大学物理课件第05章刚体的转动

1、1第第5章刚体的转动章刚体的转动本章内容本章内容5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述5.2 转动定律转动定律5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算5.4 转动定律的应用转动定律的应用5.5 角动量守恒角动量守恒5.6 转动中的功和能转动中的功和能5.7* 进动进动2刚体可以看成是很多刚体可以看成是很多质元质元组成的组成的质点系质点系，且，且在外力作用下，各个质元的在外力作用下，各个质元的相对位置相对位置保持不保持不变变5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述刚体刚体 在受力时不改变形状和体积的物体在受力时不改变形状和体积的物体因此，刚体的运动规律，可通过把因此，刚体的运动规律，可通过把牛顿运动牛顿运

2、动定律定律应用到这种特殊的质点系上得到应用到这种特殊的质点系上得到刚体是固体物件的刚体是固体物件的理想化模型理想化模型3本章只研究本章只研究定轴转动定轴转动问题问题最简单的最简单的转动转动刚体运动刚体运动 平动平动 转动转动平动平动 刚体中任意两个质点的连线在运动中始终刚体中任意两个质点的连线在运动中始终保持平行保持平行4定轴转动定轴转动转动平面转动平面 垂直于转轴的垂直于转轴的平面。平面。除转轴上的质元之除转轴上的质元之外，刚体各个质元都在转外，刚体各个质元都在转动平面内作动平面内作圆周运动圆周运动。应。应预先规定转轴的正方向预先规定转轴的正方向转轴转轴质元质元转动平面转动平面刚体角速度刚体

3、角速度ddt刚体角加速度刚体角加速度22ddddatt质元线速度质元线速度rv质元加速度质元加速度tar2nar55.2 转动定律转动定律对惯性系中固定转轴上的任意一点，刚体这一对惯性系中固定转轴上的任意一点，刚体这一质点系的角动量定理质点系的角动量定理tLMdd ：刚体所受对该点的合外力矩：刚体所受对该点的合外力矩M L：刚体对该点的角动量，：刚体对该点的角动量，等于刚体所有质等于刚体所有质 元对该点角动量的矢量和。元对该点角动量的矢量和。6 选选 z 轴为转轴，且向轴为转轴，且向 z 轴作投影，则轴作投影，则tLMzzdd Mz ：刚体所受对：刚体所受对 z 轴的合外力矩轴的合外力矩 Lz

4、 ：刚体绕：刚体绕 z 轴的角动量轴的角动量7iOiiOiiOiizMrFrFrFsinziziiiMMrF质元质元 所受外力所受外力 ，取轴上一点，取轴上一点O，对于，对于O点的点的力矩力矩imiFOiiiizirFrFrF而而siniziiiiiMrFr F如图可知如图可知 的的 z 分量为分量为iM因此，刚体受的合外力矩的因此，刚体受的合外力矩的 z 分量为分量为8刚体上任一质元刚体上任一质元 mi 对于对于O的的角动量为角动量为ii OiiLm r v 方向如图，大小为方向如图，大小为ii OiiLm r v角动量的角动量的 z 分量为分量为sinsinizii OiiLLm r v由

5、于由于 ，且，且sinOiirriirv因此，刚体沿因此，刚体沿 z 轴的角动量为轴的角动量为2zizi iLLm r转动惯量转动惯量92zi iJm r刚体对于转轴的转动惯量，以刚体对于转轴的转动惯量，以 Jz 表示，即表示，即则，刚体沿则，刚体沿 z 轴的角动量还可表示为轴的角动量还可表示为zzLJ因为因为ddddzzzzLMJJtt所以，刚体绕所以，刚体绕 z 轴的合外力矩为轴的合外力矩为M = J通常略去下标通常略去下标 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律10转动惯量转动惯量 Jz 的大小取决于刚体的的大小取决于刚体的质量、形质量、形状及转轴的位置状及转轴的位置 转动惯量转动惯量 Jz

6、物理意义：转动惯性的量度物理意义：转动惯性的量度定轴转动定律在转动问题中的地位相当于定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动的牛顿第二定律平动的牛顿第二定律5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算2i iJm r 2dJrm 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及质量、形状及转轴的位置转轴的位置 1. 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量e.g.232mL231232)(2)(LmLmJ对对OO 轴：轴：SI单位单位：kg m2OO mm2L31L3212 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体： 质量线密度质量线密度ddml 对质量面分布的刚体对质量面分

