第三章平面问题的直角坐标解答

1、12弹性力学Mechanics of Elasticity第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答3-1 3-1 多项式解答多项式解答3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力3-5 3-5 级数式解答级数式解答3-6 3-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷 习题课习题课3弹性力学Mechanics of Elasticity一、应力函数取一次多项式一、应力函数取一次多项式应力分量：0, 0, 0yxxyyx应力边界条件：结论：（1）线性应力函数对应于无面力

2、、无应力的状态。（2）把任何平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。二、应力函数取二次多项式二、应力函数取二次多项式cybxa,22xfyxx,22yfxyy.2yxxy0yxff22cybxyax1.对应于 ，应力分量 2ax0,2, 0yxxyyxa3-1 3-1 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解答多项式解答4xyoa2a2（a）2ax结论：应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图（a）。y0a0a2.对应于 ，应力分量 。 bxy byxxyyx, 0, 0结论：应力函数 能解决矩形板受均布剪力问题。如图（b）。bxy xyobb

3、bb（b）xyoc2c2（c）x3.应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 c0)或均布压力（设c0）的问题。如图3-1（c）。2cy 弹性力学Mechanics of Elasticity5弹性力学Mechanics of Elasticity三、应力函数取三次式三、应力函数取三次式对应的应力分量：0, 0,6yxxyyxay（a）3ay 结论：应力函数 能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图3-2所示的矩形梁。3ay 图3-2,22xfyxx,22yfxyy.2yxxyMMhl2h2hyxx图xy1弹性力学Mechanics of Elasticity3-2 3-2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的

4、纯弯曲 设有矩形截面的直梁，它的厚度远小于深度和长度(近似的平面应力情况)，或者远大于深度和长度(近似的平面应变情况)，在两端受有相反的力偶而弯曲，体力可以不计。为了方便，取单位厚度的梁来考察，如图示，并令每单位宽度上力偶的矩为M，M的量纲是力长度长度。试求梁的应力。问题提出MMhl2h2hyxx图xy1弹性力学Mechanics of Elasticity解 由前知，应力函数 =ay3能解决纯弯曲的问题，满足. 04 而相应的应力分量为,622ayyx. 022xy. 02yxxy在下边和上边都没有面力，要求0, 022hyxyhyy是能满足的，因为在所有各点都有xy=0，y=0。(a)MM

5、hl2h2hyxx图xy1弹性力学Mechanics of Elasticity在左端和右端，没有铅直面力，分别要求0, 00lyxyyxy满足。006yxxyyxay 此外，在左端或右端，水平面力应该合成为力偶，而力偶的矩为M，这就要求水平面力的主矢量为零，主矩为M，亦即Myyyhhxhhx2222d0d将应力x代入，上列二式成为Myyayyahhhh22222d6, 0d6前一式总能满足，而后一式要求32hMa MMhl2h2hyxx图xy1弹性力学Mechanics of Elasticity注意到梁截面的惯性矩是 ，上式又可以改写成1213hI0, 0,xyyxyIM这就是矩形梁受纯弯

6、曲时的应力分量，结果与材料力学中完全相同，即梁的各纤维只受单向拉压，即所谓弯曲应力按直线分布，见图。(3-2)代入式(a)，得0, 0,123xyyxyhM(b)MMhl2h2hyxx图xy1应当指出，组成梁端力偶的面力必须按直线分布，解答(3-2)式才是完全精确的。如果两端的面力按其他方式分布，解答(3-2)式是有误差的。但是，按圣维南原理，只在梁的两端附近有显著的误差；在离开梁端较远处，误差是可以不计的。由此可见，对于长度 l 远大于深度 h 的梁，解答(3-2)式有实用价值的；对于长度 l 与深度 h 同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。弹性力学Mechanics of E

