第三章 静力学平衡问题

1、1第三章第三章力系的平衡条件与力系的平衡条件与平衡方程平衡方程2（1）力系的平衡条件。）力系的平衡条件。（2）求刚体系统平衡时的约束力或平衡时的位置。）求刚体系统平衡时的约束力或平衡时的位置。（3）带有摩擦的平衡问题。）带有摩擦的平衡问题。本章内容是静力学部分的核心，包括：本章内容是静力学部分的核心，包括：关于关于“”的概念的概念（1）物体或物体系统的平衡）物体或物体系统的平衡相对于惯性参考相对于惯性参考 空间静止或匀速直线平移。空间静止或匀速直线平移。（2）平衡力系）平衡力系即零力系，力系的主矢和主矩即零力系，力系的主矢和主矩均为零。均为零。33.1 3.1 力系的平衡方程力系的平衡方程一、

2、力系平衡的充要条件：一、力系平衡的充要条件：niiiniiOOniiRFrFMMFF1110)()(,0如果是如果是空间问题，空间问题，展开式为：展开式为：niiOzniiOyniiOxniizniiyniixFMFMFMFFF1111110)(,0)(,0)(0,0,0以上以上6 6式称为式称为空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程，有，有6 6个独立的个独立的平衡方程，可求得平衡方程，可求得6 6个未知量。个未知量。4特殊的空间力系及独立平衡方程个数：特殊的空间力系及独立平衡方程个数：（1 1）空间汇交力系）空间汇交力系 0)(iOFM各力交于各力交于O点点平衡方程仅有平衡方程仅有0

3、iRFF即即0, 0, 0iziyixFFF（2 2）空间力偶系）空间力偶系iFO3F2F1FiMO3M2M1M0iRFF平衡方程仅有平衡方程仅有0iOMM即即0, 0, 0iziyixMMM5（3 3）空间平行力系）空间平行力系 xyz设各力平行于设各力平行于z 轴，则有轴，则有0, 0, 0iziyixMFF平衡方程仅有平衡方程仅有0, 0, 0iyixizMMF（4 4）其他）其他例如：空间各力与某轴例如：空间各力与某轴 l 相交相交l各力对各力对 l 轴之矩恒为零轴之矩恒为零iFO3F2F1F6如果是如果是平面问题平面问题（设为（设为xy平面），则平面），则平面任意力系平面任意力系独立

4、独立平衡方程个数为平衡方程个数为？ 0,0,0 xyOFFMF上式称为平衡方程上式称为平衡方程一矩式一矩式，二矩式二矩式和和三矩式三矩式分别为：分别为： 0000 xyABFFMFMF或 000ABCMFMFMF条件是：条件是：A A、B B 两点的连线不两点的连线不能与能与x x 轴（或轴（或y y 轴）垂直轴）垂直条件是：条件是：A A、B B、C C三点不能共线三点不能共线重点重点3 个个7上述三组方程，每组中独立的平衡方程的个数均为上述三组方程，每组中独立的平衡方程的个数均为3，若找到第四个方程，则必是前若找到第四个方程，则必是前3个方程的线性组合，个方程的线性组合，并且不是独立的。并

5、且不是独立的。因此，对于因此，对于，求解，求解3个未个未知量；当未知量超过知量；当未知量超过3个时，就属于静不定问题。个时，就属于静不定问题。例如：例如：1F2F1F2F8（1）平面汇交力系：）平面汇交力系：设汇交点为设汇交点为A0)(1niiBFM0)(1niiCFM或或(A、B、C三点不共线三点不共线)01niiM01niixF0)(1niiBFM或或（AB连线不连线不垂直于垂直于x轴）轴）（2）平面力偶系：）平面力偶系：（各力偶（各力偶Mi作用面相互平行即可）作用面相互平行即可）01niixF01niiyFAxyBC特殊的平面力系及独立平衡方程个数：特殊的平面力系及独立平衡方程个数：9（

