全等角形与旋转问题

1、第五讲全等三角形与旋转问题知识点睛板块考试慕求A裟要求心毀要奈全零三角形的性质及科定会识别全等三命形掌提全等三角形的槪含、貂定和性质，会用全尊三角形的崔质和判定解决简单问题会运用全等三命形的性质和判定解决有关何题基本知识把图形G绕平面上的一个定点0旋转一个角度二，得到图形G，这样的由图形G到G变换叫做旋转变换，点0叫做旋转中心，二叫做旋转角，G叫做G的象；G叫做G的原象，无论是什么图形，在旋转变换下,象与原象是全等形.很明显，旋转变换具有以下基本性质： 旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；对应直线的交角等于旋转角.旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的

2、条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演.重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化【例1】【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度

3、不同，它是【解析】【例2】A如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的,把菱形ABCD以A为中心A顺时针旋转C逆时针旋转其中菱形AEFG可以看成是【解析】【例3】60°得到60°得到0B.顺时针旋转120°得到D.逆时针旋转120°得到D如图，C是线段CE于F,BE交AC于G,则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有A.1对B.2对C.3对D.4对BD上一点,分别以BC、CD为边在BD同侧作等边AABC和等边CDE,AD交【解析】【例4】C已知：如图，点C为线段AB上一点,.;ACM、CBN是等边三角形.求证:AN=BM【解析】【点评】【

4、例5】.ACM、CBN是等边三角形，MC=AC,CN=CB,ACNMCB.ACN也.MCB,AN=BM此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形.AE分别交AC,DC如图，B,C,E三点共线，且.'ABC与.DCE是等边三角形，连结BD,于M,N点.求证：CMCN.【解析】ABC与DCE都是等边三角形BC=AC,CD=CE及.ACB=.DCE=60B,C,E三点共线EBCD/DCE=180,ZBCAMACE=180BCD二.ACE=120在BCD与ACE中BC=AC:/BCD乙ACE/BCD也：ACE,DC=ECCAN二CBMBCDACE=120,BCM-NCE=60ACD=60在B

5、CM与ACN中BC=AC上BCM=ACN=60.BCM也ACN,.CM=CN.Zcbm/can【补充】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形.求证:CF平分AFB.【解析】【补充】【解析】【例6】过点C作CG_AN于G,CH_BM于H，由.ACN也.MCB,利用AAS进而再证.BCH也.NCD，可得到CG=CH，故CF平分.AFB.如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形.请你证明：AN二BM;DEIIAB;CF平分.AFB.此图是旋转中的基本图形其中蕴含了许多等量关系.-MCN=60与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来

6、的对应角相等推到而得的：ZAFCZBFC;AN=BM,CD=CE,AD=ME,ND=BE；AMIICN,CMIIBN;DEIIAB.ACN：MCB,ADC：MCE，.:NDC也.BEC；DEC为等边三角形.ACM、CBN是等边三角形，MC=AC,CN=CB,ZACNZMCB.ACN也MCB,AN=BM由ACN也MCB易推得NDCBEC，所以CD=CE，又.MCN=60,进而可得DEC为等边三角形.易得DEIIAB.过点C作CG_AN于G,CH_BM于H，由ACN也MCB,利用AAS进而再证：BCH也NCD，可得ZAFCZBFC，故CF平分.AFB.AE、（2008年怀化市初中毕业学业考试试卷）

7、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接CG.求证：AE=CG.【解析】.ADC=/EDG/CDG乙ADE在CDG和ADE中CD=AD'ZCDG乙ADECDGADE.AE=CGDG=DE【例7】如图，点C为线段AB上一点，.SCM、厶CBN是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点,求证：iCDE是等边三角形.【解析】ACN也MCB,AN=BM,ZABMZANC又TD、E分别是AN、BM的中点，BCE也.：NCD,.CE=CD,.BCE=/NCD.DCENCD.NCEBCENCE-NCB=60CDE是等边三角形【补充】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE同侧作

