第五节傅里叶级数ppt课件

1、非正弦周期函数非正弦周期函数: :矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(当当当当分解成不同频率正弦波逐个叠加分解成不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 7.5 傅里叶级数傅里叶级数ttusin4)( 11 Otu 2 22 2 23 23 )3sin31(sin4)(tttu Otu11 2 22 2 23 23 )5sin513sin31(sin4)(ttttu Otu11 2 22 2 23 23 )7sin715sin513sin31(sin4)(tttttu Otu11 2 22 2 23 23 )9sin917sin7

2、15sin513sin31(sin4)( ttttttu )0,( tt )9sin917sin715sin513sin31(sin4)(ttttttu Otu11 2 22 2 23 23 想象是把一个复杂的周期函数想象是把一个复杂的周期函数 f (t) 表示为表示为即即 10)sin()(nnntnAAtf 7.5.1 三角函数系三角函数系 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 称为三角级数称为三角级数各类正弦函数各类正弦函数 的迭加的迭加,)sin(nntnA

3、三角函数系三角函数系其中任何两个不同其中任何两个不同,上上的的积积分分为为零零 的函数的乘积在区间的函数的乘积在区间,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx即即在在 上的正交性是指上的正交性是指: :, , 3 , 2 , 1, 0dcos1 nxnx , 3 , 2 , 1, 0dsin1 nxnx , 3 , 2 , 1, 0dcossin nmxnxmx nmnmxnxmx , 3 , 2 , 1, 0dcoscos , 3 , 2 , 1,dcos2 nxnx , 3 , 2 , 1,dsin2 nxnx 2d12 x即即上的积分不为上的积分不为0.

4、, nmnmxnxmx , 3 , 2 , 1, 0dsinsin 三角函数系中每个函数本身的平方在三角函数系中每个函数本身的平方在 7.5.2 周期为周期为 的函数的傅里叶级数展开的函数的傅里叶级数展开问题问题: f (x) : f (x) 假设能展开成三角级数假设能展开成三角级数, , 是什么是什么? ?iiba , 2 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有若有.)1(0a求求 220 a xxfad)(10 xad20两边积分两边积分 1)dsindcos(kkkxkxbxkxa 0 0 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xd xd xd利用三角函数系

5、的正交性利用三角函数系的正交性.)2(na求求 xnxxfdcos)(dcossindcoscos1 xnxkxbxnxkxakkk 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xnxandcos2 na xnxxfandcos)(1), 3 , 2 , 1( n,cosnx两两边边同同乘乘逐逐项项积积分分到到再再从从 xnxadcos20利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性nk 0 0 .)3(nb求求 xnxxfbndsin)(1), 3 , 2 , 1( n xnxxfdsin)(dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk nb ,sinnx两边同乘两

6、边同乘逐逐项项积积分分到到再再从从 xnxadsin200 nk 0 利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf ), 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 10)sincos(2nnnnxbnxaa由系数公式所确定的三角级数由系数公式所确定的三角级数傅里叶系数公式傅里叶系数公式: : 称为函数称为函数 f (x)(诱导出诱导出)的傅里叶级数的傅里叶级数,f (x) 10)sincos(2nnnnxbnxaa记为记为问题问题:当当 f (x)满足什么条件时满足什么条件时,它的

7、傅里叶级数收敛它的傅里叶级数收敛? 收敛定理收敛定理7.16 (7.16 (收敛定理狄利克雷充分条件收敛定理狄利克雷充分条件) ).2)0()0( xfxf 设设 f (x)是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数.假设它假设它满足条件满足条件: 2 在一个周期内延续或只需有限个第一类延续在一个周期内延续或只需有限个第一类延续点点,并且至多只需有限个极值点并且至多只需有限个极值点,那么那么 f (x)的傅里的傅里叶叶级数收敛级数收敛,并且并且(1) 当当x 是是 f (x)的延续点时的延续点时,级数收敛于级数收敛于 f (x);(2) 当当x 是是 f (x)的延续点时的延续点时, 收敛于收

