二次函数的图像和性质y=ax2+bx+c

1、26.1 二次函数图象和性质二次函数图象和性质2yaxbxc1 的顶点坐标是的顶点坐标是_，对称轴是对称轴是_ 3怎样把怎样把 的图象移动，便可得到的图象移动，便可得到 的图象？的图象？ （h，k） 2ya xhk直线直线xh 23yx2325yx2 的顶点坐标是的顶点坐标是 ，对称轴是对称轴是 2325yx(2，5) 直线直线 x2 将将 化为一般式为化为一般式为 ，那么如何将抛物线那么如何将抛物线 的图像移动，得到的图像移动，得到的的 图像呢？图像呢？ 新课新课2325yx23127yxx23yx23127yxx把二次函数一般式把二次函数一般式 转化为顶点式转化为顶点式23127yxx23

2、25yx配方法配方法1用配方法把用配方法把2yaxbxc2ya xhk化为化为的形式。的形式。 的形式，求出顶点坐标和对称轴。的形式，求出顶点坐标和对称轴。215322yxx2ya xhk例例1 用配方法把用配方法把化为化为215322yxx21342x解： 顶点坐标为（顶点坐标为（3，2），对称轴为），对称轴为x32169952xx21652xx21322x答案：答案： ，顶点坐标是，顶点坐标是(1，5)，对称轴是直线对称轴是直线 x1 的形式，求出顶点坐标的形式，求出顶点坐标和对称轴。和对称轴。2247yxx2ya xhk2215yx练习练习1 用配方法把用配方法把化为化为 的方法和我们前

3、面学过的用配方法解二次方程 “ ”类似具体演算如下：化为化为的形式。的形式。2用公式法把抛物线用公式法把抛物线2yaxbxc2ya xhk2yaxbxc2ya xhk把变形为20axbxc2yaxbxc24,24bacbaa2bxa 所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线。 的形式，求出对称轴和顶点坐标21522yxx 2ya xhk例例2 用公式法把化为21522yxx 15,1,22abc 221541144221,2112422422bacbaa 21122yx 解：在中，顶点为（1，2），对称轴为直线 x1。 的形式，并求出顶点坐标和对称轴。答案： ，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x

4、22286yxx 2ya xhk2222yx 练习练习2 用公式法把化成用两种方法求二次函数的顶点坐标xxyxxy23, 1422232yaxbxc图象的画法图象的画法 2yaxbxc2ya xhk步骤：1利用配方法或公式法把化为的形式。2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3取函数与X轴的交点。4.取函数与Y轴的交点及它关于对称轴的对称点。五点法2286yxx 的图像，利用函数图像回答：例例3 画出2286yxx (1)x取什么值时，y0？(2)x取什么值时，y0？(3)x取什么值时，y0？(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？例1：已知二次函数 (1)试确定抛物线 的开口方向，顶点坐

5、标、对称轴；并画出函数图当x为何值时，y取得最大（小）值。(2)说明通过怎样的平移，可得到抛物线 。(3)当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？2632xxy2632xxy23xy强化练习：(1)抛物线 的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线 ，求：b与c的值。cbxxy2122xxy(2)二次函数 中，当x3时，函数值最大，求其最大值mxxy2(3)二次函数 的顶点坐标是（1，2），则b_，c_cbxxy22 （3）开口方向：当）开口方向：当 a0时，抛物线开时，抛物线开口向上；当口向上；当 a0时，抛物线开口向下。时，抛物线开口向下。4二次函数二

6、次函数2yaxbxc的性质：的性质：（1）顶点坐标）顶点坐标24,;24bacbaa（2）对称轴是直线）对称轴是直线2bxa 2bxa 24-,4ac bya最小2bxa 24-;4ac bya最大如果如果a0，当，当时，函数有最小值，时，函数有最小值，如果如果a0，当，当时，函数有最大值，时，函数有最大值，（4）最值：）最值：（5）增减性：）增减性：若若a0，若若a0，例例4 已知抛物线已知抛物线247,yxkxkk取何值时，抛物线经过原点；取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在y轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在x轴上；轴上；k取何

7、值时，抛物线顶点在坐标轴上。取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。所以当x2时， 。解法一（配方法）：2281yxx22277x 7y最小值2241xx224441xx例例5 当当x取何值时，二次函数取何值时，二次函数 有最大值有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx因为所以当x2时， 。因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 2281yxx224 2 18842,722 244 2bacbaa 7y最小值总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；(2)用公式法解法二（公式法）：又例例6已知函数已知函数 ，当，当x为何值为何值时，函数值时，

8、函数值y随自变量的值的增大而减小。随自变量的值的增大而减小。211322yxx 解法一： ， 102a 抛物线开口向下， 21169922xx 21913222x 21352x 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。 211322yxx 102a 331222ba 解法二：，抛物线开口向下， 对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小。 相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若aa0开口向上；5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。a0开口向下。5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由

9、于抛物线yax2bxc的对称轴是直线2bxa 若a，b异号对称轴在y轴右侧。，故若b0对称轴为y轴，若a，b同号对称轴在y轴左侧，5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c)， c0抛物线经过原点；c0与y轴交于正半轴； c0与y轴交于负半轴。例例8 已知如图是二次函数已知如图是二次函数yax2bxc的图的图象，判断以下各式的值是正值还是负值象，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4) 2a +b (5)ab+c；(6)a-bc分析

10、：已知的是几何关系分析：已知的是几何关系(图形的位置、图形的位置、形状形状)，需要求出的是数量关系，所以应，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用发挥数形结合的作用1 21xy轴轴相相交交于于负负半半轴轴且且与与图图象象经经过过点点的的图图象象开开口口向向上上，二二次次函函数数y),)(,(cbxaxy.012152 _0) 4(0) 3 ( 0) 2( 0) 1 ()(其中正确结论的序号是给出四个结论：一cbacba_1)4(1)3(02)2(0)1()(是其中正确结论的序号给出四个结论：二acabaabc最最大大？是是多多少少时时场场地地面面积积当当的的变变化化而而变变化化，随随矩矩形形一一边边长长矩矩形形面面积积的的篱篱笆笆围围成成矩矩形形场场地地，用用总总长长为为例例SllSm.6093222013222 x)(x)(xxy.的的最最大大值值和和最最小小值值数数分分别别在在下下列列范范围围内内求求函函)(cba),(P,x)a(cbxaxy.值值为为的的则则且且经经过过点点是是的的对对称称轴轴抛抛物物线线 032032_y,y,yxxy)y,(C)y,(B)y,(A.的的大大小小关关系系是是的的图图象象上上的的三三点点，则则为为二二次次函函数数若若3212321543514138 的的周周长长求求，坐坐标标原原点点为为轴轴的的交交