第十一章 模糊数学方法及其应用

1、第十一章第十一章 模糊数学方法及其应用模糊数学方法及其应用 模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学。所谓的模糊性主要是指客观事物差异的中间过渡界线的“不分明性”。如储层的含油气性、油田规模的大小，成油地质条件的优劣，圈闭的形态，岩石的颜色等。这些模糊变量的描述或定义是模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。地质作用是复杂的，对其产生的地质现象有些可以采用定量的方法来度量，有些则不能用定量的数值来表达，而只能用客观模糊或主观模糊的准则进行推断或识别。1965年美国控制论专家 L.A.Zadeh 提出这一概念后，模糊数学得到迅速发展并应用到各个领域，地学种主要用于矿产资源评价，各种

2、地质现象的分类、识别、决策和模拟和模拟。 在此介绍油气勘探中常用的模糊聚类分析和模糊识别。1 模糊聚类分析 模糊聚类分析是在模糊相似矩阵的基础上，对分类对象进行定量分类的方法。主要内容数据标准化建立模糊相似矩阵动态聚类三部分。 一、数据标准化 1.原始数据 设论域U是n个被分类对象构成的集合,每个对象又有m个描述对象特征的变量,它们的观测值构成原始数据矩阵：nmnnmmxxxxxxxxxX2122221112112.极差正规化 求模糊矩阵时要求将数据压缩到区间0,1上，为此对原始数据进行极差正规化处理。 极差是变量观测值的最大值与最小值之差，即极差正规化是变量的每个观测值减去观测值的最小值再除

3、以极差。变换公式为：),(minmaxmjxxxijniijnij2111 由上可知，对原始数据正规化处理以后，变量最大值为1，最小值为0，即新数据在区间0,1内。),2, 1;,2, 1(/ )min(1mjnixxxxjj inij ij i正规化后的数据正规化后的数据原始数据原始数据变量观测值的最小变量观测值的最小值值变量观测值的极变量观测值的极差差 二、模糊相似矩阵 模糊相似矩阵是进行模糊聚类的基础。下面介绍建立模糊相似矩阵的常用方法。 (1)(1)数量积法数量积法 1. 1.相似系数法相似系数法显然显然 ，若，若 ，令，令 ，则，则 。1 , 0ikr0ikr21ijijrr1 ,

4、0ikr其中其中mkjkikjixxM1)(max),(,;njijixxMjirmijkikij21111 (2)(2)夹角余弦法夹角余弦法 见相似性度量聚类中的相似系数。见相似性度量聚类中的相似系数。 (3)(3)相关系数法相关系数法 见相似性度量聚类中的相关系数。见相似性度量聚类中的相关系数。), 2 , 1,()()(11njixxxxrmkjkikmkjkikij符号符号 “ “?”和和“?”分别表示两个元素取小和取大。分别表示两个元素取小和取大。 (5)(5)算术平均最小法算术平均最小法(4)(4)最大最小法最大最小法), 2 , 1,()()(211njixxxxrmkjkikm

5、kjkikij), 2 , 1, ()(11njixxxxrmkjkikmkjkikij 2. 2.距离法距离法 上述上述(4)(4)、(5)(5)、(6)(6)三种方法要求三种方法要求 , ,否则否则, ,要进要进行适当变换。行适当变换。0ijx(6)(6)几何平均最小法几何平均最小法(1)(1)绝对值倒数法绝对值倒数法),2, 1,(1njixxdjkikmkij适当选取适当选取M，使得，使得 。10ijr (2)(2)欧氏距离欧氏距离 见相似性度量聚类中的相似系数。见相似性度量聚类中的相似系数。 建立模糊相似矩阵的其他方法，就不再介绍了建立模糊相似矩阵的其他方法，就不再介绍了。 (3)(

6、3)切比雪夫距离切比雪夫距离 三、三、聚类聚类),(,njijixxMjirmkjkikij2111 1. 1.模糊等价矩阵模糊等价矩阵 给定给定U上的一个模糊关系上的一个模糊关系 , ,若它满足若它满足: : (1)(1)自反性自反性（ =1=1）；）； (2)(2)对称性对称性（ ）；）； (3)(3)传递性传递性（ ）；）；则称则称R是是U上的一个上的一个模糊等价矩阵模糊等价矩阵。ijrjiijrr RRRnnijrR式中“”表示矩阵的合成运算，类似矩阵乘法运算，但要将元素的相乘改为求最小值、相加改为求最大值。 *相似性度量的相关、相似系数矩阵满足自反性和对称性，但不一定满足传递性。 *

