人教版高中数学选修（1-1）-3.3《函数的最大（小）值与导数》教学课件

1、3.3.3 3.3.3 函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质极值反映的是函数在某一点附近的局部性质, ,而不是函数在整个定义域内的性质。而不是函数在整个定义域内的性质。 但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小。最大，哪个值最小。 观察区间观察区间 a,ba,b 上函数上函数y=f (x)y=f (x)的图象，的图象，你能你能找出它的找出它的极大值点极大值点，极小值点极小值点吗？吗？oxdbfcaehgy极大值点极大值点 ，ceg极小值点极小值点dbf你能说出函数的你能说出函数的最大值点

2、最大值点和和最小值点最小值点吗？吗？最大值点最大值点 ：a a ，最小值点：最小值点：d doxyab)(xfy最小值是最小值是f f ( (b b).).单调函数的最大值和最小值容易被找到。单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数函数y yf f( (x x) )在区间在区间 a a, ,b b 上上最大值是最大值是f f ( (a a),),图图1 1ox2xb4x1xa3x)(xfy 5xy最大值是最大值是f (f (x x3 3),),图图2 2函数函数y yf (x)f (x)在区间在区间 a,ba,b 上上最小值是最小值是f (f (x x4 4).).一般地，如果在区间一般地，如

3、果在区间 a a, ,b b 上函数上函数y yf f ( (x x) )的图象是的图象是一条连续不断的曲线一条连续不断的曲线，那么它必有最，那么它必有最大值和最小值。大值和最小值。怎样求函数怎样求函数y y= =f f ( (x x) )在区间在区间 a a , ,b b 内的最大值内的最大值和最小值？和最小值？只要把函数只要把函数y y= =f f ( (x x) )的所有极值连同端点的函数的所有极值连同端点的函数值进行比较即可。值进行比较即可。例例1 1、求函数、求函数f(x)f(x)x x3 312x12x1212在在0, 30, 3上的上的最大值，最小值。最大值，最小值。x x(-,

4、-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+ +0 0- -0 0+ +f f( (x x) ) 单调递增单调递增 2828 单调递减单调递减 -4-4 单调递增单调递增)(xf解：由上节课的例解：由上节课的例1 1知，在知，在0,30,3上，上， 当当x=2x=2时，时， f(x)=f(x)=x x3 3-12x+12-12x+12有极小值，有极小值，并且极小值为并且极小值为f(2)=-4.f(2)=-4.又由于又由于f(0)=f(0)=12,f12,f(3)=3,(3)=3,因此，函数因此，函数 f(x)=f(x)=x x3 3-12x+12-12x+12

5、在在0, 30, 3上的上的最大值为最大值为1212，最小值为，最小值为-4-4。例例1 1、求函数、求函数f(x)f(x)x x3 312x12x1212在在0, 30, 3上的上的最大值，最小值。最大值，最小值。求函数求函数y=f(x)y=f(x)在在( (a,ba,b) )内的极值内的极值( (极大值与极大值与极小值极小值); ); 将函数将函数y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、f(b)f(b)（即（即端点的函数值）作比较端点的函数值）作比较, ,其中最大的一个为最大其中最大的一个为最大值值, ,最小的一个为最小值最小的一个为最小值. . 求函数求函数y=f(

6、x)y=f(x)在在 a,ba,b 上的最大值与最小值的上的最大值与最小值的步骤如下：步骤如下：练习练习1 1、求函数、求函数y=5-y=5-36x+3x36x+3x2 2+4x+4x3 3在区间在区间-2,2-2,2上的最大值与最小值。上的最大值与最小值。因为因为f(-2)f(-2)57, f(1.5)57, f(1.5)-28.75, f(2)-28.75, f(2)-23-23所以函数的最大值为所以函数的最大值为5757，最小值为，最小值为-28.75-28.75解：解： -36-366x6x12x12x2 26(6(2x2x2 2x x6)6)(xf 令令 0,0,解得解得x x1 1

