离散型随机变量的方差

1、2.3.2离散型随机变离散型随机变量的方差量的方差高二数学高二数学 选修选修2-31、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望nniipxpxpxpxEX 22112、数学期望的性质、数学期望的性质()()E aXbaE XbP1xix2x1p2pipnxnpX数学期望是反映离散型随机变量的平均水平数学期望是反映离散型随机变量的平均水平三、如果随机变量三、如果随机变量X X服从两点分布为服从两点分布为X10Pp1p则则()E Xp四、如果随机变量四、如果随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即X B（n,p），则），则()E Xnp某人射击某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环

2、数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的；则所得的平均环数平均环数是多少？是多少？104332221111 X21014102310321041 X1234P104103102101某人射击某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的；则这组数据的方差方差是多少？是多少？1)24()23()23()22()22()22()21()21()21()21(10122222222222 s)()()(122212xxxxxxnsni 22222)24(101)23(102)22(103)21(104 s加权平均加权平均反映

3、这组数据相对于平均值的集中程度的量反映这组数据相对于平均值的集中程度的量X1234P104103102101离散型随机变量取值的方差离散型随机变量取值的方差一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：22211()()()()iinnD XxEXpxEXpxEXp则称则称为随机变量为随机变量X的的方差方差。 niiipEXx12)(P1xix2x1p2pipnxnpX称称DX为随机变量为随机变量X的的标准差标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离均程度的量，它们的值越小，则

4、随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。于均值的平均程度越小，即越集中于均值。1、已知随机变量、已知随机变量X的分布列的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求求D(X)和和 。 ( )0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.12E X 解：解：22222()(02)0.1 (1 2)0.2(22)0.4(3 2)0.2(42)0.1 1.2D X 1.21.095DX DX2、若随机变量、若随机变量X满足满足P（Xc）1，其中，其中c为为常数，求常数，求EX和和DX。解：解：XcP1离散型随机变量离散型随机变量X X的分布列为：的分布列为：EXc1cDX

5、（cc）210例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解：解：12()9,()9E XE X12()0.4,()0.8D XD X表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在数得分在9环，而乙得分比较分散

6、，近似平均分布在环，而乙得分比较分散，近似平均分布在810环。环。问题问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题问题2：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，环左右，应派哪一名选手参赛？应派哪一名选手参赛？问题问题3：如果其他对手的射击成绩都在：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，环左右，应派哪一名选手参赛？应派哪一名选手参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.412()9,()9E XE X12()0.4,()0.8D XD X如果对手在如果对手在8环左右环左右,派甲派甲.如果对手在如果对手在9环左

7、右环左右,派乙派乙.派甲派甲练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：获得如下信息：甲单位不同职位月工甲单位不同职位月工资资X1/元元1200140016001800获得相应职位的概获得相应职位的概率率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工乙单位不同职位月工资资X2/元元1000140018002200获得相应职位的概获得相应职位的概率率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：解：12()1400,()1400E XE X12()40000,()16000

8、0D XD X在两个单位工资的数学期望相等的情况下，在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。就应选择工资方差小的单位，即甲单位。例例 (本题满分本题满分12分分)为备战为备战2012年伦敦奥运会年伦敦奥运会,中国射中国射击队要对甲、乙两名射手进行一次对抗赛击队要对甲、乙两名射手进行一次对抗赛.已知甲、乙已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环环,且甲射中且甲射中

9、10,9,8,7环的概率分别为环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中乙射中10,9,8环的概环的概率分别为率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求求,的分布列的分布列;(2)求求,的均值与方差的均值与方差,并以此比较甲、并以此比较甲、乙的射击技术乙的射击技术.【解【解】(1)依据题意依据题意,0.53aa0.11,解得解得a0.1.1分分乙射中乙射中10,9,8环的概率分别为环的概率分别为0.3,0.3,0.2,乙射中乙射中7环的概率为环的概率为1(0.30.30.2)0.2. 2分分,的分布列分别为的分布列分别为 4分分10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.

