计算机数学(A)第二次辅导课

1、1计算机数学（A）第二次辅导课安徽广播电视大学教学处 吴和生2本章要点 线性方程组的有关概念， 增广矩阵及增广矩阵的阶梯化， 线性方程组解的判定， 线性方程组的解法3一、 n元线性方程组的有关概念 1. n元线性方程组 由n个未知量，m道所有的未知量都是一次的方程组成的方程组称为n元线性方程组。 习惯上我们用xj表示这些未知量，用aij表示它们的系数，用bj表示方程等号右边的常数。4n元线性方程组的一般形式为mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222221211121211111111221.nmmnnmxbaaxbaaxb系数矩阵未知变量52.齐次线性方程组

2、 如果常数项b1,b2,bm不全为0，则称n元线性方程组为非齐次线性方程。 如果常数项b1,b2,bm全为0，则称此线性方程组为齐次线性方程组。63. 消元法 1.用增广矩阵A表示线性方程组AXB 2.把增广矩阵中的系数矩阵部分用初等行变换化为阶梯形矩阵 3.求出最后一个未知量的解，然后逐个方程地回代，求出其余的未知量 4.写出线性方程组的解744213743242332352. 14321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx线性方程组解例253233121423471312414A解8(1,4)253233121423471312414124143121423471325

3、323A 解9124143121423471325323124140514480745501545 32-210(2,4)124140514480745501545124140154507455051448 1112414015450745505144812414015450039233000392433 121241401545003923300039243312414015450039233000013 13124140154500392330000131234234344:2445453923303xxxxxxxxxx 回代得144321:3,1,2,1:(1,2,1,3)xxxx 解得

4、或表示为12342343444343324454539233033392330396930,=-1xxxxxxxxxxxxxxx 代入1512341234123442.23932884xxxxxxxxxxxx 例 求解 300001111041111855501111041111488239113241111A解方程无解161234123412342342323883.3295234xxxxxxxxxxxxxxx例 解线性方程组171112321388:3219501234A解11123031420523401234 18111230123400121224005510 11123012340

5、5234031421911123012340011200551011123012340011200000 2011123012340011200000123423434232342xxxxxxxxx 211424342102xxxxxx1424341-22-xxxxxx224.行简化阶梯矩阵 定义:满足下列条件的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵 各非0行的第一个非0元素(首非0元)为1， 各首非0元所在列的其余元素均为0。2300000100001210022071例如171200012000001000001702000120000010000017020001200000100000XXX2

6、4四.行简化阶梯矩阵 任意阶梯形矩阵都可用初等行变换化为行简化阶梯形矩阵。 因此，我们可以把增广矩阵经过初等行变换化为行简化阶梯形矩阵。进而求出线性方程组的一般解。2513423322438354. 44321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解线性方程组例:145383114221113132413A解26145383114221113132413145380676900601807375A 27145380676900601807375145380676900103014114 28145380676900103014114145380606120010301012

7、429145380606120010301012145380000000103010123014538010120010300000 145380000000103010123114538010120010300000100110101200103000003210011010120010300000142434123xxxxxx 解为为自由变量331234123412341234352023505.74304157100 xxxxxxxxxxxxxxxx例 解线性方程组:3512023510174304157100A解3435122351A=1743415710174323513512415

8、710351743235135124157101743017137016117043232236174301713701611704323221743012001611704323223717430120016117043232217430120002170063223817430120002170063221743012000217000139174301200021700011740012000210000140174001200021000011740012000100001411740012000100001170001000010000142170001000010000110000

9、10000100001该齐次线性方程组只有零解43 .,0,:个解向量且每个基础解系中含的基础解系存在则定理rnAxnrArAnm例6:求一个齐次线性方程组的解0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx44 000034210352010000342101221463046301221341122121221:2122313122312rrrrrrrrr系数矩阵解03420352432431xxxxxx45432431342352xxxxxx2413,cxcx2413212211342352cxcxccxccx1034350122214321ccxxxx46二.线性方

10、程组解的情况判定 线性方程组AXB有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，( )( ),( )( ),AAAXBr Ar Arrnrn即秩秩若线性方程组满足则当时线性方程组有唯一解当时线性方程组有无穷多解47123412341234123425323223232542325328xxxxxxxxxxxxxxxx例25323223232542325328A解4825323223232542325328A解2532303000001000000549253230300000100000055025323030000010000005AA秩为3秩为451253230300000100

11、00000A=方程有无数解的情况521231231231231231231313123123123131:(1)(2)2020234234432243223253242(3)2023443203324xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 例判定下列方程组解的情况53无解解4)(,3)(47000181004110012129100181004110012155602650411001215203223441320121)1 (:ArArA54有唯一解解nArArA3)()(0000181004110012118100181004110012142562650411

12、0012142203223441320121) 2( :55有无穷多解nArArA2)()(0000000041100121246602055041100121243032013441320121)3(5612341234123412342.?7420253215854342xxxxxxxxxxxxxxxx例当 为何值时，线性方程组有解 有解时求出它的解。30000000001259002471615270361527012590024712114345851235202471:A解57174200952100000000031742009521000000000035817420095210

13、000000000147109995210199900000000005914710999521019990000000000134234714999152999xxxxxx60齐次线性方程组解的判断 齐次线性方程组AX有非零解的充要条件是r(A)n12312312301.00 xxxxxxxxx例 讨论 的情况求方程的解11A= 1111解111111611111112110110112110110111101100(2)(1)22(1)(1) 11 12 62(1).=1当时方程有无数解123123123000 xxxxxxxxx1 1 11111 1 10001 1 1000123123

14、0 xxxxxx 63(1).=-2当时方程有无数解123123123202020 xxxxxxxxx21121112112111200064(2).=-2当时方程有无数解21103312112100000012110101101100000013xx23xx65123123212312.xxxxxxxxx例讨论 的情况求方程的解2222211111111111111110 11101166222222110 1110 11110 110 111 6722222110 110 111110 1100(1)(2)(1)(1) 6822110 1100(1)(2)(1)(1) 1231231231

15、23123(1)=-2,(2)=1,:x +x +x =1x +x +x =1x +x +x =1x +x +x =1x =1-x -x当时 方程无解当时 方程无数解 此时方程为6922110 1100(1)(2)(1)(1) (3)-2,1,当且时 方程唯一解7022110 1100(1)(2)(1)(1) 22110 1100(2) (1)7122110 1100(2) (1)21101100(2)(1)7221101100(2)(1)211011(1)001273211011(1)001221110102(1)00127421110102(1)001221100-210102(1)00127512312321231xxxxxxxxx221231100-210102(1)001211(1)x =-,x =,x =2227612312321231xxxxxxxxx2212322221(1)-+222- +1+(1)- +1+21=122xxx77例 设非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵484355121022121111000111,bA试求Ax=b的一般解.78解0