7、布的刚体： 质量面密度质量面密度ddmS 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体： 质量体密度质量体密度ddmV dm 质量元质量元2. 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量2dJr m13设棒线密度为设棒线密度为 ，取一距，取一距OO为为r处的质量元处的质量元 dm = dr ，则，则 lJrrl /223012d12例例5-1 一质量为一质量为 m、长为、长为 l 的均匀细长棒，求通过的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。2112ml 若转轴过端点垂直于棒若转轴过端点垂直于棒lOOrdrrd2l2lOOr解解d J = r 2d

8、m = r 2 drlJrrml 2201d314圆环的转动惯量圆环的转动惯量RJrrR 3402d2例例5-2 一质量为一质量为m、半径为、半径为R 的均匀薄盘，求的均匀薄盘，求一过盘中心并与盘面垂直为轴的转动惯量。一过盘中心并与盘面垂直为轴的转动惯量。设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘，在盘上取半径为上取半径为r，宽为，宽为dr的圆的圆环环rrmd2d圆环质量圆环质量而而 ，因此，因此2 Rm212mR rrmrJd2dd32转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 解解rrd152mdIIC 如果刚体的一个轴与过如果刚体的一个轴与

9、过质心轴平行并相距质心轴平行并相距d，则质量为则质量为 m 的刚体绕该的刚体绕该轴的转动惯量，等于刚轴的转动惯量，等于刚体绕过质心轴的转动惯体绕过质心轴的转动惯量与量与 md2 之和：之和：平行轴定理的证明（自学）平行轴定理的证明（自学）平行轴定理平行轴定理165.4 转动定律的应用转动定律的应用例例5-3已知已知:滑轮质量滑轮质量 M、半径、半径 R、 转动惯量转动惯量 J = M R 2/2 物体质量物体质量 m，v0= 0 忽略绳子质量忽略绳子质量 绳、轮之间无滑动绳、轮之间无滑动求求: 物体下落时的物体下落时的vt 关系关系解：解：受力图：受力图： a a()TT T TMg N N

10、m m g g T T17对物体：对物体：g mTma对滑轮：对滑轮：221MRTRMmmga22.aconstvatNote:T mgMmmgt22MRa21185.5 角动量守恒角动量守恒如果如果 Mz=0，则，则 Lz=常量常量如果刚体所受对某一固定轴的合外力矩为零，如果刚体所受对某一固定轴的合外力矩为零，则刚体绕该轴的角动量保持不变则刚体绕该轴的角动量保持不变 对定轴的角动量守恒定律对定轴的角动量守恒定律tLMzzdd 由刚体定轴转动定理可推知：由刚体定轴转动定理可推知：1122JJ12JJ若若12则则19回转仪回转仪被中香炉被中香炉20例例5-6细杆质量为细杆质量为MM, 长长L L

11、,J= MLML2/3, 子弹质量子弹质量 mm=MM/4, 速度速度 , O 轴轴光滑。光滑。求：子弹嵌入后，求：子弹嵌入后， =？最大摆角最大摆角 =？0v解：解： 嵌入过程中嵌入过程中, 子弹杆系统子弹杆系统 L=const.222210333 ()mLmLMLvOL32 038Lv21上摆过程中上摆过程中, 子弹杆地球系统子弹杆地球系统E Ep p+E Ek k=const.令令O 轴处轴处E Ep p= 0，则有，则有coscos2132LMgLmg 2222112132233mgLMgLmLML 203arccos 164gLv225.6 转动中的功和能转动中的功和能力矩做功力矩做

12、功ddAFrcoszMFr外力外力对轴的力矩对轴的力矩cosdcosdFrFr外力外力 F 作用在刚体上的作用在刚体上的 P点，当刚体绕轴点，当刚体绕轴转动角度转动角度d 时，时，P点位移为点位移为 dr，力所做元，力所做元功为功为23ddzAM因此，力的元功等于力矩与角位移的乘积因此，力的元功等于力矩与角位移的乘积21dzAM由于刚体所受合内力矩为零，所以在刚体由于刚体所受合内力矩为零，所以在刚体运动过程中合内力矩不做功，因此，运动过程中合内力矩不做功，因此，Mz 是是合外力矩合外力矩对于有限角位移，力所做的功为对于有限角位移，力所做的功为24刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 在外力矩作用下刚体的角速度由在外力矩作用下刚体的角速度由 1 2 21222111d22MJJ21dddddJIJ