7、lasticity11弹性力学Mechanics of Elasticity3-3 3-3 位移分量的求出位移分量的求出 以矩形梁的纯弯曲问题为例，说明如何由应力分量求出位移分量。一、平面应力的情况一、平面应力的情况 将应力分量 代入物理方程0, 0,yxxyyxyIMxyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(112弹性力学Mechanics of Elasticity得形变分量：0,xyyxyEIMyEIM（a）再将式（a）代入几何方程：yuxvyvxuxyyx得:0,yuxvyEIMyvyEIMxu前二式积分得：)(2),(221xfyEIMvyfxyEIMu（b）（c）其中的 和 是

8、任意函数。将式（c）代入（b）中的第三式1f2f13弹性力学Mechanics of Elasticity得:xEIMxxfyyfd)(dd)(d21等式左边只是 的函数，而等式右边只是 的函数。因此，只可能两边都等于同一常数 。于是有：yxxEIMxxfyyfd)(d,d)(d21积分以后得：022012)(,)(vxxEIMxfuyyf代入式（c），得位移分量：022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu其中的任意常数 、 、 须由约束条件求得。0u0v（d）14（一）简支梁（一）简支梁22)(2,)2(yEIMxxlEIMvylxEIMu如图3-3（a），约束条件为：0)( , 0

9、)( , 0)(00000ylxyxyxvvu由式（d）得出：代入式（d），就得到简支梁的位移分量：EIMlvu2, 0, 000梁轴的挠度方程：xxlEIMvy)(2)(0022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu（d）弹性力学Mechanics of Elasticity图3-3MMOxyl（a）15弹性力学Mechanics of Elasticity（二）悬臂梁（二）悬臂梁如图3-3（b），约束条件为：0)( , 0)( , 0)(000ylxylxylxxvvu由式（d）得出：EIMlEIMlvu,2, 0200得出悬臂梁的位移分量：222)(2,)(yEIMxlEIMvyx

10、lEIMu梁轴的挠度方程：20)(2)(xlEIMvyMMoxyl（b）022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu（d）16弹性力学Mechanics of Elasticity二、平面应变的情况二、平面应变的情况 只要将平面应力情况下的形变公式和位移公式中的 换为 ， 换为 即可。E21E1弹性力学Mechanics of Elasticity 设有矩形截面的简支梁，深度为 ，长度为 ，受均布载荷 ，体力不计，由两端的反力 维持平衡。如图3-4所示。取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。hl 2qql 用半逆解法。假设 只是 的函数：yy)(yfy则：)(22yfx)()(1yf

11、yxfx对 积分，得：x)()()(2212yfyxfyfx解之，得：其中， 、 是任意函数，即待定函数。)(1yf)(2yf（a)（b)3-4 3-4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载qlqqllloxy2h2h图3-4弹性力学Mechanics of Elasticity 现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。为此，对 求四阶导数：将以上结果代入相容方程，得：424414442442222444d)(dd)(dd2)(d,d)(d, 0yyfyyfxyyfxyyyfyxx0d)(d2d)(dd)(dd)(d2122424414244yyfyyfxyyfxyyf相容条件要求此二次方程有无数

12、的根(全梁内的 值都应该满足它),所以,它的系数和自由项都必须等于零。即：x0d)(d2d)(d, 0d)(d, 0d)(d2242441444yyfyyfyyfyyf前面两个方程要求：GyFyEyyfDCyByAyyf23123)(,)(（c）第三个方程要求：23452610)(KyHyyByAyf（d）将式（c）和（d）代入式（b），得应力函数：234523232610)()(2KyHyyByAGyFyEyxDCyByAyx（e）相应的应力分量为：)23()23(2622)26()26(2222232223222GFyEyCByAyxyxDCyByAyxKHyByAyFEyxBAyxyxy