6、3）平面平行力系：）平面平行力系：设各力与设各力与 y 轴平行轴平行01niiyF0)(1niiAFMOxyiFnF1F或或0)(1niiAFM0)(1niiBFM其中其中与各与各不平行。不平行。ABiFAB各种力系平衡方程的基本形式各种力系平衡方程的基本形式小结小结11补充：平行力系中心及分布载荷补充：平行力系中心及分布载荷1213141516小结小结（1 1）确定研究对象，取分离体作受力图；）确定研究对象，取分离体作受力图；（2 2）建立坐标系，列出平衡方程（）建立坐标系，列出平衡方程（选择技巧选择技巧）；）； a) a) 坐标轴的建立尽量与较多的力平行或垂直坐标轴的建立尽量与较多的力平行

7、或垂直 b) b) 力矩中心应尽量选在多个未知力的汇交点力矩中心应尽量选在多个未知力的汇交点（3 3）解方程，求出未知量）解方程，求出未知量 。二、力系平衡问题的解决方法二、力系平衡问题的解决方法18解：取梁解：取梁AB为分离体，画受力图。为分离体，画受力图。由由0)(1niiAFM三、例题解析例题解析alFrrQQABABFQr2列出该梁的平衡方程。列出该梁的平衡方程。lFNBcosFaQr20选矩心为选矩心为A点：点：AyFAxFNBFcos2lQrFa (方向如图方向如图)（平面任意力系，只有（平面任意力系，只有3个独立方程）个独立方程）NBF已知支架受力如图，其中已知支架受力如图，其中

8、求求A、B处的约束力。处的约束力。QQ例例 题题 119若取矩心为若取矩心为B点，则有：点，则有：0)(1niiBFM02)(QralFlFAy该式不再独立，可作为校核。该式不再独立，可作为校核。BNABFQr2AyFAxFAxFtg2lQrFa ()AyFlQralF2)()01niixF0sin NBAxFF由由由由01niiyF0cosFFFNBAy20求一端固支、一端自由的梁求一端固支、一端自由的梁(悬臂悬臂梁梁)固支端的约束力。固支端的约束力。解：取解：取AB为分离体，画出受力图。为分离体，画出受力图。AMAyFAxFQ由由01niixFAxF0由由01niiyFAyFQ0由由0)(

9、1niiAFM02lQMA均布载荷均布载荷（同向平行力系）合力为（同向平行力系）合力为QAyFQql()AMQl21221ql()ABBlqA例例 题题 221例例 题题 3起重机的配重问题起重机的配重问题已知轨距已知轨距b3m，机重，机重G500kN，e 1.5m,最大起重量最大起重量P250kN，l =10m, a =6m。求起。求起重机满载与空载时均不重机满载与空载时均不翻倒的配重翻倒的配重Q值。值。ABblaeQGP22解解: (1)满载情况满载情况P =250kN;取起重机为分离体画受力图，取起重机为分离体画受力图，0)(1niiBFM0)(PlGebNbaQA满载不翻倒限制条件满载

10、不翻倒限制条件0AN0bPlGebaQ)(ANG则则QbaGePl=361kNABblaeANBNPQ平面平行力系平面平行力系, 2个独立方程，个独立方程，以以B点为矩心：点为矩心： 23(2)空载情况：空载情况：P =00)(1niiAFM0)(ebGbNQaB0BN空载不翻倒限制条件空载不翻倒限制条件BNbQaebG)(0QaebG)( =375kN Q361kN375kNGABblaeANBNQ以以A点为矩心：点为矩心：24例例 题题 4ACDxyzEB4m2m2m解：解：1.以板为对象画出受力图以板为对象画出受力图ACDxyzEB4m2m2mTFBxFBzFAyFAzFAxFP均质长方