7、-2 , -2 , x x2 21.51.5)(xf 练习练习2 2、求函数、求函数f f( (x x)=)=x x3 3- -3 3x x2 2+6+6x x-2-2在区间在区间-1,1-1,1上的最值。上的最值。解：解： 3x3x2 26x6x6 63(3(x x2 22x2x2)2)(xf 因为因为 在在-1,1-1,1内恒大于内恒大于0, 0, )(xf 所以所以f(x)f(x)在在-1,1-1,1上是增函数，上是增函数，故当故当x x-1-1时，时，f(x)f(x)取得最小值取得最小值-12-12；当当x x1 1时，时，f(x)f(x)取得最大值取得最大值2 2。例例2 2、已知函

8、数、已知函数f(x)f(x)- -x x3 33x3x2 29x9xa;a;(1)(1)求求f(x)f(x)的单调递减区间；的单调递减区间；(2)(2)若若f(x)f(x)在区间在区间-2,2-2,2上的最大值为上的最大值为2020，求它在，求它在该区间上的最小值。该区间上的最小值。令令 0,0,解得解得x x-1-1或或x x3 3)(xf 解解: (1): (1) - -3x3x2 26x6x9 9)(xf 函数函数f f( (x x) )的单调递减区间为的单调递减区间为(-,-1) (3,+)(-,-1) (3,+)oxy-123axxxxf93)(23(2) f(-2)=8+12-(2

9、) f(-2)=8+12-18+a18+a= =2+a2+af(2)=-f(2)=-8+12+18+a8+12+18+a= =22+a22+af(2)f(-2)f(2)f(-2)于是有于是有22+a22+a=20,=20,解得解得a=-2a=-2f(x)=-f(x)=-x x3 3+3x+3x2 2+9x+9x-2-2f(x)f(x)在在-1,2-1,2上单调递增上单调递增在在(-1,3)(-1,3)上上 0, 0, )(xf 例例2 2、已知函数、已知函数f(x)f(x)- -x x3 33x3x2 29x9xa;a;(2)(2)若若f(x)f(x)在区间在区间-2,2-2,2上的最大值为上

10、的最大值为2020，求它在，求它在该区间上的最小值。该区间上的最小值。又由于又由于f(x)f(x)在在-2,-1-2,-1上单调递减，上单调递减，即函数即函数f(x)f(x)在区间在区间-2,2-2,2上的最小值为上的最小值为-7-7。 f(2) f(2)和和f(-1)f(-1)分别是分别是f(x)f(x)在区间在区间-2,2-2,2上上的最大值和最小值。的最大值和最小值。f(-1)=1+3-9-2=-7,f(-1)=1+3-9-2=-7,例例3 3、证明：当、证明：当x x0 0时，时，x xlnln( (1+x1+x) )01111)(,0 xxxxfx时当解：设解：设f(x)=x-f(x

11、)=x-lnln( (1+x1+x).).即即x xlnln( (1+x1+x).).又因为又因为f(x)f(x)在在x=0 x=0处连续，处连续，所以所以f(x)f(x)在在x0 x0上单调递增，上单调递增，从而当从而当x x0 0时，有时，有f(x)=x-f(x)=x-lnln( (1+x1+x) )f(0)=0f(0)=0练习练习3:3:当当x x1 1时时, ,证明不等式证明不等式: :.132xx 证证: :设设 ,132)(xxxf ).11 (111)(2xxxxxxf 显然显然f(x)f(x)在在1,+)1,+)上连续上连续, ,且且f(1)=0.f(1)=0.显然显然, ,当

12、当x x1 1时时, , ,故故f f( (x x) )是是1,+)1,+)上上的增函数的增函数. .0)( xf所以当所以当x x1 1时时, ,f f( (x x)f f(1)=0,(1)=0,即当即当x x1 1时时, ,.132xx 例例4 4、求证、求证22) 1(2) 1(1xxxx23112ln(1)1(1)23xxxx )0() 1(321) 1(211ln)(32xxxxxxf证明：设证明：设)1( 211)1(2xxx22) 1( 2) 1(11)(xxxxxf)1(21)1(22xxxx)12() 1(22xxx2321) 1(xxx在在x=1x=1附近附近 由负到正由负到正)(xf令令 =0,=0,解得解得x=1,x=1,)(xf当当x=1x=1时，时，f(x)f(x)有极小值，这里也是最小值有极小值，这里也是最小值所以当所以当x0 x0时，时，f(x) f(1)=0f(x) f(1)=032)1 (321) 1(211lnxxxx从而从而求函数求函数y=f(x)y=f(x)在在( (a,ba,b) )内的极值内的极值(