金版教程】2019届高考文科数学二轮复习训练：1-1-6-1利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题(含解析)

1、适考索能特训xa31. 2019重庆高考已知函数f(x)=4+Inx，其中aR，且1曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线y=2x.(1) 求a的值；求函数f(x)的单调区间与极值.1a1解(1)对f(x)求导得f(x)=4x2x，由f(x)在点(1,f(1)处的切135线垂直于直线y=2x,知f(1)=4a=2,解得a=4.x53(2) 由(1)知f(x)=4+4xInx2，x24x5则F(x)=4x2，令f(x)=0,解得x=1或x=5.因x=1不在f(x)的定义域(0,+)内，故舍去.当x(0,5)时，f(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x(5,+乂)时

2、，f(x)>0，故f(x)在(5,+乂)内为增函数.由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=In5.2. 2019太原一模已知函数f(x)=(x2ax+a)exx2,aR.(1)若函数f(x)在(0,+乂)上单调递增，求a的取值范围；若函数f(x)在x=0处取得极小值，求a的取值范围.2解(1)由题意得f(x)=x(x+2a)ex2=xex(x+2exa),xDR,vf(x)在(0,+乂)上单调递增，二f(x)>0在(0,+乂)上恒成立,2一、X+2exa在(0,+g)上恒成立，D2又函数g(x)=x+2-X在(0,+工)上单调递增，awg(0)=0,a的取值范围是(g,0

3、.(2(2)由(1)得f(x)=x-Xx+2-Xa|,xR,2令f(x)=0,则x=0或x+2exa=0,即x=0或g(x)=a,D2Tg(x)=x+2-x在(g,+g)上单调递增，其值域为R,D存在唯一xR，使得g(Xo)=a, 若X0>0,当x(g,0)时，g(x)<a,f(x)>0;当x(0,X0)时，g(x)<a,f(x)<0,.f(x)在x=0处取得极大值，这与题设矛盾. 若X0=0,当x(g,0)时，g(x)<a,ff(x)>0;当x(0,+g)时，g(x)>a,f(x)>0，二f(x)在x=0处不取极值，这与题设矛盾. 若X0

4、<0,当x(xo,0)时，g(x)>a,f(x)<0;当x(0,+g)时,g(x)>a,f(x)>0,.f(x)在x=0处取得极小值.综上所述，xo<0,.a=g(xo)vg(0)=0,的取值范围是(g,0).f1aax+a3. 2019江西八校联考设函数f(x)=-x.(1) 当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2) 当x>0时，f(x)的最大值为a,求a的取值范围.x+1解(1)当a=1时，f(x)=-X,f(1)=0,x21f(x)="e，f(1)=e，曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+ey

5、-1=0.2(a1)x+(2a)x2aex=(a1x+a(x2)ex(2)解法一：f(x)=a令f(x)=0得X1=(a1),X2=2.1a 当a>1时，f(x)在0,2上递减，在2,+乂)上递增,当X+o时，f(X)T0,+oo>丨上递减，f(x)f(x)max=f(0)=a;a2 当>2即3<a<1时，f(x)在0,2和1a3在2,1a上递增,a2=Wa,解得owaw1,3<a<1;e1aa2 当二=2,即"2时，啲在0，+O)上递减，躯也=f(0)=a；当a0<1a2°<2即0<a<3时，f(x)在0,

6、3-和2,+o)上递减，-在1a2上递增,亠<a<2;e2+5345a4f(2)=wa,解得a>,ee+5a当沃0时，匚/0,f(x)在0,2上递增,f(x)>f(0)=a，不合题意.；4综上所述：a的取值范围为氛，+解法二：f(0)=a,f(x)在x>0时的最大值为a,等价于f(x)wa对于x>0恒成立,2x可化为a一2对于x>0恒成立.e+x+x-1令g(x)=匚_2，则g'(x)=*21；M+x2+x-1(ex+X2+x-1)x22,于是g(x)在0,2上递增，在(2,+乂)上递减,4g(x)max=g(2)=兀,4/a的取值范围是a&g

7、t;兀ax4.2019山西质量监测已知函数f(x)=In(x+1)-苛-x,aR.(1) 当a>0时，求函数f(x)的单调区间；x一(2) 若存在x>0，使f(x)+x+1<-不(aZ)成立，求a的最小值.2xxa解(1)f'(x)=,x>-1.(x+1f当a>4时,F(x)<0,f(x)在(-1,+乂)上单调递减.1当0<a<4时,1A当一1<x<4a2时，f，(x)<0,f(x)单调递减;4a时，f，(x)>0,f(x)单调递增;114a1+当<x<当2<x<21+、/14a当x>

8、2时，f，(x)<0,f(x)单调递减.综上，当a>4时，f(x)的单调递减区间为(一1,+乂);1当0<a<4时，f(x)的单调递减区间为1l14a1,1+214a+OO,>丨f(x)的单调递增区间为1-14a1+14a，2原式等价于ax>(x+1)ln(x+1)+2x+1,(x+1)ln(x+1)+2x+1即存在x>0,使a>-成立.(x+1)ln(x+1)+2x+1设g(x)=x,x>0,x1In(x+1)贝Hg，(x)=32,x>0,x2设h(x)=x-1In(x+1),x>0,1则h，(x)=1>O,.h(x)在

9、(0,+乂)上单调递增.x+1又h(2)<0,h(3)>0，根据零点存在性定理，可知h(x)在(0,+乂)上有唯一零点，设该零点为xo，则xo1=ln(xo+1),且xo(2,3),Xo+1Xo1+2xo+1-g(x)min=Xo+2.Xo又a>Xo+2,aZ,a的最小值为5.5. 2019兰州诊断已知函数f(x)=eXax(aR,e为自然对数的底数).(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 若a=1,函数g(x)=(xm)f(x)ex+x2+x在(2,+乂)上为增函数，求实数m的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为R,f(x)=exa.当a<0时，f(x)>

10、;0,Af(x)在R上为增函数；当a>0时，由f(x)=0得x=Ina,则当x(,Ina)时，f(x)v0,二函数f(x)在(乂，Ina)上为减函数，当x(Ina,+x)时，f(x)>0，二函数f(x)在(Ina,+*)上为增函数.(2)当a=1时，g(x)=(xm)(exx)eX+x2+x,Tg(x)在(2,+)上为增函数，g'(x)=xeXmex+m+1>0在(2,+)上恒成立，xe+1即mW二在(2,+x)上恒成立，e1xeX+1令h(x)=-,x(2,+),e1,(exfxeX2exex(exx2)h'(X)=ex12=ex12*令L(x)=exx2,

11、L'(x)=ex1>0在(2,+x)上恒成立，即L(x)=exx2在(2,+x)上为增函数，即L(x)>L(2)=e24>0,.h(x)>0,xex+1即h(x)=二在(2，+x)上为增函数，e12e2+1h(x)>h(2)=丁二e12e2+1mW.e21x6. 2019大连高三双基测试已知函数f(x)=aex(a>0).a(1)求函数f(x)的单调区间；求函数f(x)在1,2上的最大值；(3)若存在x,X2(X1<X2),使得f(xj=f(X2)=0,证明:xvae.x1解(1)f(x)=aex(a>0),则f(x)=aex.aa11令匚一ex=0,则x=In匚aaxx,lna)lnf(x)+0一f(x)极大值故函数f(x)的单调递增区间为cx,lna丿；单调递减区间为ln1a'+xa'1>0,即0故X2冷>Ina1,即X1X2v1In1a'当In1>2，即卩Ova<右时，f(x)max=f(2)=£-e2,1111当1vIna<2,即