11、形薄板，重量均质长方形薄板，重量P=200N，角，角A由光滑球铰链固由光滑球铰链固定，角定，角B处嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了处嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了角角B在在x,z方向的运动，方向的运动，EC为钢索，将板支持在水平位为钢索，将板支持在水平位置上，试求板在置上，试求板在A，B处的约束力及钢索的拉力。处的约束力及钢索的拉力。252.列出板的平衡方程列出板的平衡方程解法一解法一空间任意力系，空间任意力系，6个独立方程。个独立方程。ACDxyzEB4m2m2mTFBxFBzFAyFAzFAxFP 2TF1TF0izM04 BxF0BxFTTTTFFFF630204164cos1

12、TTTTFFFF662042sin20iyM0212TFPNPFFTT610063662(拉力拉力)260ixM04242BzTFPF042200610066BzF0ixF016421TBxAxFFFNFAx10020261006300iyF02041TAyFFNFAy20020461006300izF02BzTAzFFPFNFPFTAz10066610020066ACDxyzEB4m2m2mTFBxFBzFAyFAzFAxFP 2TF1TF27ACDxyzEB4m2m2mTFBxFBzFAyFAzFAxFP 2TF1TF解法二解法二分别取分别取AC，BC，AB，l1，l2，z 为矩轴：为矩轴

13、：l1l20iACM0BzF0iBCM024PFAzNPFAz10020iABM0222TFPNPFT610066(拉力拉力)10ilM 0220441TAxFFNFFTAx1002026300izM0BxF04BxF20ilM 024AyAxFFNFFAxAy2002283.2 3.2 刚体系的平衡刚体系的平衡 由若干个刚体组成的系统称为刚体系。在处理平由若干个刚体组成的系统称为刚体系。在处理平衡问题时有可能出现约束力的个数多于平衡方程的个衡问题时有可能出现约束力的个数多于平衡方程的个数的情况，即出现数的情况，即出现“静不定静不定”。 我们可以合理地将系统分解为若干个分系统。如我们可以合理地

14、将系统分解为若干个分系统。如果对于这些分系统，问题是静定的，那么系统的果对于这些分系统，问题是静定的，那么系统的“静不定静不定”问题将迎刃而解。需要注意的是，在分解问题将迎刃而解。需要注意的是，在分解分系统时不要忘记分系统时不要忘记子系统间的约束力子系统间的约束力。 此类问题如何解决？此类问题如何解决？请同学们看教材请同学们看教材P54例例3-8 、P55例例3-929例例 图示两根梁由铰图示两根梁由铰 B 连接，它们置于连接，它们置于O，A，C三个支承上，三个支承上，梁上有一集度为梁上有一集度为 q 的均布载荷，一集中力的均布载荷，一集中力 F 和一力偶矩和一力偶矩 M，求各个支承处的约束力

15、。求各个支承处的约束力。OABCDFqMaaaa 约束类型，固定铰支座的约束反约束类型，固定铰支座的约束反力可以分解到两坐标轴方向，活力可以分解到两坐标轴方向，活动铰支座各有一个约束力动铰支座各有一个约束力OABCDFqMyOXFOYFAYFCYF先将系统解除约束，以先将系统解除约束，以O为原点建立坐标系为原点建立坐标系主动力：主动力： 分布载荷、集中力分布载荷、集中力 F、主动力矩主动力矩 M约束反力：约束反力：x30平面任意力系静力平衡方程只有平面任意力系静力平衡方程只有3个，只能求解个，只能求解3个未个未知量，因此，无法直接求得知量，因此，无法直接求得4个约束反力个约束反力。OABCDF

16、qMyOXFOYFAYFCYFx 我们可以将铰我们可以将铰B 解除，先分析解除，先分析BD 梁，当然，解除梁，当然，解除B后，两根梁在后，两根梁在B点存在作用与反作用力，同样可分解点存在作用与反作用力，同样可分解到水平和垂直方向，主动力到水平和垂直方向，主动力F视为作用在销钉上。视为作用在销钉上。整体上看是属于整体上看是属于静不定问题静不定问题31aaBDMqaCYFBXFBYF02aqaMaFCY2qaaMFCY再回到原系统，可建立再回到原系统，可建立3个平衡个平衡方程解得：方程解得：aMqaFF,aMqaFF,FOYAYOX22520OABCDqMaaaa对于对于BD梁，梁，由对由对B点合

