大学物理第8章电势

1、第八章第八章电势电势本章主要内容：研究真空中静电场的能量特性：本章主要内容：研究真空中静电场的能量特性：基本定理：基本定理：环路定理环路定理 物理量：物理量：电势电势 一、静电场力所做的功一、静电场力所做的功8-1 静电场保守性静电场保守性点电荷点电荷q固定于原点固定于原点O，试验电荷，试验电荷q0在在q的电场中由的电场中由A点沿任意路径点沿任意路径ACB到达到达B点，取微元点，取微元dl，电场力对，电场力对q0的的元功为元功为BrBArA1、点电荷的电场力做功、点电荷的电场力做功qCrr drl dreE l dEql dFdA0rerqE2041 drrqql derqqdAr200200

2、4141)11(4400200BArrrrqqdrrqqABA在点电荷的非匀强在点电荷的非匀强电场中，电场力对电场中，电场力对试验电荷所作的功试验电荷所作的功与其移动时起始位与其移动时起始位置与终了位置有关，置与终了位置有关，与其所经历的路径与其所经历的路径无关。无关。2、任意带电体（、任意带电体（点电荷系）点电荷系）电场电场任意带电体都可以看成由许多点电荷组成的任意带电体都可以看成由许多点电荷组成的点电荷系点电荷系，根据，根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷场强的叠加叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷场强的叠加 21EEE任意点电荷系的电场力所作的功为任意点电荷系的电场力所作的功为

3、llll dEql dEql dEqA20100每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。3、结论、结论在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷的电量、所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终了位置有关起始与终了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。而与试验电荷所经过的路径无关。静电场力也是保守力，静电场是保守场。静电场力也是保守力，静电场是保守场。二、静电场的环路定理二、静电场的环路定理在静电场中，将试验电荷沿闭合路在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移

4、动一周时，电场力所作的功为径移动一周时，电场力所作的功为lll dEql dEqA00ABCDCDAABCl dEql dEqA00 ADCCDAl dEl dE ABCADCl dEql dEq0000 l dEqA0 l dE电场力作功电场力作功与路径无关与路径无关在静电场中，电场强度沿任意在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分为零。闭合路径的线积分为零。0 l dE说明：说明：1、电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电场强度、电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电场强度的环流。的环流。2、静电场的环路定理反映了静电场的一个基本特、静电场的环路定理反映了静电场的一个基本特性，性，静电场力也是保

5、守力，静电场是保守场。静电场力也是保守力，静电场是保守场。3、运动电荷的电场不是保守场、运动电荷的电场不是保守场静电场环路定理：静电场环路定理：在静电场中，电场强度的环流为在静电场中，电场强度的环流为零。零。三、电势能三、电势能电荷在电场的一定位置上，具电荷在电场的一定位置上，具有一定的能量，叫做有一定的能量，叫做电势能电势能。AB静电场力对电荷所作的功等于电静电场力对电荷所作的功等于电势能增量的负值。势能增量的负值。PBPAPAPBABEEEEA)(PBPAABEEl dEq 0电势能的参考点选择也是任意的电势能的参考点选择也是任意的，若，若EPB=0，则电场中，则电场中A点的电势能为：点的

6、电势能为： ABPAl dEqE0结论：试验电荷结论：试验电荷q0在电场中点在电场中点A的的电势能，在取值上等于把它从点电势能，在取值上等于把它从点A移到到零电势能处的电场力所作的移到到零电势能处的电场力所作的功。功。82.3 电势差电势差 电势及其计算电势及其计算 一、电势一、电势1、电势、电势比值比值 (EpA-EPB)/ q0与与q0无关，只决定于电场的性质及场无关，只决定于电场的性质及场点的位置，所以这个比值是反映电场本身性质的物理量，点的位置，所以这个比值是反映电场本身性质的物理量，可以称之为可以称之为电势电势静电场中带电体所具有的电势能与该带电体的电静电场中带电体所具有的电势能与该

7、带电体的电量的比值定义为电势。量的比值定义为电势。0/qEPAA0/qEPBBBABAVl dE当电荷分布在有限空当电荷分布在有限空间时，无限远处的电间时，无限远处的电势能和电势为零势能和电势为零AAl dE电场中某点的电势在数值上等于放电场中某点的电势在数值上等于放在该点的单位正电荷的电势能在该点的单位正电荷的电势能电场中某点的电势在数值上等于把电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷从该点移到势能为零的单位正电荷从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功。点时，电场力所作的功。2、说明：、说明：电势是标量，有正有负；电势是标量，有正有负；电势的单位：伏特电势的单位：伏特 1V=1JC-1；电