13、yx（f）（g）（h）弹性力学Mechanics of Elasticity这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部应力边界条件都满足，除非常数 、 等于特定值，这样以上应力分量才是正确的解答。ABK 因为 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于 yz 面。这样， 和 应当是 的偶函数，而 应当是 的奇函数。于是由式（f）和（h）可见：yzxyxxyx0GFE（一）考察上下两边的边界条件0)( ,)( , 0)(222hyxyhyhyyq 将上式代入应力分量表达式，三个应力分量变为：)23(2622)26(2223232CByAyxDCyByAyKHyByAyBAyxxyyx

14、 上式中共有六个待定常数，利用应力边界条件求出。（i）弹性力学Mechanics of Elasticity弹性力学Mechanics of Elasticity整理，得：0430432480248222323ChBAhChBAhqDChBhAhDChBhAh 由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得：2,23,0,23qDhqCBhqA弹性力学Mechanics of Elasticity2,23, 0,23qDhqCBhqA将上面所得常数代入应力分量表达式（i），得：xhqxyhqqyhqyhqKHyyhqyxhqxyyx23622322646233333

15、23（k）（L）（j）弹性力学Mechanics of Elasticity（二）考察左右两边的边界条件 由于对称性，只需考虑其中的一边。考虑右边：22220d)(0d)(hhlxxhhlxxyyy（m）（n） 将式（j）代入式（m），得：0d)2646(322332yKHyyhqyhqlhh积分，得：0K 将式（j）代入式（n），得：0d)646(322332yyHyyhqyhqlhh积分，得：hqhqlH1032qlqqllloxy2h2h图3-4弹性力学Mechanics of Elasticity将式 （l）代入，上式成为：满足。 d)236(2223hhqlyhqlyhql 另一方面

16、，在梁的右边剪应力满足：22d)(hhlxxyqlyyhqyhqlyhqyxhqx53646323323（p）将 和 代入式（j），得：HK将式 （p）、（k）、（L）整理，得应力分量：)4(6)21)(1(2)534()(6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx（q）弹性力学Mechanics of Elasticity各应力分量沿铅直方向的变化大致如图3-5所示。 在x的表达式中，第一项是主要项，和材料力学中的解答相同，第二项是弹性力学提出的修正项。对于通常的浅梁，修正项很小，可以不计。对于较深的梁，则需注意修正项。 y的最大绝对值是q，发生在梁顶。在材料力学中

17、，一般不考虑这个应力分量。xy 和材料力学里完全一样。 xyxy图3-52h2h021120534222IbSFhyhyqhyhyqyIMsxyyx弹性力学Mechanics of Elasticity以梁的中间截面为例，梁顶与梁底的弯曲应力为22222,015113hlhlqhyxx当h/2l=0.10时，第二项为第一项的0.3当h/2l=0.25时，第二项为第一项的1.7当h/2l=0.50时，第二项为第一项的6.70.20.40.60.810.050.10.150.20.25h/2l第一项第二项当梁承受自身重量以代替分布荷载q时，解答必须加以这样的修正：在方程(3-6)中令q=h(为梁的

18、容重)，并加上应力只须取就可由232361hxyyxyfxxfyxyyyxx22222,得到应力分布0,2, 0 xyyxyh弹性力学Mechanics of Elasticity0,2, 0 xyyxyh因而它代表由重量和边界力引起的一种可能的应力状态。在简支梁的上边(y=-h/2) ，我们有y=h，而在下边(y=h/2)有y=0，于是将应力0,2, 0 xyyxyh与前面令q=h而得到的解答相叠加。这时，梁的两个水平边上的应力就成为零，而梁上的荷载只是梁的重量。弹性力学Mechanics of Elasticity 欲求简支梁的变形，可用与上节相同的方法得到。格式(m)代入Cauchy方程

19、，得222322323323232242103234122341210322yhGIqxyuxvyhyyxlyyhhEIqyvyyhhyhyyxlEIqxu(n)（二）梁的位移分量弹性力学Mechanics of Elasticity xgyhyyxlyyhyhEIqvyfxyyhhxyhyyxxlEIqu224222422332323322062128122341210322积分前两式，求得(o)把u、v代入前面的第三式，并使用关系式G=E/2(1+)，整理后，得 045232dddd232xhxxlEIqxxgyyf上式左边第一项只是y的函数，而花括号内的式子只是x的函数。为使两个函数的和