7、对于传递性,可先计算RR(记作 ),然后看其是否满足传递性。若不满足,经过 2R2RRR422RRR 2. 2.模糊等价矩阵的模糊等价矩阵的截矩阵截矩阵 设 是模糊等价矩阵，对任意0,1，称 为 的截矩阵，其中nnijrRnnijrRnnijrR)( 3.分类 由模糊等价矩阵的截矩阵可知，当 时，i与j应为同类，否则为异类。让由大到小变化，可形成动态聚类图。1ijr运算运算, ,可将可将R改造成满足传递性的模糊等价矩阵。改造成满足传递性的模糊等价矩阵。ijijijrrr,)(01 对于不同的0,1，可得不同的分类方案，从而形成一种动态聚类图。这对全面了解对象的分类情况是比较形象和直观的。但有的

8、实际问题需要选择某个阀值，确定一个具体的分类，这就是确定阀值的为题。 二、最佳阀值二、最佳阀值的确定的确定 在动态聚类过程中，调整的值以得到适当的分类。另外，也可由熟悉专业的专家确定阀值，得到阀值水平上的分类。 1. 1.按实际需要确定按实际需要确定 设对应于设对应于的分类数为的分类数为r，第第j类的样品数为类的样品数为nj，第第j类的样本记为：类的样本记为： ，第，第j类的聚类中心类的聚类中心为向量为向量:其中 为第j类中第k个变量的平均值：)()(2)(1,jnjjjxxx),()()(2)(1)(jmjjjxxxx)( jkx 2. 2.用用F-统计量确定统计量确定的最佳值的最佳值jni

9、jmjjjjikjjkxxxxmkxnx121211),();,()()()()()()(nimikkxxxxmkxnx121211),();,(rjnijjirjjjjrnxxrxxnF112)()(12)()/() 1/(其中其中为为 与与 的距离，的距离， 为第为第j类中样品类中样品 与与 距距离。离。mkkjkjxxxx12)()()()( jxx)()(jjixx)( jix)( jx定义定义F- -统计量为统计量为: :该分子表征了类该分子表征了类与类之间的距离与类之间的距离表征类内样表征类内样品间的距离品间的距离 F越大，表明类间的差异越大越大，表明类间的差异越大,分类效果就越好

10、。分类效果就越好。 假设各类差异不明显，对于给定的检验水平假设各类差异不明显，对于给定的检验水平，查查F(r-1，n-r)分布表，得临界值分布表，得临界值F，若，若FF，则认为各类之间有明显的差异。则认为各类之间有明显的差异。 F服从自由度为服从自由度为r-1，n-r的的F分布。分布。 粗略地讲，模型识别就是根据研究对象具有的某些特征对其进行识别并归类。如采集的一个植物标本识别它属于哪一纲那一目；又如拨打一个电话，识别对应的电话机。这种模型识别具有2个本质的特征： 1 模糊模型识别模糊模型识别 一、基本概念 事先已知若干标准模型（称为标准模型库），模型具有明显的界线； 1. 1. 模型识别模型

11、识别 模糊模型识别是指标准模型库中的模型是模糊的(模型间没有明显的界线）。如据电测或气测资料，建立的储层含油气性（油层、油气层、油水同层、气层、含水油层、干层等）标准模型库，又如由不同沉积相岩样观测值构成的岩样标准模型库，它们中的模型都是模糊的。因此，根据测井信息或者岩样的观测值判断钻穿储层的含有气性或者岩样的沉积相是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。 对于这类模型识别问题，可据模型的界线对待识别对象进行归类。 有待识别归类的对象，并且它所属的类必然是若干标准模型之一。2. 2. 模糊模型识别模糊模型识别 为了解决上述问题，需要一个度量模糊集与标为了解决上述问题，需要一个度量模糊集与标准模糊集