8、两个等边三角形.：ABC和CDE(NACE<120°)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，贝UADPM是。A钝角三角形B直角三角形C等边三角形D非等腰三角形【解析】易得ACD也厶BCE.所以BCE可以看成是ACD绕着点C顺时针旋转60而得到的.又M为线段AD中点，P为线段BE中点，故CP就是CM绕着点C顺时针旋转60°而得.所以CP二CM且，NPCM=60°故CPM是等边三角形，选C.【例8】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点.求证：AE=BD.AEC【解析】ABC是等边三角形，.ACB=60,AC二BC./BCD/DCA=60，同理ACE&

9、#163;DCA=60,DC=EC."BCDMACE在BCD与ACE中，BC=ACI'ZBCDZACE.:BCD也.：ACE,.BD=AE.DC=EC【例9】【例9】如图，D是等边JABC内的一点，且BD=AD,BP=AB,ZDBPZDBC，问/BPD的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由.【解析】连接CD,将条件BD=AD,1ZBCDZACDACB=30,2.BDP也.：BDC(SAS)，二BPDBP二AB这两个条件，易得：ACD也.汨CD(SSS),得由BP=AB=BC，./DBPZDBC,BD二BD(公共边)，知=BCD=30故.BPD的度数是定值.【例

10、10】(2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形EO_OF.求证：BEBF为定值.ABC中，/B=90,AB=a,O为AC中点,【解析】连结OB由上可知,Z1£2=90，乙2/3=90；,1=-3，而/4=45,OB=0C.QBE也.OCF,.BE=FC,.BEBF二CFBF=BC=a.【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AE-CF=AB.AD【解析】正方形ABCD中，.1=/2=45,OA=0B而.3/4=90,4/5=90/3二/5,.：AOEB.：BOFAE=BF,AEFC=BFFC=BC二ABF是CB的延长线上一点，且【例11】（

11、2004河北）如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点EA_AF.求证：DE=BF.【解析】证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB二AD,ZBADZADEZABF=90.因为EA_AF,所以ZBAFZBAEZBAEZDAE=90，所以ZBAFZDAE，故RtABFRtADE，故DE=BF.【补充】如图所示，在四边形ABCD中，DC/ABC=90,AD二CD,DP_AB于P，若四边形ABCD的面积是16,求DP的长。【解析】如图，过点D作DE_DP，延长BC交DE于点E，容易证得厶ADP：CDE（实际上就是把AADP逆时针旋转90，得到正方形DPBE）正方形DPBE的面积等于四边形A

12、BCD面积为16,DP=4.【例12】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且/EAF=45,AH_EF,H为垂足，求证：AH二AB.ADAD【解析】延长CB至G，使BG二DF，连结AG，易证ABGADF,/BAG二/DAF,AG二AF.再证AEGAEF，全等三角形的对应高相等（利用三角形全等可证得），则有AH=AB.【例13】（1997年安徽省初中数学竞赛题）在等腰RtAABC的斜边AB上取两点M、N，使.MCN=45,记AM=m,MN=x,BN=n，则以x、m、A锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x、m、记AM=m,MN=x,BN=n，则以x、m、A锐角三角形B.直角三

13、角形C.钝角三角形D.随x、m、n为边长的三角形的形状是AMNBn的变化而变化【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1,求证：AF二DFBE.设DF=x（0<xw1）,ADF及S.若不存在，请说明理由.【解析】证明：如图，延长CB至点G，使得BG=DF，连结AG.【解析】如图，将CBN绕点C顺时针旋转90，得ACAD，连结MD,贝UAD=BN=n,CD=CN,/ACD二/BCN,/MCD=/ACM/ACD二/ACM/BCN=90；-45'=45：'=MCN.v:MDC也.：MNC,AMD二MN=x又易得EDAM=45；45'=90，在Rt：AMD中，有m2n2=x2