10、20.2(2)结合结合(1)中中,的分布列可得的分布列可得:E()100.590.380.170.19.2,E()100.390.380.270.28.7,D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96, 8分分D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.10分分由于由于E()E(),说明甲平均射中的环数比乙说明甲平均射中的环数比乙高高;又又D()D(),说明甲射中的环数比乙集中说明甲射中的环数比乙集中,比较稳定比较稳定.12分分变式训练变式训练1.已知随机变量已知随机变量的分布列为的分布列

11、为且已知且已知E()2,D()0.5,求求:(1)p1,p2,p3;(2)P(12).123Pp1p2p3变式训练变式训练2.抛掷一枚质地均匀的骰子抛掷一枚质地均匀的骰子,用用X表示掷出偶表示掷出偶数点的次数数点的次数.(1)若抛掷一次若抛掷一次,求求E(X)和和D(X);(2)若抛掷若抛掷10次次,求求E(X)和和D(X).五、几个常用公式：五、几个常用公式：DXabaXD2)( ()(1)XD Xpp若 服从两点分布，则( ,)()(1)XB n pD Xnpp若，则相关练习：相关练习：113( )13,( )8DD、已知，且则2( ,)E(X)8,D(X)1.6,n,XB n pp、已知

12、 ，则3、有一批数量很大的商品，其中次品占、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现从中任意地连续取出现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数件商品，设其次品数为为X，求，求E(X)和和D(X)。117100.82，1.98思路探索思路探索 判断某一离散型随机变量是否服从二项分布，判断某一离散型随机变量是否服从二项分布，是利用公式是利用公式E()np，D()np(1p)的先决条件的先决条件【例例】0123456P设一次试验的成功率为设一次试验的成功率为p，进行，进行100次独立重复试验，次独立重复试验，求当求当p为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最为何值时，成功次数的标准差的值最大？

13、并求其最大值大值【变式变式】六、课堂小结六、课堂小结1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义2、记住几个常见公式、记住几个常见公式2()()D aXba D X()(1)XD Xpp若服从两点分布，则( ,)()(1)XB n pD Xnpp若，则22211()()()()iinnD XxEXpxEXpxEXp niiipEXx12)(为随机变量为随机变量X的的方差方差。DX为随机变量为随机变量X的的标准差标准差。 1 。某农科院对两个优良品种甲、乙在相同的条件下。某农科院对两个优良品种甲、乙在相同的条件下进行对比实验，进行对比实验，100公顷的产量列

14、表如下：公顷的产量列表如下：作业作业每公顷产量每公顷产量(吨吨)9.49.59.810.2公顷数公顷数11324215乙乙每公顷产量每公顷产量(吨吨)9.29.51011公顷数公顷数35203510甲甲试判断这两个品种哪一个较好？试判断这两个品种哪一个较好？2.从从4名男生和名男生和2名女生中任选名女生中任选3人参加演讲比赛，设随人参加演讲比赛，设随机变量机变量X表示所选表示所选3人中女生的人数人中女生的人数(1)求求X的分布列；的分布列；(2)求求X的均值与方差；的均值与方差；(3)求求“所选所选3人中女生人数人中女生人数X1”的概率的概率 错解错解 设甲品种每公顷产量为设甲品种每公顷产量为

15、X，则则X的概率分布为：的概率分布为：X9.49.59.810.2P0.110.320.420.15由上表可得由上表可得E(X)甲甲9.40.119.50.329.80.4210.20.159.72.同理可以计算出同理可以计算出E(X)乙乙9.20.359.50.2100.35110.19.72.由由E(X)甲甲E(X)乙乙，可知甲、乙两个品种的质量相同，可知甲、乙两个品种的质量相同 对于如何评价两个品种的质量的标准只是停对于如何评价两个品种的质量的标准只是停在用均值来比较的层面上，误以为均值相同即质量相同，在用均值来比较的层面上，误以为均值相同即质量相同，忽视了还可以利用方差对产量的稳定性进行考察忽视了还可以利用方差对产量的稳定性进行考察正解正解 由错解知：由错解知：E(X)甲甲E(X)乙乙9.72，D(X)甲甲(9.49.72)20.11(9.59.72)20.32(9.89.72)20.42(10.29.72)20.150.064.D(X)乙乙(9.29.72)20.35(9.59.72)20.2(109.72)20.35(119.72)20.10.295 6，D(X)甲甲D(X)乙乙所以甲品种质量更好一点所以甲品种质量更好一点 对于两个