17、力矩为零，点合力矩为零，建建立静力平衡方程立静力平衡方程OABCDFqMyOXFOYFAYFCYF 0BmxF321.求解思路求解思路（1）根据所求的未知约束力，先对所涉及的刚体）根据所求的未知约束力，先对所涉及的刚体进行受力分析，找出其中的已知主动力、未知约束进行受力分析，找出其中的已知主动力、未知约束力（要求的和不必求的）。分析未知力个数及独立力（要求的和不必求的）。分析未知力个数及独立平衡方程个数。平衡方程个数。（2）若缺少方程，再对未知约束力涉及的其他刚体）若缺少方程，再对未知约束力涉及的其他刚体（或刚体系）取分离体，引入新的未知力并分析增（或刚体系）取分离体，引入新的未知力并分析增加

18、的平衡方程个数。直到未知力个数与平衡方程个加的平衡方程个数。直到未知力个数与平衡方程个数相等。数相等。（3）对涉及的各分离体列出适当的平衡方程（注意）对涉及的各分离体列出适当的平衡方程（注意各方程的独立性），求出全部待求未知力。各方程的独立性），求出全部待求未知力。332.关于独立的平衡方程个数关于独立的平衡方程个数注意：刚体系统中如果每个刚体的平衡方程注意：刚体系统中如果每个刚体的平衡方程全部成立，则整体的平衡方程为恒等式，不全部成立，则整体的平衡方程为恒等式，不再提供独立的方程。再提供独立的方程。3.注意利用矩形式的平衡方程，可通过选择适注意利用矩形式的平衡方程，可通过选择适当的矩心使得方

19、程中尽量少出现未知力。当的矩心使得方程中尽量少出现未知力。求解所用到的全部方程必须是相互独立的。求解所用到的全部方程必须是相互独立的。341、定义：相接触物体，产生相对滑动趋势时，其接触面、定义：相接触物体，产生相对滑动趋势时，其接触面 产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。 （ 就是接触面对物体作用的切向约束反力）就是接触面对物体作用的切向约束反力） 2、状态：、状态： 静止：静止： 临界：（将滑未滑）临界：（将滑未滑） 滑动：滑动：PF )(不固定值FPmaxsNFfFNFfF一、静滑动摩擦力一、静滑动摩擦力所以增大摩擦力的途径为：加大正压力所以增大摩擦力的途

20、径为：加大正压力 , 加大摩擦系数加大摩擦系数（fs 静滑动摩擦系数）静滑动摩擦系数）（f 动摩擦系数）动摩擦系数）3-3 3-3 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题353、 特征：特征： 大小：大小：（平衡范围）满足（平衡范围）满足静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反 定律：定律：（ fs 只与材料和表面情况有只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）关，与接触面积大小无关。）二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动） 大小：大小： （无平衡范围）（无平衡范围

21、）动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反 定律：定律： （f 只与材料和表面情况有只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）关，与接触面积大小无关。）max0FF 0XmaxsNFfFNFfFNFfF36maxFm三、摩擦角三、摩擦角(教材教材P62)定义：当摩擦力达到最大值定义：当摩擦力达到最大值 时其时其全反力全反力 与法线的夹角与法线的夹角 叫做叫做摩擦角摩擦角。maxtgsNmsNNFf FfFF 计算：计算：37四、自锁四、自锁 定义：当物体所受主动力的合力的作用线位于摩擦角的定义：当物体所受主动力的合力的作用线位于摩擦角的范围内时，无论主动力有多大，物体也保持平衡，这种现象范围内时，无论主动力有多大，物体也保持平衡，这种现象称为自锁。即物体仅靠全反力，就能自己把自己卡紧，不会称为自锁。即物体仅靠全反力，就能自己把自己卡紧，不会松开（无论外力多大）。松开（无论外力多大）。 当当 时，永远平衡