14、，故应选(B)点F在线段CD上运动，AE平分乙BAF交BC边于点E.与厶ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值因为ABCD是正方形，所以在RtADF和RtABG中，AD=AB,ZADF=NABG=90°,DF=BG.RfADF也RtABG(SAS),AF=AG，乙DAF/BAG.又IAE是乙BAF的平分线. EAF二BAE,.DAF.EAF=BAGBAE.即EAD二GAE./AD/BC,.GEA二/EAD,.GEA二/GAE,AG=GE.即AG=BGBE.AF=BGBE，得证.SABEJDFAD-1BEAB.*22AD=AB=1,1SDFBE由知，AF=DF-BE,1

15、所以SAF.2在Rt.ADF中，AD=1,DF=x, AF="x21,S=j、x21.2由上式可知，当x2达到最大值时，S最大而0<x<1,所以，当x=1时，S最大值为4x+1=丄时2.22【例14】（通州区2009一模第25题）请阅读下列材料：已知：如图1在RUABC中，NBAC=90°,AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE=45探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED,使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并

16、对你的猜想给予证明；当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.图1【解析】DEBD2EC2证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE.AEC也-ABE' BEJEC,AE=AE,ZCZABE,ZEACZEAB在RtABC中/AB=AC.ABC-.ACB=45 .ABC.ABE=90即/EBD=90EB2BD2二ED2又DAE=45.BAD.EAC=45.EAB.BAD=45即.EAD=45.AED也.AED-DE=DEDE2=BD2EC2关系式DE2二BD2EC2仍然成立证明：将AADB沿直线AD

17、对折，得AAFD，连FE .AFD也.ABDAF=AB,FD=DB.FAD=BAD,.AFD=.ABD又AB二AC,AF二AC.FAE=.FAD.DAE=.FAD45.EAC=BAC-.BAE=90-/DAE-.DAB=45.DAB .FAE=.EAC又AE二AE .AFE也ACEFE二EC,.AFE=.ACE=45.AFD=ABD=180'_ABC=135匚DFEZAFDZAFE=135-45=90在RtDFE中DF2FE2二DE2即DE2=BD2EC2.：BDCAC上,【例15】（北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题）如图所示，JABC是边长为1的正三角形，是顶角为120沖勺等腰

18、三角形，以D为顶点作一个60”的NMDN，点M、N分别在AB、求MMN的周长。【解析】如图所示，延长AC到E使CE=BM.在BDM与CDE中，因为BD二CD,MBD二ECD=90，BM二CE,所以BDM也CDE，故MD二ED.因为ZBDC=120；，/MDN=60：，所以BDMNDC=60.又因为BDM=CDE，所以MDN=/EDN=60.在.MND与.END中，DN=DN,MDN二/EDN=60,DM=DE,所以MND也END，则NE=MN，所以.AMN的周长为2.【例16】在等边ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为.ABC外一点，且.MDN=60,.BDC=120，BD=

19、CD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及MMN的周长与等边MBC的周长L的关系。UI©图图如图，当点M,N在边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系式；此时Q=L如图，当点M，N在边AB，AC上，且DM-DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；如图，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，贝UQ=（用X，L表示）Q2【解析】BM+NC=MN;-L3(2)猜想：仍然成立证明：如图，延长AC至E,使CE=BM，连接DETBD=CD,且乙BDC=120,ZDBC/DCB=30由ABC是等

20、边三角形，ZMBD/NCD=90,.:MBD也ECD(SAS).DM=DE,BDM=/CDE，EDN»BDC-MDN=60在MDN与EDN中DM=DEMDN二EDNIDN二DN.MDNEDN(SAS)MNne=ncBMAMI的周长Q=AMANMN=(AMBM)(ANNC)=ABAC=2AB而等边ABC的周长L=3ABQ2L_32(3)2xL3【补充】(1)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，/B=ZD=90,E、F分别是边BC、CD上的点，且1ZEAF=ZBAD.求证：EF=BEFD;2DDB(2)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180,E、F分别是边BC、CD上

