注册电气工程师考试辅导-数学2微分学ppt课件

1、1.2.1 极限与函数的连续极限与函数的连续1.2.3 偏导数与全微分偏导数与全微分1.2.2 导数与微分导数与微分1.2 1.2 微分学微分学1.2.4 导数与微分应用导数与微分应用)(xfy yxoD1. 函数定义定义:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定义域 值域设,RD函数为特殊的映射:其中定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。13)( xxf有界性 ,单调性 , 奇偶性 ,周期性 复合函数初等函数有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复合而成的一个表达式的函数.1) 13(31)(3)(xxfxff 极限定义的等价形式 (以 为例 )0 xx Axfx

2、x)(lim00)(lim0Axfxx(即 为无穷小)Axf)(Axfxf)()(00极限存在准则及极限运算法则无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: 两个重要极限 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x重点：求极限的基本方法 洛必达法则洛必达法则exxxxxx)11 (lim, 1sinlim0)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(2

3、1sin2xxxx无穷小有界1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12ttttsinsincoscossin) 1(sin0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e)(lim12sincos0 xxxxx1)121ln(cotlim0 xxxxe函数连续的定义)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf函数间断点第一类左右极限存在）第二类左右极限至少有一个不存在）可去间断点跳跃间断点无

4、穷间断点振荡间断点例例2. 设函数设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 那么 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e) 1)()(xaxbexfx有无穷间断点0 x及可去间断点, 1x解解:为无穷间断点,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba为可去间断点 ,1x) 1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim试确定常数 a 及 b .导

5、数导数 定义定义:000000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx 当时,为右导数当时,为左导数0 x)(xf0 x)(xf 微分 :xxfxfd)()(d 关系关系 :可导可微导数几何意义导数几何意义:切线斜率切线斜率1. 有关概念)(xf在2x处连续,且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3正确使用导数及微分公式和法则 （要求记住！）P10隐函数求导法参数方程求导法高阶导数的求法(逐次求一阶导数）03275xxyy)(xy

6、y 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy确定的隐函数求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导0),(zyxF1. 多元显函数求偏导和高阶偏导2. 复合函数求偏导注意正确使用求导符号3. 隐

7、函数求偏导将其余变量固定，对该变量求导。zyzxFFyzFFxz,4. 全微分),(yxfz zdyyxfxyxfyxd),(d),(5. 重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续223yyxxz解法解法1:1:xz)2, 1 (xz解法解法2:2:) 2, 1(xz在点(1 , 2) 处的偏导数.) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz解：设zzyxzyxF4),(222那么,2xFxzxFFxz2zxzx242 zFz,04222zzyx.xz

8、求 拉格朗日中值定理 )()(bfaf1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy0n假设定理定理 1. 设函数设函数)(xf0)( xf那么 在 I 内单调递增)(xf, )0)( xf(递减) .在开区间 I 内可导,2. 2. 研究函数的性态研究函数的性态: :,)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左正右负左正右负” ,;)(0取极小值

9、在则xxf(2) )(xf “左负右正左负右正” ,.)(0取极大值在则xxf二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若那么 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若那么 在点 取极小值 .)(xf0 x31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减区间为).2,1 (12xoy121) 1()(32 xxf的极值 . 解解

10、: 1) 求导数求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为hbd261hbw , )(2261bdb),0(db令)3(2261bdw0得db31从而有1:2:3:bhd22bdhd32即由实际意

11、义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个,故所求结果就是最好的选择 .)(xf(1) 在 I 内,0)( xf那么 在 I 内图形是凹的 ;)(xf(2) 在 I 内,0)( xf那么 在 I 内图形是凸的 .)(xf设函数在区间I 上有二阶导数凹弧凸弧的分界点为拐点凹弧凸弧的分界点为拐点xxy24362 )(3632xx14334xxy的凹凸区间及拐点.解解:1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx对应3) 列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132的连续性及导函数(1) 设函数上连续，在),()(xf的则)(xf其导数图形如图所示,单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .)(xf ),0(),(21xx),(),0,(21xx21, xx0 x提示提示:)(xf根据的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ;o2x1xyxox)(