20、等于零，令这两个函数分别等于零，即弹性力学Mechanics of Elasticity xhxxlEIqxxgyyf45232dd0dd232分别积分上边两式，得 ExhxxlEIqxgCyf2242285112212式中，C、E为积分常数。在梁的中央截面上，形心垂直位移(挠度)为，水平位移为零，故有0, 00, 0|, 0|yxyxvu(p)弹性力学Mechanics of Elasticity把式(p)代入(O)中，并使式(O)满足上面的边界条件得C=0， E= 把C和E代入式(p)，再把式(p)代回式(o)，得到位移u、v的表达式2242222422242233232332851121

21、222062128122341210322xhxxlEIqyhyyxlyyhyhEIqvxyyhhxyhyyxxlEIqu(q)弹性力学Mechanics of Elasticity令(q)中第二式的y=0，得简支梁的挠曲线的方程式为2242285112122xhxxlEIqv根据简支梁的边界条件(r)0|0,ylxv得8515121245224lhEIql式中，为简支梁跨中点的挠度，与材料力学的结果相比轮可见方括号前的因子就是按材料力学梁弯曲理论求得的跨度中点的挠度，而方括号中的第二项则是考虑剪切影响而作的修正。 (s)弹性力学Mechanics of Elasticity按式(r)对x取两

22、次导数，求得梁挠曲线的曲率为85121dd22222hxlEIqxv可见，挠曲线的曲率并不是精确地正比于横截面上的弯矩q(l2-x2)，方括号中的第二项代表对材料力学公式的修正。(t)弹性力学Mechanics of Elasticity弹性力学Mechanics of Elasticity 设有楔形体，左面垂直，顶角为，下端无限长，受重力及齐顶液体压力,楔体密度为，液体密度为，试求楔体应力分量。. gfy问题3-5 3-5 楔形体受重力及液体压力楔形体受重力及液体压力0 xf用半逆解法求解。（1）用量纲分析法假设应力: 楔形体的应力分量应由重力W和由液体压力p引起的应力分量，它们分别与g和g

23、成正比(g是重力加速度)。gxy2Ngo（a) 这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式，而应力函数对坐标的二阶偏导数给出应力分量，所以，应该是x和y的纯三次式3223dycxyybxax(a). 04 （2）由求应力（1）满足相容方程弹性力学Mechanics of Elasticity 由题意，两部分的应力均与x、y、有关。应力的量纲是力长度-2 g和g的量纲是力长度-3，是无量纲的量，而x和y的量纲是长度，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那末，它们的表达式只可能是Agx、Bgy、Cgx、 Dgy四种项次的组合，而其中的A、B、C、D是无量纲的数量，只与有关。边界条件在左面

24、，即在x=0边界上：将式(b)代入上式，得0|,|00 xxyxxgy02,6cygydy0,6cgd因而式(b)成为bxgybyaxgyxyyx226(c),6222dycxxfyxx,26122gybyaxyfxyy.222cybxyxxy(b)弹性力学Mechanics of Elasticitygxy2Ngo（a)在右面, 即x=y tan的边界上， 0yxff0|0|tantantantanyxyyxxyyxxyyxxmlml将式(c)代入，得02tansintan2cos0tan2sincosgybybaybybygy(d)其中sin2cos,cos,cos,cosjninml代入

25、式(d)，求解(b)和(a)即得3cot6cot,2cot32ggagb弹性力学Mechanics of Elasticitygxy2Ngo（a)解答与分析v将系数a、b的值代入式(c)，得李维(Lvy)解答。223cotcotcot2cotgxyggxgggyxyyx(3-7)v各应力分量沿水平方向的变化如图示。可见，x 沿水平方向没有变化，该结果由材料力学公式是得不到的。2ggnxyO图x图y图xy弹性力学Mechanics of Elasticityvy沿水平方向按直线变化，在左面和右面，它分别为 2tan20cot|cot|gyyggyxyxy这与用材料力学里的偏心受压公式算得的结果相