21、的点,且ZEAF=-ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.2【解析】DD证明：延长EB到G,使BG=DF,联结AG.ZABG=ZABC=ZD=90,AB=AD,/.ABG也.ADF.AG=AF,1=2.11.3=23=EAFBAD.2ZGAE=ZEAF.又AE=AE,AEG也AEF. EG=EF./EG=BE+BG.EF=BE+FD中的结论EF=BEFD仍然成立【例17】平面上三个正三角形ACF,ABD,BCE两两共只有一个顶点，求证：EF与CD平分.【解析】连接DE与DFv/DBAZEBC,/BADZCAF.DBE=/ABC,.BAC=/DAF在DBE与ABC中DB二AB/DBE-

22、.ABCBE=BC:DBE也ABC(SAS)DE二CA二FC在.DFA与.：BCA中DA=BA!ZDAFZBACAF=AC.:DFA也BCA(SAS)DF=BC=ECDECF为平行四边形，EF,CD互相平分.【例18】K共线，AD=DK求证:已知：如图，AABC、CDE、厶EHK都是等边三角形，且A、D、HBD也是等边三角形.=CD【解析】连结EB,vCE所以BE=AD,延长EB交AK于M,贝UEBH=360"-/BHD-/HDE-/BED=300"-/HDM-/MDE-/MED=180.HDM180-60.MDEMED=180"DM=HDK.又因为HK=AD=B

23、E,BH=HD.并且,CE=EA,BE二AD,BE与AD的夹角为60,所以BEH也.：DKH.所以HK=HE,EHD=/EHD.DHK=/BHE.【例19】（1997年安徽省竞赛题）如图，在厶ABC外面作正方形ABEF与ACGH,ADABC的高,其反向延长线交其反向延长线交【解析】证明ABHAFC;(2)作FP_MD于P,HQ_MD于Q，先证AFP也43AD,ACD也/HAQ,再证FPMHQM【补充】以ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CE丄BG.GF【解析】易证AEC也ABG，故ACE=/AGB，又AC_AG,AOG=/BOC，故CE_BG.【例2

24、0】（北京市初二数学竞赛试题）如图所示，在五边形ABCDE中，ZBWE=90,AB=CD=AE=BC+DE=1，求此五边形的面积F【解析】我们马上就会想到连接AC、AD，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积并不容易，至此思路中断.我们回到已知条件中去，注意到BCDE=1,这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“截长补短法”那么可否把BC拼接到DE的一端且使EF=BC呢（如图所示）？据此，连接AF，则发现ABCAEF，且FD=1,AF=AC,AE二AB,ADF是底、高各为1的三角形，其面积为而.ACD与；AFD全等，从而可知此五边形的面积为1.2【例21】（希望

25、杯全国数学邀请赛初二第二试试题）在五边形ABCDE中，已知AB=AE,BCDE=CD,.ABC.AED=180，连接AD.求证：AD平分CDE.F【解析】连接AC.由于AB=AE，.匕ABCEAED=180'.我们以A为中心，将ABC逆时针旋转到.：AEF的位置.因AB=AE，所以B点与E点重合，而ZAEFZAEDZABCZAED=180,所以D、E、F在一条直线上，C点旋转后落在点F的位置，且AF=AC,EF=BC.所以DF二DEEF=DEBC二CD.在.ACD与.AFD中，因为AC二AF,CD二FD,AD=AD,故ACD空AFD,因此.ADC二.ADF，即AD平分.CDE.家庭作业

26、1.如图，已知JABC和ADE都是等边三角形,的理由.1.如图，已知JABC和ADE都是等边三角形,的理由.B、C、D在一条直线上，试说明CE与ACCD相等答案：AC=AB，.CAE=.BAD,AE=AD/.AEC也.ADBCE=BD又BD=BCCD=ACCDCE=ACCD2.（湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试）已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点,过点D作DF_DE交BC的延长线于点F.求证：DE=DF.答案：T.ADC=/EDF.ADE=.CDF在JADE和.CDF中/DAE/DCFIAD=CD/ADE/CDFADE也CDF DE=DF3.3.（2008山东）在梯形ABCD中，AB/CD,.A=90,判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程.AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点，试BAB又AB=2,BC=3,CD=1,CF=BC答案：延长BE交CD延长线于点F.tE是AD中点，DE=AE,/AB/CD,.