12、靠近程度的指标，这就是下面介绍的：准模糊集靠近程度的指标，这就是下面介绍的： 隶属度和贴近度隶属度和贴近度。 (1)(1)模糊向量及其内外积模糊向量及其内外积 若若0ai1(i=1,2,n),则称向量则称向量a=(a1,a2,an)为为模糊向量。模糊向量。 )(1iinibaba)(1iinibaba 二、隶属度和贴近度1.隶属度为向量为向量a与与b b内积和外积。内积和外积。设设a，b是模糊向量，则分别称：是模糊向量，则分别称：符号符号 “ “?”和和“?”分别表示两个元素取小和取分别表示两个元素取小和取大。大。ni 1ni 1 、 和取大、取小运算和取大、取小运算 示例：示例： 设设).,

13、.,.(),.,.,.(30700206005010ba20.ba0.1 0.5 0 0.60.2 0 0.7 0.30.2 0.5 0.7 0.6 取小0.230.ba0.1 0.5 0 0.60.2 0 0.7 0.30.1 0 0 0.3取大0.3ab 设设 是论域是论域U上的上的n个模糊子集，称以模糊集个模糊子集，称以模糊集 为分量的模糊向量为模糊向量集合族，记为为分量的模糊向量为模糊向量集合族，记为: :nAAA,21nAAA,21),(21nAAAA(2)(2)模糊模糊向量集合族向量集合族(3) (3) 隶属度隶属度 设论域设论域U上有上有n个个模糊子集模糊子集 , ,其隶属函数为

14、其隶属函数为 , ,当当 为模糊向量集合族，为模糊向量集合族， 为为普通向量时，则：普通向量时，则：),(21nxxxx nAAA,21),(21nAAAA), 2 , 1)(nixAi)()(1iinixAxA为为 对对 的隶属度。的隶属度。xA 基于不同考虑，隶属度也有其他的定义形式，如：基于不同考虑，隶属度也有其他的定义形式，如：应用模糊数学方法的关键是建立符合实际的隶属函应用模糊数学方法的关键是建立符合实际的隶属函数，但它是目前尚未完全解决的问题。数，但它是目前尚未完全解决的问题。我国的汪培庄我国的汪培庄教授提出的随机集落影理论对于相当一部分模糊集的隶属教授提出的随机集落影理论对于相当

15、一部分模糊集的隶属函数的客观实在性给出了满意的解释，基于这一理论的模函数的客观实在性给出了满意的解释，基于这一理论的模糊统计方法是确定一类模糊集隶属度的有效方法。现确定糊统计方法是确定一类模糊集隶属度的有效方法。现确定隶属函数的方法有隶属函数的方法有模糊统计法、指派法、借用已有尺度法模糊统计法、指派法、借用已有尺度法等。等。niiixAnxA1)(1)( (4) (4)最大隶属度原则最大隶属度原则 原则原则: : 设论域设论域 上有上有m个模糊子集个模糊子集 ( ( 即即m个模型个模型) )，构成一个标准模型库，若对任一，构成一个标准模型库，若对任一 ，有，有 ，使得，使得则认为则认为 隶属于

16、隶属于 。mAAA,21Ux 0, 2 , 10mi)()(0100 xAxAkmki0 x0iA,nxxxU21 为便于理解，下面给出两个应用的例子： 原则原则: 设论域设论域 上只有上只有1个标准型个标准型 ，现有，现有n个待识别对象个待识别对象 ，若其中的，若其中的 满足满足则应首先录取则应首先录取 。AUxxxn,21kxkx)()(1inikxAxAU 解决这个问题，要先建立模糊集解决这个问题，要先建立模糊集 的属函数。有的属函数。有人用指派法建立了论域人用指派法建立了论域U=0,100U=0,100的的 的隶属函数为：的隶属函数为：CBA,CBA,10090, 19080,1080

17、800, 0)(xxxxxA10080, 08070,1080700, 1)(xxxxxC 原则原则的例子。的例子。 在论域在论域U=0,100(U=0,100(分数分数) )上确定三个代表学习成绩上确定三个代表学习成绩的模集糊的模集糊 =“=“优优”， =“=“良良”， =“=“差差”。当。当* * *的数的数学成绩为学成绩为8888分时，该同学的数学成绩该评为优、良、还是分时，该同学的数学成绩该评为优、良、还是差？差？ABC 把把x=88分别代入上述三个隶属函数，得分别代入上述三个隶属函数，得据原则据原则，88分相对三个模型应隶属于分相对三个模型应隶属于 ，即可评为优。，即可评为优。 0)