26、同。yggxggy23cotcot2cot弹性力学Mechanics of Elasticity2ggnxyO图x图y图xyv应力分量xy也按直线变化，在左面和右面分别为cot|0|tan0gyyxxyxxy 按照材料力学的分析，xy按抛物线变化，与弹性力学解答不同。弹性力学Mechanics of Elasticity2ggnxyO图x图y图xy楔形体解答的应用楔形体解答的应用:作为重力坝的参考解答,分缝重力坝接近于平面应力问题，在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。重力坝规范规定的解法 材料力学解法（重力法）。重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。弹性力学Mechanics of Elas

27、ticity弹性力学Mechanics of Elasticity3-3-6 6 平面问题的直角坐标解答习题课平面问题的直角坐标解答习题课练习练习1设有矩形截面的竖柱，其密度为，在一边侧面上受均布剪力q，如图1，试求应力分量。解解: :1.采用半逆解法，设x=0。导出 使其满足双调和方程：022xfyxx)()(1xfxyf)(xfy图1xyqhgO4144444d)(dd)(dxxfxxfyx0, 022444yxy0d)(dd)(d, 0414444xxfxxfyxyqhgO)()(1xfxyf y取任意值时，上式都应成立，因而有：0d)(d, 0d)(d41444xxfxxf23123)

28、(,)(FxExxfCxBxAxxf式中，f(x)中略去了常数项，f1(x)中略去了x的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。弹性力学Mechanics of Elasticity(1)2.含待定常数的应力分量为：)23(26)26(0222222CBxAxyxgyFExBAxyyfxxfyxyyyxx(2)2323)(FxExCxBxAxy3.利用边界条件确定常数，并求出应力解答：, 0)(0 xx能自然满足：0, 0)(0CxxyxyqhgO弹性力学Mechanics of Elasticity左边界：, 0)(hxx能自然满足：（3）, 0)(0yyx不能精确满足，只能近似满足：023B

29、hAh（4）xyqhgO弹性力学Mechanics of Elasticity232xyx hqAhBhq00620yyExF右边界：上边界：00EF得：20000d032d0hhxyyyyAxBxy由式（3）、（4）解出常数A和BhqBhqA,2xyqhgO)32(,)31 (2, 0hxhqxPyhxhqyxyyx（5)弹性力学Mechanics of Elasticity（3）023BhAh（4）232AhBhq进而可求得应力分量：4.分析：（3）若设xy=f(x)，则导出的应力函数和应力分量为：DCxxBPyFExCBxyyfxFxExfDCxxBxfxfyyfxxfyxyyx2231

30、212)(),(26)(,2)()(d)(d)(（6)（7)常数确定后代入式（7），所得结果与式（5）相同。弹性力学Mechanics of Elasticity（1）f (x)中的Cx不能略去，因为Cx对剪应力有影响。（2）在上端部，首先应使应力分量精确满足边界条件，如不能，则可运用圣维南原理放松满足。本题(y)y=0=0 能精确满足，因此，y 在此处是精确解，而xy 在上端部是近似解练习练习2 如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。图2解：解：1.设应力函数为：=Ax3+Bx2y+Cxy2+Dy3不难验证其满足 。04 lxygO(a)

31、xygO(b)l0q0qlx弹性力学Mechanics of ElasticityCyBxyxgyByAxyfxDyCxxfyxyyyxx222662222222.用边界条件确定常数，进而求出应力解答：上边界：0)( , 0)(00yyxyy斜面：0cossin0cossincos,sin)90cos(yxyxyxml所以应力分量为：lxygO(a)弹性力学Mechanics of Elasticity解得：cot,cot2cotcot3,cot2, 022gygygygxgDgCBAxyyx3.分析：本题的应力函数可用量纲分析方法得到，此函数亦可用来求解上边界受线形载荷 作用的问题，见图2（