8、敛于收敛定理等价于：收敛定理等价于：假设设傅里叶级数的和函数为假设设傅里叶级数的和函数为 S(x)，01(cossin)( )2nnnaanxbnxS x 的的间间断断点点为为的的连连续续点点为为)(,2)0()0()(),()(xfxxfxfxfxxfxS即即那那么么设函数设函数 f (x)以以 为周期为周期, 且且 2 .0,1,0, 1)(2时时当当时时当当 xxxxf其傅氏级数在其傅氏级数在 处收敛于处收敛于( ). x22 ,)(上满足狄利克雷条件上满足狄利克雷条件在区间在区间由于由于 xf)0( f)0( f所以所以,收收敛敛于于的的傅傅氏氏级级数数在在点点 xxf)(2)0()0

9、( ff221)1(lim xx1)1(lim x22 特别地特别地, 当当 f (x)为奇函数时为奇函数时, 它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为当当 f (x) f (x)为偶函数时为偶函数时, , 0), 3 , 2 , 1(,dsin)(2), 2 , 1 , 0(, 0nxnxxfbnann ), 3 , 2 , 1(, 0), 2 , 1 , 0(,dcos)(20nbnxnxxfann 它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为,sin1nxbnn f (x)的傅里叶级数为的傅里叶级数为称为正弦级数称为正弦级数; ;称为余弦级数称为余弦级数. .,cos210nxaann f (x)的傅里叶级

10、数为的傅里叶级数为周期函数的傅里叶级数展开步骤周期函数的傅里叶级数展开步骤:(由图形写出收敛域由图形写出收敛域; 求出第一类延续点求出第一类延续点)(2) 求出傅里叶系数求出傅里叶系数;(3) 写出傅里叶级数写出傅里叶级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于 f (x). 画出画出 f (x)的图形的图形, 并验证能否满足狄利克雷并验证能否满足狄利克雷 收敛定理条件收敛定理条件; ,0, 0, 0,)( xxxxf解解 计算傅里叶系数计算傅里叶系数 xxfad)(10 0d1 xx2 例例1 1 函数函数 f (x)f (x)以以 为周为周期期, , 且且 2 3 2 3Oxy将将 f

11、(x) 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数. f (x) 的图象的图象 2 xnxxfandcos)(1 0dcos1 xnxx)cos1(12 nn 02cossin1 nnxnnxx ,22 n, 0, 5 , 3 , 1 n, 6 , 4 , 2 n)1(1 12nn xnxxfbndsin)(1 0dsin1 xnxx02sincos1 nnxnnxxnn cos nn 1)1( ), 3 , 2 , 1( n xxx5cos513cos31cos2422 xxx3sin312sin21sin)(xf故故 f (x)的傅里叶级数为的傅里叶级数为nxnnxnnnnsin)1()12()12

12、cos(241102 由于由于 f (x)满足狄利克雷充分条件满足狄利克雷充分条件,), 2, 1, 0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx 2)0()0( ff).()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 220 由收敛定理由收敛定理 2 3 2 3Oxy的的图图形形)(xf和函数的图象和函数的图象2 2 3 2 3Oxy 收敛于收敛于)(xf),3,;( xx nxnnxnnnnsin)1()12()12cos(241102 (2) 将将F (x) 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数;,(),)1(外外补补充充定定义义或或在在 ),()(,),()3(xfxF 内内 ,)4

13、(处处 x作作 法法收敛定理的条件收敛定理的条件, 也可展开成傅里叶级数也可展开成傅里叶级数.(周期延拓周期延拓);.2)0()0( ff级数收敛于级数收敛于7.5.3 函数在函数在 上的傅里叶级数上的傅里叶级数, 假设假设 f (x)只在区间只在区间 上有定义上有定义, 并且满足并且满足)(2),(xF的的函函数数周周期期为为 得到一定义在得到一定义在这样就得到这样就得到 f (x)展开式展开式;解解, 例例2 将函数将函数 展开为展开为 xxxxxf0,0,)(傅里叶级数傅里叶级数.拓广的周期函数的傅里叶级数展开式在拓广的周期函数的傅里叶级数展开式在 xxfad)(10 0d2xxOxy

