数列解题技巧归纳总结打印

1、数列解题技巧归纳总结打印等差数列前n项和的最值问题:an的首项ai0,公差d0,那么前n项和Sn有最大值。ii假设Snpn2qn,那么当n取最靠近-q-的非零自然数时Sn最大;2pan的首项ai0,公差d0,那么前n项和Sn有最小值ii假设Snpn2qn,那么当n取最靠近-q-的非零自然数时Sn最小;2p数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。Sn即a1a?anf(n)求an,用作差法：an条件中既有Sn还有an,有时先求Sn，再求an；有时也可直接求an。假设an1anf(n)求an用累加法：anan1)(an1an2)(a2a(n2)。a_。”门)求2一用累乘法：an-

2、a-亘-a2a1(n2)。anan1an2a1递推关系求an,用构造法构造等差、等比数列特别地，1形如ankan1b、ank%1bnk,b为常数的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an；形如ankan1kn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求an。2形如anan1的递推数列都可以用倒数法求通项。kan1b3形如an1ank的递推数列都可以用对数法求通项。i假设通项an,那么Sn最大an0an101、假设等差数列2、假设等差数列i假设通项an,那么Sn最小an0an10S,(n1)SnSn1,(n2)a，a2,anf(n)求an,用作商法：anf(1),(nf

3、(n)f(n1)1),(na1)7理科数学归纳法。数列解题技巧归纳总结打印8当遇到an1an1d或曳q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段an1一、典型题的技巧解法1、求通项公式1观察法。2由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+i=an+d及an+i=qand,q为常数例1、an满足an+1=an+2)而且a二1oano例1、解:an+1-an=2为常数，an是首项为1,公差为2的等差数列 .an=1+2n-1即an=2n-11例2、an满足an1一an,而a12解 a=L 是常数12%是以 2 为首项

4、，公比为 1 的等比数列例4、an中，a11,对于n1nCN有an3an12,求an.解法*：由递推式得an+1=3an+2)an=3a-1+2o两式相减：an+1-an=3an-an-1因此数列an+1-an是公比为3的等比数列，其首项为a2-a尸3X1+2-1=4 an+1-an=4,3an+1=3an+23an+2-an=4,3即an=2,3-1解法二：上法得an+1-an是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=43,a4-a3=4-32,an-an-1=4-3n-2,4fl-尹i)把n-1个等式累加得：=4(1+3+至+于”)二11例3、an中a1，an12an14n

5、21，求an.解：由可知an1an1111一()(2n1)(2n1)22n12n1令n=1,2,，n-1，代入得n-1个等式累加，即a2-a1+a3-a2+an-an-12n-11-ana12(112n说明只要和f1+f2+fn-1n-1代入，可得n-1个等式累加而求an。(3)递推式为an+1=pan+qp,q为常数4n31)4n2是可求的，就可以由an+1=an+fn以n=1,2,an=23n-1-12递推式为an+1=an+fn数列解题技巧归纳总结打印(4)递推式为 an+i=pan+qnp,q 为常数【例 5】已知/中，%叫求%。0.5Z略解在.二:十 1的两边乘以 2 面得2泮,%+

6、Lz4)十 1，令5=2y2则二|tVl+L 于是可得 22nbnininbn1bn-(bnbni)由上题的解法，得：bn32(-)n.y。T3()n2(-)n332n23说明对于递推式=R4+/可两边除以不得券=EW 十 L 引辅助数列bj,0 二.).得 LJ后用 qqq%qq(5)递推式为 an2paniqan思路：设an2pan1qan,可以变形为：an2an1(an1an),口 fB=Dn:p 解得,1,口B=F想于是an+1-“an是公比为3的等比数列，就转化为前面的类型。_9I1 例 G 已知数列 6)中，场二1.七=2，%3二与曰+%.求an。-Can.+1是公比为，首项为红-

7、对二1的等比数列d(6)递推式为 S 与 an的关系式(解在物=-+/两边减去 a1t+1，3/7数列解题技巧归纳总结打印解解Cl由由上式两边同乘以2n+1得2n+1an+i=2nan+2那么2nan是公差为2的等差数列。2nan=2+n-12=2n2.数列求和问题的方法1、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前1八、口(口+1)1+2+3+0-21+3+5+(2n-1)=nf+3+”=心+1 浅口+1）E+3,+八峋/【例 8】求数列1,3+5，7+9+10，13+15+17+19，前n项的和。1,解此题头际是求各奇数的和，在数列的刖n项中，共有1+2+-+n=an(n1)个奇

8、数,，最后一个奇数为：1+1n(n+1)-1x2=n2+n-12因此所求数列的前n项的和为Cn+1）3（n+。）2、分解转化法对通项进展分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和S=1-n2-1+2n2-22+3,n2-32+nn2-n2解S=n1+2+3+n-1+2+3+n此类型可利用%力（打=1）（。）2）例 Y】设%)前口项的和工 3-%(1)求与%的关系；2试用n表示ano=4=4- -a an+n+Sn1Sn（anam）,an1anan112n1（， 三212an,）2n1）12nn项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。数列解题技巧归纳总结打印=，-n(n-

9、Hl)-n2(口+1)二：n”口十 1(n-1)3、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,和。12n例10、求和：Sn3Cn6Cn3nCn例10、解Sn0?C03Cn6Cn3nCn又为二无 Q+3(n-1)CF 十十 OC；相加，且运用 U=可得2sL3n+C：+丈)=*211n-1Sn=3n,24、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例11、求数列1,3x,5x2，,(2n-1)xn-1前n项的和.解设Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1.小也 1 叶1+(2 口-1)

10、2(1)台玉二 1 时，Sn*n-n.(2)x=0时，Sn=1.(3)当xw0且xw1时，在式两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn,-，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn.3 八步土 12K(1-xn-L)n由公式知工=-1+f-(2n-】一丹1-X14._(2 口+1)耳仇+_(2 口一 1)Y.十】=一(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：11nn+l)(n+2)2tin41 1采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求,有I(l-q3)日+-=整理得I-qq32q6-q3-1=01-q

11、qw0(2a-l)(2n+3)42-12n+=-ri+-4L32n+12t1+3n4n+5)3(2n+1)i+3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1 .函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列an的首项a10,前n项的和为Sn,假设S=&lwk问n为何值时$最大?解体题意，设（口）Sn=叫十“d*-f(n)=gdi?+(即 na10Sl=&lwk，:.d0故此二次函数的图像开口向下厂时 fG）最大，f（口）中，nENa1

12、r时用最大。【例14】设等比数列但口前门项和为Sn,假设S3+S6=2S9,求数列的公比q。分析此题考察等比数列的根底知识及推理能力。解:依题意可知qw1。;如果q=1,那么S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1。由此应推出a0与等比数列不符。-qw1例12、求和1?53?7求和亍数列解题技巧归纳总结打印5?9(2n1)(2n3)1111一!十92n11+2 口 412n此函数以n为自变量的二次画黑f1=fk-1.四当 1+k 为奇数时，口2.方程思想l+kl=2数列解题技巧归纳总结打印2q6-q3-1=0q；=l 舍.=-此题还可以作如下思考：S6=S3+q34=1+q34.S9=S3+q3&=S1+q3+q6,由S3+S5=2S9可彳22+q3=21+q3+q6,1i2【例15】