18、88(, 7 . 0)88(, 8 . 0)88(CBAA10095, 09585,10958580, 18070,1070700, 0)(xxxxxxxxB原则原则的例子的例子 设论域设论域 （三名学生的学习成绩（三名学生的学习成绩)，在，在U上上确定以一个模糊集确定以一个模糊集 =“优优”，若三个学生的英语成绩分别，若三个学生的英语成绩分别为为 ，现据英语成绩从三名学生中招聘一，现据英语成绩从三名学生中招聘一人做教师，应优先招聘谁？人做教师，应优先招聘谁？ A90,84,70321xxx,321xxxU 1)90(, 4 . 0)84(, 0)70(AAA由计算结果可知，第三位同学的成绩最

19、靠近优。据原则由计算结果可知，第三位同学的成绩最靠近优。据原则应首先聘任第三位同学。应首先聘任第三位同学。 把三个同学的英语成绩分别代入隶属函数把三个同学的英语成绩分别代入隶属函数10090, 19080,1080800, 0)(xxxxxA得：得： (2) (2)择近择近原则原则 设论域设论域U上有上有m个模糊子集个模糊子集 构成一个标准模构成一个标准模型库型库 为待识别的对象。若存在为待识别的对象。若存在 使得：使得：mAAA,21BAAAm,21, 2 , 10mi 2. 2.贴近度及其择近原则贴近度及其择近原则 (1) (1)贴近度贴近度 贴近度是描述模糊集之间彼此靠近程度的指标，是我

20、贴近度是描述模糊集之间彼此靠近程度的指标，是我国学者汪培庄教授提出来的。由于研究的问题不同，贴近国学者汪培庄教授提出来的。由于研究的问题不同，贴近度也有不同的定义形式，它的一般定义为：度也有不同的定义形式，它的一般定义为：)1 (21),(0BABABA 设设A，B是论域是论域U上的两个模糊子集，则称上的两个模糊子集，则称为为A与与B的贴近度。的贴近度。;)()()()(),(111mkkkmkkkxBxAxBxABA待识别对象归入待识别对象归入 类类。),(),(0100BABAkmki0iA;)()()()(2),(112mkkkmkkkxBxAxBxABA (3)(3)实用贴近度实用贴近

21、度 下面是几个在实际工作中实用的贴近度计算公式：下面是几个在实际工作中实用的贴近度计算公式：mkkkxBxAmBA13)()(11),( 例例1 茶叶的模型识别茶叶的模型识别 设论域设论域U=茶叶茶叶，茶叶等级标准模型库，茶叶等级标准模型库，待识别的茶叶样品为，待识别的茶叶样品为B，衡量茶叶质量指标为：条索、，衡量茶叶质量指标为：条索、色泽、净度、汤色、香气和滋味。模型库与样品的有关数色泽、净度、汤色、香气和滋味。模型库与样品的有关数据如右表：据如右表： ,54321AAAAA质量指标质量指标模模 型型样样 品品条索条索0.50.30.20.00.00.4色泽色泽0.40.20.20.10.1

22、0.2净度净度0.30.20.20.20.10.1汤色汤色0.60.10.10.10.10.4香气香气0.50.20.10.10.10.5滋味滋味0.40.20.20.10.10.6三、应用三、应用55. 0)2 . 01 (3 . 021),(20BA50. 0)2 . 01 (2 . 021),(30BA45. 0)2 . 01 (1 . 021),(40BA60. 0)3 . 01 (5 . 021),(10BA50. 0)1 . 01 (1 . 021),(50BA按照按照 计算贴近度，有：计算贴近度，有：)1 (21),(0BABABA按择近原则按择近原则, , 。1AB按照按照 计算贴近度，有：计算贴近度，有：mkkkxBxAmBA13)()(11),(79. 0),(33BA70. 0),(43BA72. 0),(53BA85. 0),(13BA80. 0),(23BA 上述两种计算贴近度公式，计算数值不同，但归类果上述两种计算贴近度公式，计算数值不同，但归类果一样，为什么，那一种更好？一样，为什么，那一种更好？1AB茶叶样品茶叶样品 。 (1) 建