8、势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。在理论电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；计算中，通常选择无穷远处的电势为零；在实际工作中，通常选择地面的电势为零。在实际工作中，通常选择地面的电势为零。但是对于但是对于“无限大无限大”或或“无限长无限长”的带电体，只能在的带电体，只能在有限的范围内选取某点为电势的零点。有限的范围内选取某点为电势的零点。3、电势差、电势差在静电场中，任意两点在静电场中，任意两点A和点和点B之间的电之间的电势之差，称为势之差，称为电势差电势差，也叫，也叫电压电压。ABBAABl dEU静电场中任意两点静电场中任意两点A、B之

9、间的电势差，在数值上等于之间的电势差，在数值上等于把单位正电荷从点把单位正电荷从点A移到点移到点B时，静电场力所作的功。时，静电场力所作的功。BAABBAqUql dEqA000计算电势的两种方法：计算电势的两种方法：二、二、电势的计算电势的计算方法一：方法一：利用点电荷的电势、电势叠加原理利用点电荷的电势、电势叠加原理方法二：方法二：利用电势的定义式利用电势的定义式BABAVl dE$要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，才能选无穷远点的电势为零；才能选无穷远点的电势为零；$积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。积分路径上的电

10、场强度的函数形式要求已知或可求。步骤：步骤：(1)先算场强先算场强 (2)选择合适的路径选择合适的路径L(3) 积分积分(计算计算)点电荷电势例题例题（2）电势叠加原理）电势叠加原理 1、点电荷系电场的电势、点电荷系电场的电势电场由几个点电电场由几个点电荷荷q1，q2，qn产生产生 iEEiiiVl dEl dEl dE点电荷系所激发的电场中某点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点的电势的代独存在时在该点的电势的代数和。这个结论叫做静电场数和。这个结论叫做静电场的的电势叠加原理电势叠加原理。2、连续分布电荷电场的电势、连续分布电荷电场的电势Prd

11、qrdqd04rdq04线分布线分布lrdl04面分布面分布SrdS04体分布体分布VrdV04（1）点电荷电场的电势）点电荷电场的电势rqdrrql dErr02044正电荷的电势为正，离电正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低；荷越远，电势越低；负电荷的电势为负，离电负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。荷越远，电势越高。例题例题1 1，均匀带电圆环轴线的电势。，均匀带电圆环轴线的电势。xRrPqd已知电荷已知电荷q 均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R的圆环上，的圆环上，求圆环的轴线上与环心相距求圆环的轴线上与环心相距x 的点的电势。的点的电势。解：在圆环上取一电荷元解：在圆环上取一

12、电荷元dlRqdq 2 它在场点的电势为它在场点的电势为dlRqrrdqd241400积分得场点的电势为积分得场点的电势为22000414241xRqrqdlRqrlOx例题例题2 2，均匀带电圆盘轴线的电势。，均匀带电圆盘轴线的电势。已知电荷已知电荷q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R的圆盘上，的圆盘上，求圆盘的轴线上与盘心相距求圆盘的轴线上与盘心相距x的点的电势。的点的电势。xRrPqd解：在圆盘上取一半径为解：在圆盘上取一半径为r，宽度为，宽度为dr的圆环，其电量为的圆环，其电量为dq=2rdr，在场点，在场点的电势为的电势为22022022141rxrdrrdrrxd积分得场点的电

13、势为积分得场点的电势为xaxrxrdra220022022当当xa时时)2/(222xaxax xqxaaqxa02022042222把圆盘当作把圆盘当作一个点电荷一个点电荷返回返回例题例题3 3，均匀带电球体的电势。，均匀带电球体的电势。 已知电荷已知电荷q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R的球的球体上，求空间各点的电势。体上，求空间各点的电势。解：由高斯定理可求出电场强度的分布解：由高斯定理可求出电场强度的分布 RrRqrRrrqE 4 43020方向沿径向方向沿径向当当rR时时rqdrrqr02044当当rR时时RqRrRqdrrqdrRqrRRr03022203048)(44例题例

14、题4 4，均匀带电球壳的电势。，均匀带电球壳的电势。 已知电荷已知电荷q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R的球的球壳上，求空间各点的电势。壳上，求空间各点的电势。解：由高斯定理可求出电场强度的分布解：由高斯定理可求出电场强度的分布 RrRrrqE 0 420方向沿径向方向沿径向当当rR时时rqdrrqr02044当当rR时时RqdrrqdrRRr020440RrV例题例题5 5，求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。，求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。rE02 解：解：假设电荷线密度为假设电荷线密度为 ，则，则场强为场强为：drrl dEUBrrBP 02 rrBln20 由此例看

15、出，当电荷分布扩展到无穷远时，由此例看出，当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远处。电势零点不能再选在无穷远处。 若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直为无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线为导线为rB的的B点为电势零点，则距带电直线为点为电势零点，则距带电直线为r的的P点的电势：点的电势：PBBrr方向垂直于带电直线。方向垂直于带电直线。84 电势梯度电势梯度一、等势面一、等势面（电势图示法）（电势图示法）abcEE 1 1、空间空间电势相等的点电势相等