32、b）。0qlxq xygO(b)l0q0qlx弹性力学Mechanics of Elasticity 练习练习3 3 如果为平面调和函数，它满足 ，问x，y，(x2+y2)是否可作为应力函数。02解：解： 将1=x代入相容条件，得：xyxxxxyx2)(2)(22222222121=x满足双调和方程，因此，可作为应力函数。0)(2)2(22122xx弹性力学Mechanics of Elasticity把3=(x2+y2)代入相容条件，得：yyxxyxyx444)()()(222222232所以3也可作为应力函数。0)2(,2222222yy 将2=y代入相容条件，得：2=y也能作为应力函数0

33、)444(2322yyxx弹性力学Mechanics of Elasticity 练习练习4 4 图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数为： ，求简支梁的应力分量（体力不计）。FxyExDxyyCxBxyyAx33353360lq30lq图3xy0qlxq0 xl1h解：解： 1、由满足相容方程确定系数A与B的关系：弹性力学Mechanics of ElasticityBABxyAxyAxyyxBxyyx3501207236,120, 02244444（1)2、含待定系数的应力分量为)2()3359(666620622422333FDyCxByyAxExCxyAxyDxyBxy

34、yAxxyyx弹性力学Mechanics of Elasticity3、由边界条件确定待定系数：) 3 (0)(6)2(6)2(6,)(20302hyxyhyylxqExhCxhAxlxq)4(0)2(33)2(5)2(922422FhDCxhBhAx)6(0)2(33)2(5)2(9 , 0)() 5(06)2(6)2(6, 0)(22422232FhDCxhBhAxExhCxhAxhyxyhyy60lq30lqxy0qlxq0 xl弹性力学Mechanics of Elasticity由以上式子可求得：)8(0, 0d)()7(6804,6d)(4,5,3,1222220203002203

35、0300DBhAlyylqlhqFhDhlqylhqClhqBlhqAlqEhhlxxxhhxy由此可解得：lhqhlqFhlqlhqD804,31000300弹性力学Mechanics of Elasticity4、应力分量为)9(203)(4(4)43(2)1032(22222223033230322230hlyxhylhqhyyhxlhqhlxyxylhqxyyx弹性力学Mechanics of Elasticity 练习练习5 5 如图所示，右端固定悬臂梁，长为l，高为h，在左端面上受分布力作用（其合力为P）。不计体力，试求梁的应力分量。 1、用凑和幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法

36、来求。显然，应力函数d4xy3所对应的面力，在梁两端与本题相一致，解：解：只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为 的剪应力，为了抵消它，在应力函数 上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数 ： 2443hd34xyd xyb2PyOhlxxybxyd234弹性力学Mechanics of Elasticityxybxyd2342、由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为：24222242230,6ydbyxxxydyxyyx3、利用边界条件确定，并求出应力分量：上、下边界： 24,bd0)(,0)(22hyxyhyyPyOhlx左端部： Pyhhxxyxxd)(,0)(2200解得： 23334

37、2623, 0,122,23yhPhPxyhPhPdhPbxyyx弹性力学Mechanics of Elasticity 练习练习6 6 挡水墙的密度为1 ，厚度为b,如图,水的密度为2，试求应力分量。xybg1Og2解： 用半逆解法求解。因为在 y=-b/2边界上， y=0 ; 在 y=b/2边界上，y=-2gx ，所以可假设在区内y沿x 向也应是一次式变化，即y=xf(y)1、假设应力分量的函数形式。2、按应力函数的形式，由y推测 的形式，弹性力学Mechanics of Elasticity 22yxfyx 212xfyfyx 3126xfyxfyfy 3、 由相容方程求应力函数。代入 得, 04 . 0dd2dddddd622424414443yfxy