!)(0)(zfkn )()()20)()(kn