16、的点连接起来所形成的面称为等势面连接起来所形成的面称为等势面. .等势等势面上的任一曲线叫做面上的任一曲线叫做等势线等势线。 为了描述空间电势的分布，为了描述空间电势的分布，规定规定任意两任意两相邻相邻等势面间的等势面间的电势差电势差相等相等. .2、典型的电场线与等势面、典型的电场线与等势面q q 正点电荷的电场正点电荷的电场负点电荷的电场负点电荷的电场匀强电场匀强电场(1)(1) 在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力不做功在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力不做功0d)(00babaablEqqA0d0baablEqA0d000lEqlEdE (2)(2)在静电场中，电场强度在静电场中

17、，电场强度 总是与等势面垂直的，总是与等势面垂直的，即电场线是和等势面即电场线是和等势面正交正交的曲线簇的曲线簇. .3、等势面的性质、等势面的性质: :abcEE(3)电场线总是电场线总是从从电势电势较高较高的等势面的等势面指向指向电势电势低低的等的等势面势面测量电势分布，得到等势面，在根据等势面与测量电势分布，得到等势面，在根据等势面与电场强度的关系，定性画出电场线。电场强度的关系，定性画出电场线。4、应用、应用(4)规定：规定：两个相邻等势面的电势差相等，所以两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密集的地方，场强较大；等势面较稀疏等势面较密集的地方，场强较大；等势面较稀疏的地方，场强较

18、小。的地方，场强较小。+ + + + + + + + + + + + 二、电场强度与电势的关系二、电场强度与电势的关系匀强电场中：匀强电场中：dEABEE用积分用积分用微用微分分BABAl dE)f(EABd1、沿任一方向的分量、沿任一方向的分量BAIIIElVV+V静电场中两个靠得很近的等势面，电势分静电场中两个靠得很近的等势面，电势分别为别为V和和V+V，在等势面上取两点，在等势面上取两点A和和B，间距为间距为l，设与，设与E之间的夹角为之间的夹角为。cosdlEldEBAdlEdl负号表明：沿着场强的方向，电势负号表明：沿着场强的方向，电势由高到低；逆着场强的方向，电势由高到低；逆着场强

19、的方向，电势由低到高由低到高dldEl电场中某一点的场强沿任一方向的分量，等于这一点的电电场中某一点的场强沿任一方向的分量，等于这一点的电势沿该方向单位长度的电势变化率的负值，这就是势沿该方向单位长度的电势变化率的负值，这就是电场强电场强度和电势之间的关系度和电势之间的关系。2、切向和法向分量、切向和法向分量等势面上任一点场强的切向分量为零等势面上任一点场强的切向分量为零法向分量法向分量nnlEddnlEddgradddnenE电场中任一点的场强，电场中任一点的场强，等于该点电势沿等势面等于该点电势沿等势面法线方向单位长度的变法线方向单位长度的变化率的负值。化率的负值。VV+dVEen高电势高

20、电势低电势低电势直角坐标系直角坐标系kzjyixExExyEyzEz3、应用、应用电势是标量，容易计算。电势是标量，容易计算。可以先计算电势，然后利可以先计算电势，然后利用场强与电势的微分关系用场强与电势的微分关系计算电场强度，这样做的计算电场强度，这样做的好处是可以避免直接用场好处是可以避免直接用场强叠加原理计算电场强度强叠加原理计算电场强度的矢量运算的麻烦。的矢量运算的麻烦。grad)kzjyixE（E（电势梯度电势梯度） 直角坐标系中直角坐标系中 为求电场强度为求电场强度 提供了一种新的途径提供了一种新的途径E求求 的三种方法的三种方法E利用电场强度叠加原理利用电场强度叠加原理利用高斯定

21、理利用高斯定理利用电势与电场强度的关系利用电势与电场强度的关系物理意义物理意义 （1 1）空间某点电场强度的大小取决于该点领域内空间某点电场强度的大小取决于该点领域内电势电势 的空间变化率的空间变化率. .V（2 2）电场强度的方向恒指向电势降落的方向电场强度的方向恒指向电势降落的方向. .讨讨论论 1 1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？ 2 2） 的地方，的地方， 吗吗 ？ 3 3） 相等的地方，相等的地方， 一定相等吗？等势面上一定相等吗？等势面上 一定相等吗一定相等吗 ？00EEE讨论讨论例题例题1 1，求均匀带电细圆环轴线上一点的场强。，求均匀带电细圆环轴线上一点的场强。解：细圆环轴线上一点的电势为解：细圆环轴线上一点的电势为2/12204Rxq式中式中R为圆环的半径。因而轴线上一为圆环的半径。因而轴线上一点的场强为点的场强为2/32202/122044RxqxRxqxx