14、2 2 因函数在区间因函数在区间上满足收敛定理的条件上满足收敛定理的条件,收敛于收敛于 f (x)., 又又 f (x)是偶函数是偶函数 xnxxfandcos)(1)1(cos22 nn 1)1(22 nn xxxf,)( 0dcos2xnxx , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn xnxxfbndsin)(10 ), 2 , 1( nf (x)是偶函数是偶函数 12)12cos()12(142)(nxnnxf , , x知函数的傅氏展开式为知函数的傅氏展开式为 xxx5cos513cos31cos4222 利用傅氏展开式也可求数项级数的和利用傅氏展开式也可求数项级

15、数的和, 0)0(,0 fx时时当当 222513118 xxxf,)(,4131211222 8513112221 ,6141212222 22234131211 42 242 21 ,62 122 ,421 312 213 设设收敛定理的条件收敛定理的条件, 我们首先将函数我们首先将函数 f (x)的定义延的定义延7.5.4 函数在函数在 上的正弦级数或余弦级数上的正弦级数或余弦级数, 0 假设假设 f (x)只在区间只在区间 上有定义上有定义, 0 并且满足并且满足拓到区间拓到区间 上上,0 ,( 得到一定义在得到一定义在 上的上的,( 函数函数F(x) ,使它使它 在内成为奇函数在内成

16、为奇函数(偶函数偶函数), ),( 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓偶延拓). 然后将然后将F(x)展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数, 这个级这个级数必定是正弦级数数必定是正弦级数(余弦级数余弦级数). (1) 奇延拓奇延拓 0),(0, 00),()(xxfxxxfxF 令令xy0 )0(,sin)(1 xnxbxfnn那么那么 f (x) 的傅里叶级的傅里叶级数数:再限制再限制x在区间在区间 上上, 0 就得到就得到 f (x)展开式的展开式的正弦级数正弦级数(余弦级数余弦级数)展开式展开式.(2) 偶延拓偶延拓 0),(0),()(

17、xxfxxfxF 令令)0(,cos2)(10 xnxaaxfnnxy0 那么那么 f (x) 的傅里叶级的傅里叶级数数:解解 (1) (1) 展开成正弦级数展开成正弦级数. . 0dsin)1(2xnxx)coscos1(2 nnn 0 na,22n , 5 , 3 , 1 n,2n , 6 , 4 , 2 n正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数.例例3 将函数将函数 分别展开成分别展开成 xxxx3sin)2(312sin2sin)2(21 ), 0( x 0dsin)(2xnxxfbn1 1 Oxy对对 f (x)进展奇延拓进展奇延拓,)0(1)( xxxf(2) 展开成余弦级数展开成余

18、弦级数.0 nb 00d)1(2xxa2 0dcos)1(2xnxxan)1(cos22 nn xxxx5cos513cos31cos412122 , 0 xOxy 1对对 f (x)进展偶延拓进展偶延拓,), 3 , 2 , 1( n,1)1(22 nn 10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf ,lxt 先作变量代换先作变量代换 7.5.5 周期为周期为2l 的函数的傅里叶级数的函数的傅里叶级数条件条件,假设周期为假设周期为2l 的周期函数的周期函数 f (x)满足收敛定理满足收敛定理的的展开成傅里叶级数的方法是展开成傅里叶级数的方法是: , 将函数变换到将函数变换到再利用周期为再利用周期为 的周期函数的傅里叶级数展开法的周期函数的傅里叶级数展开法, 2最后回到变量最后回到变量x, 就得到就得到 f (x)的傅里叶展开式的傅里叶展开式), 2 , 1 , 0