第五章--大数定律与中心极限定理

1、精选优质文档-倾情为你奉上第五章 大数定律与中心极限定理§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理一、填空题1设，则由切比雪夫不等式有 1/9 ；2设随机变量相互独立同分布，且， 则由切比雪夫不等式有 .并有估计 ； 3设随机变量相互独立且都服从参数为 l 的泊松分布，则 ；4设随机变量和的数学期望分别为和，方差分别为和，而相关系数为，则根据切比雪夫不等式，；解：因为 ，故由切比雪夫不等式，.5设随机变量相互独立，都服从参数为2的指数分布，则时，依概率收敛于 。解：因为 ，所以 ，故由辛钦大数定律，对，有，即 依概率收敛于.二、选择题1设随机变量相互独立同分布，且， 令，则

2、对任意，从切比雪夫不等式直接可得（B）（A）； （B）； （C）； （D）.解：因为，所以由切比雪夫不等式直接可得.故答案选B.2设随机变量服从正态分布，则随的增大，概率是（C）（A）单调增大； （B）单调减少； （C）保持不变； （D）增减不定.解：由切比雪夫不等式：，与无关，故答案取C.3. 根据德莫弗拉普拉斯定理可知（B）（A）二项分布是正态分布的极限分布； （B）正态分布是二项分布的极限分布；（C）二项分布是指数分布的极限分布； （D）二项分布与正态分布没有关系.4设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且，则（A）（A）； （B）； （C）； （D）.解：.5设为相互独立的随机变量序列

3、，且都服从参数为的指数分布，则（A）（A）； （B）； （C）； （D）.其中 是标准正态分布的分布函数.解：由于服从参数为的指数分布，所以，由中心极限定理， ，故答案取A.三、计算题1. 设在每次实验中事件以概率发生.是否可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件出现的次数在400与600范围内？解： 设表示1000次试验中出现的次数，则 ，由切比雪夫不等式有所以可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件出现的次数在400与600范围内.2. 将一颗骰子连续掷四次，其点数之和记为，估计概率。解：设为掷一次骰子出现的点数，则其分布律为：，所以 ，；依题意 ，所以.3.

4、设是相互独立的随机变量, 且服从参数的泊松分布,记，利用中心极限定理，求。解：.4设某部件由10个部分组成，每部分的长度为随机变量，相互独立同分布，毫米，毫米，若规定总长度为（20±1）毫米是合格产品，求产品合格的概率。解：设总长度为，则，由林德贝格列维中心极限定理，知 ，所以合格的概率为：.5有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的，规定选择正确得1分，选择错误得0分，假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过35分的概率。解：设为选择第题所得到的分数，由题设，服从分布，另设总得分为，则，且，由德莫弗拉普

5、拉斯定理，查正态分布表可得.6.（1）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知系统运行至少需要85个元件正常工作，求系统可靠度（即正常工作的概率）；（2）上述系统假如由个相互独立的元件组成，至少80%的元件正常工作，才能使系统正常运行，问至少多大才能保证系统可靠度为0.95？解：（1）设为系统中正常运行完好的元件数， 则，由德莫弗拉普拉斯定理，.（2）已知 ，求满足条件的，其中 ，同（1）解法， ，查正态分布表可得：，取即可.7. 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20 %，以表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的

6、户数。（1） 写出的概率分布；（2） 用德莫弗拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户不多于30户的概率的近似值.解：（1）服从二项分布，参数：，即，其概率分布为 ； （2）， 根据德莫弗拉普拉斯定理 .8某运输公司有500辆汽车参加保险，在1年里汽车出事故的概率为0.006，参加保险的汽车每年交保险费800元，若出事故保险公司最多赔偿50 000元，试利用中心极限定理计算，保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率。解：设为500辆参加保险的汽车中出事故的车辆数，则服从二项分布，由题设，保险公司1年的收益为 ，故保险公司1年赚钱不小于200 000元的概率为 ，从而由德莫弗拉普拉斯定理 .9某工厂生产的灯泡的平均寿命为2000小时，改进工艺后，平均寿命提高到2250小时，标准差仍为250小时.为鉴定此项新工艺，特规定：任意抽取若干只灯泡，若平均寿命超过2200小时，就可承认此项新工艺.工厂为使此项新工艺通过鉴定的概率不小于0.997，问至少应抽检多少只灯泡？解：设为改进后的灯泡的寿命，由题设，又设为使检验通过所需抽取的灯泡数，依题意可建立如下不等式 ，或 ，由林德贝格列维中心极限定理知，查表可得如下不等式，即需随机抽取189只灯泡进行寿命检验，测得的平均寿命才能以95%的概率保证超